MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0i 10886
Description: Positive means nonzero (useful for ordering theorems involving division). (Contributed by NM, 16-Sep-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
lt2.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
gt0ne0i (0 < 𝐴𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0i
StepHypRef Expression
1 0re 10357 . 2 0 ∈ ℝ
2 lt2.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
31, 2ltnei 10479 1 (0 < 𝐴𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2166  wne 2998   class class class wbr 4872  cr 10250  0cc0 10251   < clt 10390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-addrcl 10312  ax-rnegex 10322  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-ltxr 10395
This theorem is referenced by:  gt0ne0ii  10887  ledivp1i  11278  ltdivp1i  11279
  Copyright terms: Public domain W3C validator