Theorem gt0ne0ii 11765

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11764	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ℝcr 11114  0cc0 11115   < clt 11258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-addrcl 11176  ax-rnegex 11186  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263

This theorem is used by:  eqneg  11950  recgt0ii  12136  nnne0i  12291  8th4div3  12479  halfpm6th  12481  5recm6rec  12877  0.999...  15958  bpoly2  16133  bpoly3  16134  fsumcube  16136  efi4p  16215  resin4p  16216  recos4p  16217  ef01bndlem  16262  cos2bnd  16266  sincos2sgn  16272  ene0  16287  pine0  26676  sinhalfpilem  26679  tan4thpi  26730  sincos6thpi  26732  sineq0  26740  coseq1  26741  efeq1  26744  cosne0  26745  efif1olem2  26759  efif1olem4  26761  eflogeq  26818  logf1o2  26866  cxpsqrt  26919  root1eq1  26971  sqrt2cxp2logb9e3  27015  ang180lem1  27025  ang180lem2  27026  ang180lem3  27027  2lgsoddprmlem1  27623  2lgsoddprmlem2  27624  chebbnd1lem3  27686  chebbnd1  27687  dp2cl  33269  dp2ltc  33276  dpfrac1  33281  dpmul4  33303  subfaclim  35717  bj-pinftynminfty  37928  taupilem1  38022  acos1half  43177  proot1ex  43981  coseq0  46636  sinaover2ne0  46640  wallispi  46842  stirlinglem3  46848  stirlinglem15  46860  dirkertrigeqlem2  46871  dirkertrigeqlem3  46872  dirkertrigeq  46873  dirkeritg  46874  dirkercncflem1  46875  fourierdlem24  46903  fourierdlem95  46973  fourierswlem  47002  goldrarr  47676  goldrasin  47677  goldrapos  47678  goldracos5teq  47680