MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0ii 11175
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2 0 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
gt0ne0ii 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii
StepHypRef Expression
1 gt0ne0i.2 . 2 0 < 𝐴
2 lt2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
32gt0ne0i 11174 . 2 (0 < 𝐴𝐴 ≠ 0)
41, 3ax-mp 5 1 𝐴 ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2110  wne 3016   class class class wbr 5065  cr 10535  0cc0 10536   < clt 10674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-addrcl 10597  ax-rnegex 10607  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679
This theorem is referenced by:  eqneg  11359  recgt0ii  11545  nnne0i  11676  2ne0  11740  3ne0  11742  4ne0  11744  8th4div3  11856  halfpm6th  11857  5recm6rec  12241  0.999...  15236  bpoly2  15410  bpoly3  15411  fsumcube  15413  efi4p  15489  resin4p  15490  recos4p  15491  ef01bndlem  15536  cos2bnd  15540  sincos2sgn  15546  ene0  15561  sinhalfpilem  25048  sincos6thpi  25100  sineq0  25108  coseq1  25109  efeq1  25112  cosne0  25113  efif1olem2  25126  efif1olem4  25128  eflogeq  25184  logf1o2  25232  cxpsqrt  25285  root1eq1  25335  sqrt2cxp2logb9e3  25376  ang180lem1  25386  ang180lem2  25387  ang180lem3  25388  2lgsoddprmlem1  25983  2lgsoddprmlem2  25984  chebbnd1lem3  26046  chebbnd1  26047  dp2cl  30556  dp2ltc  30563  dpfrac1  30568  dpmul4  30590  subfaclim  32435  bj-pinftynminfty  34508  taupilem1  34601  proot1ex  39799  coseq0  42143  sinaover2ne0  42147  wallispi  42354  stirlinglem3  42360  stirlinglem15  42372  dirkertrigeqlem2  42383  dirkertrigeqlem3  42384  dirkertrigeq  42385  dirkeritg  42386  dirkercncflem1  42387  fourierdlem24  42415  fourierdlem95  42485  fourierswlem  42514
  Copyright terms: Public domain W3C validator