Theorem gricrcl 48720

Description: Reverse closure of the "is isomorphic to" relation for graphs. (Contributed by AV, 12-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gricrcl	⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem gricrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 48718	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝐺 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		grimdmrel 48686	. . . 4 ⊢ Rel dom GraphIso
3	2	ovprc 7461	. . 3 ⊢ (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐺 GraphIso 𝑆) = ∅)
4	3	necon1ai 2988	. 2 ⊢ ((𝐺 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐺 ≃𝑔𝑟 𝑆 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458  ∅c0 4289   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423   GraphIso cgrim 48681   ≃_𝑔𝑟 cgric 48682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-1o 8462  df-map 8835  df-grim 48684  df-gric 48687

This theorem is used by:  gricbri  48722