Theorem gt0ne0ii 11749

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11748	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ℝcr 11098  0cc0 11099   < clt 11242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-addrcl 11160  ax-rnegex 11170  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247

This theorem is referenced by:  eqneg  11934  recgt0ii  12120  nnne0i  12275  8th4div3  12463  halfpm6th  12465  5recm6rec  12860  0.999...  15934  bpoly2  16110  bpoly3  16111  fsumcube  16113  efi4p  16192  resin4p  16193  recos4p  16194  ef01bndlem  16239  cos2bnd  16243  sincos2sgn  16249  ene0  16264  pine0  26590  sinhalfpilem  26593  tan4thpi  26644  sincos6thpi  26646  sineq0  26654  coseq1  26655  efeq1  26658  cosne0  26659  efif1olem2  26673  efif1olem4  26675  eflogeq  26732  logf1o2  26780  cxpsqrt  26833  root1eq1  26885  sqrt2cxp2logb9e3  26929  ang180lem1  26939  ang180lem2  26940  ang180lem3  26941  2lgsoddprmlem1  27537  2lgsoddprmlem2  27538  chebbnd1lem3  27600  chebbnd1  27601  dp2cl  33139  dp2ltc  33146  dpfrac1  33151  dpmul4  33173  subfaclim  35578  bj-pinftynminfty  37758  taupilem1  37852  acos1half  43008  proot1ex  43814  coseq0  46469  sinaover2ne0  46473  wallispi  46675  stirlinglem3  46681  stirlinglem15  46693  dirkertrigeqlem2  46704  dirkertrigeqlem3  46705  dirkertrigeq  46706  dirkeritg  46707  dirkercncflem1  46708  fourierdlem24  46736  fourierdlem95  46806  fourierswlem  46835  goldrarr  47506  goldrasin  47507  goldrapos  47508  goldracos5teq  47510