MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbeldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbeldm 18423
Description: Member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbeldm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbeldm.l = (le‘𝐾)
glbeldm.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbeldm.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
glbeldm.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
glbeldm (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeldm
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbeldm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbeldm.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 glbeldm.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 biid 261 . . . 4 ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbeldm.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
61, 2, 3, 4, 5glbdm 18421 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))})
76eleq2d 2824 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))}))
8 raleq 3320 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦))
9 raleq 3320 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦))
109imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1110ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
128, 11anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
1312reubidv 3395 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
14 glbeldm.p . . . . . 6 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1514reubii 3386 . . . . 5 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1613, 15bitr4di 289 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
1716elrab 3694 . . 3 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))} ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
181fvexi 6920 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1918elpw2 5339 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
2019anbi1i 624 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓) ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
2117, 20bitri 275 . 2 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))} ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
227, 21bitrdi 287 1 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  ∃!wreu 3375  {crab 3432  wss 3962  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  glbcglb 18367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-glb 18404
This theorem is referenced by:  glbelss  18424  glbeu  18425  glbval  18426  glbeldm2  48753  meetdm3  48767
  Copyright terms: Public domain W3C validator