Theorem brgric 48417

Description: The relation "is isomorphic to" for graphs. (Contributed by AV, 28-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
brgric	⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gric 48386	. 2 ⊢ ≃𝑔𝑟 = (◡ GraphIso “ (V ∖ 1o))
2		grimfn 48384	. 2 ⊢ GraphIso Fn (V × V)
3	1, 2	brwitnlem 8436	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ≠ wne 2936  Vcvv 3433  ∅c0 4264   class class class wbr 5075   × cxp 5619  (class class class)co 7360   GraphIso cgrim 48380   ≃_𝑔𝑟 cgric 48381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8399  df-map 8769  df-grim 48383  df-gric 48386

This theorem is referenced by:  brgrici  48418  gricrcl  48419  dfgric2  48420  gricuspgr  48423  gricsym  48426  grictr  48428  gricen  48430  cycldlenngric  48433  gricgrlic  48523  usgrexmpl12ngric  48543