MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbeldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbeldm 18386
Description: Member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbeldm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbeldm.l = (le‘𝐾)
glbeldm.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbeldm.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
glbeldm.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
glbeldm (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeldm
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbeldm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbeldm.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 glbeldm.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 biid 260 . . . 4 ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbeldm.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
61, 2, 3, 4, 5glbdm 18384 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))})
76eleq2d 2812 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))}))
8 raleq 3312 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦))
9 raleq 3312 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦))
109imbi1d 340 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1110ralbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
128, 11anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
1312reubidv 3382 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
14 glbeldm.p . . . . . 6 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1514reubii 3373 . . . . 5 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1613, 15bitr4di 288 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
1716elrab 3680 . . 3 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))} ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
181fvexi 6907 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1918elpw2 5344 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
2019anbi1i 622 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓) ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
2117, 20bitri 274 . 2 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))} ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
227, 21bitrdi 286 1 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  ∃!wreu 3362  {crab 3419  wss 3946  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5145  dom cdm 5674  cfv 6546  Basecbs 17208  lecple 17268  glbcglb 18330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-glb 18367
This theorem is referenced by:  glbelss  18387  glbeu  18388  glbval  18389  glbeldm2  48327  meetdm3  48341
  Copyright terms: Public domain W3C validator