Theorem gricrcl 48390

Description: Reverse closure of the "is isomorphic to" relation for graphs. (Contributed by AV, 12-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gricrcl	⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem gricrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 48388	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝐺 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		grimdmrel 48356	. . . 4 ⊢ Rel dom GraphIso
3	2	ovprc 7405	. . 3 ⊢ (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐺 GraphIso 𝑆) = ∅)
4	3	necon1ai 2959	. 2 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367   GraphIso cgrim 48351   ≃_𝑔𝑟 cgric 48352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-map 8775  df-grim 48354  df-gric 48357

This theorem is referenced by:  gricbri  48392