Theorem brgric 48539

Description: The relation "is isomorphic to" for graphs. (Contributed by AV, 28-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
brgric	⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gric 48508	. 2 ⊢ ≃𝑔𝑟 = (◡ GraphIso “ (V ∖ 1o))
2		grimfn 48506	. 2 ⊢ GraphIso Fn (V × V)
3	1, 2	brwitnlem 8478	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ≠ wne 2959  Vcvv 3456  ∅c0 4287   class class class wbr 5102   × cxp 5647  (class class class)co 7398   GraphIso cgrim 48502   ≃_𝑔𝑟 cgric 48503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-1o 8439  df-map 8812  df-grim 48505  df-gric 48508

This theorem is referenced by:  brgrici  48540  gricrcl  48541  dfgric2  48542  gricuspgr  48545  gricsym  48548  grictr  48550  gricen  48552  cycldlenngric  48555  gricgrlic  48645  usgrexmpl12ngric  48665