MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbeldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbeldm 18358
Description: Member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbeldm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
glbeldm.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
glbeldm.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
glbeldm.p (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
glbeldm.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
glbeldm (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝑦,𝐾,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐡(𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeldm
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbeldm.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 glbeldm.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 glbeldm.g . . . 4 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
4 biid 261 . . . 4 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
5 glbeldm.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
61, 2, 3, 4, 5glbdm 18356 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))})
76eleq2d 2815 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))}))
8 raleq 3319 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦))
9 raleq 3319 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦))
109imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
1110ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
128, 11anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
1312reubidv 3391 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))))
14 glbeldm.p . . . . . 6 (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
1514reubii 3382 . . . . 5 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“ ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
1613, 15bitr4di 289 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
1716elrab 3682 . . 3 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))} ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
181fvexi 6911 . . . . 5 𝐡 ∈ V
1918elpw2 5347 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2019anbi1i 623 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
2117, 20bitri 275 . 2 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))} ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
227, 21bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒ!wreu 3371  {crab 3429   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  glbcglb 18302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-glb 18339
This theorem is referenced by:  glbelss  18359  glbeu  18360  glbval  18361  glbeldm2  47976  meetdm3  47990
  Copyright terms: Public domain W3C validator