MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbeldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbeldm 17380
Description: Member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbeldm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbeldm.l = (le‘𝐾)
glbeldm.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbeldm.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
glbeldm.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
glbeldm (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeldm
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbeldm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbeldm.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 glbeldm.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 biid 253 . . . 4 ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbeldm.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
61, 2, 3, 4, 5glbdm 17378 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))})
76eleq2d 2845 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))}))
8 raleq 3330 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦))
9 raleq 3330 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦))
109imbi1d 333 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1110ralbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
128, 11anbi12d 624 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
1312reubidv 3314 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
14 glbeldm.p . . . . . 6 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1514reubii 3316 . . . . 5 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1613, 15syl6bbr 281 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
1716elrab 3572 . . 3 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))} ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
181fvexi 6460 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1918elpw2 5062 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
2019anbi1i 617 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓) ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
2117, 20bitri 267 . 2 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))} ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
227, 21syl6bb 279 1 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  ∃!wreu 3092  {crab 3094  wss 3792  𝒫 cpw 4379   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  cfv 6135  Basecbs 16255  lecple 16345  glbcglb 17329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-glb 17361
This theorem is referenced by:  glbelss  17381  glbeu  17382  glbval  17383
  Copyright terms: Public domain W3C validator