Theorem gt0ne0ii 11653

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11652	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ℝcr 11005  0cc0 11006   < clt 11146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-addrcl 11067  ax-rnegex 11077  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151

This theorem is referenced by:  eqneg  11841  recgt0ii  12028  nnne0i  12165  8th4div3  12341  halfpm6th  12343  5recm6rec  12731  0.999...  15788  bpoly2  15964  bpoly3  15965  fsumcube  15967  efi4p  16046  resin4p  16047  recos4p  16048  ef01bndlem  16093  cos2bnd  16097  sincos2sgn  16103  ene0  16118  pine0  26396  sinhalfpilem  26399  tan4thpi  26450  sincos6thpi  26452  sineq0  26460  coseq1  26461  efeq1  26464  cosne0  26465  efif1olem2  26479  efif1olem4  26481  eflogeq  26538  logf1o2  26586  cxpsqrt  26639  root1eq1  26692  sqrt2cxp2logb9e3  26736  ang180lem1  26746  ang180lem2  26747  ang180lem3  26748  2lgsoddprmlem1  27346  2lgsoddprmlem2  27347  chebbnd1lem3  27409  chebbnd1  27410  dp2cl  32860  dp2ltc  32867  dpfrac1  32872  dpmul4  32894  subfaclim  35232  bj-pinftynminfty  37271  taupilem1  37365  acos1half  42450  proot1ex  43288  coseq0  45961  sinaover2ne0  45965  wallispi  46167  stirlinglem3  46173  stirlinglem15  46185  dirkertrigeqlem2  46196  dirkertrigeqlem3  46197  dirkertrigeq  46198  dirkeritg  46199  dirkercncflem1  46200  fourierdlem24  46228  fourierdlem95  46298  fourierswlem  46327