Theorem brgric 48600

Description: The relation "is isomorphic to" for graphs. (Contributed by AV, 28-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
brgric	⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gric 48569	. 2 ⊢ ≃𝑔𝑟 = (◡ GraphIso “ (V ∖ 1o))
2		grimfn 48567	. 2 ⊢ GraphIso Fn (V × V)
3	1, 2	brwitnlem 8492	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ∅c0 4294   class class class wbr 5113   × cxp 5660  (class class class)co 7411   GraphIso cgrim 48563   ≃_𝑔𝑟 cgric 48564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8453  df-map 8826  df-grim 48566  df-gric 48569

This theorem is referenced by:  brgrici  48601  gricrcl  48602  dfgric2  48603  gricuspgr  48606  gricsym  48609  grictr  48611  gricen  48613  cycldlenngric  48616  gricgrlic  48706  usgrexmpl12ngric  48726