Theorem brgric 48893

Description: The relation "is isomorphic to" for graphs. (Contributed by AV, 28-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
brgric	⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gric 48862	. 2 ⊢ ≃𝑔𝑟 = (◡ GraphIso “ (V ∖ 1o))
2		grimfn 48860	. 2 ⊢ GraphIso Fn (V × V)
3	1, 2	brwitnlem 8501	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   × cxp 5653  (class class class)co 7416   GraphIso cgrim 48856   ≃_𝑔𝑟 cgric 48857

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8462  df-map 8835  df-grim 48859  df-gric 48862

This theorem is used by:  brgrici  48894  gricrcl  48895  dfgric2  48896  gricuspgr  48899  gricsym  48902  grictr  48904  gricen  48906  cycldlenngric  48909  gricgrlic  48999  usgrexmpl12ngric  49019