Theorem gt0ne0ii 11771

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11770	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ℝcr 11126  0cc0 11127   < clt 11267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is referenced by:  eqneg  11959  recgt0ii  12146  nnne0i  12278  8th4div3  12459  halfpm6th  12461  5recm6rec  12849  0.999...  15895  bpoly2  16071  bpoly3  16072  fsumcube  16074  efi4p  16153  resin4p  16154  recos4p  16155  ef01bndlem  16200  cos2bnd  16204  sincos2sgn  16210  ene0  16225  pine0  26419  sinhalfpilem  26422  tan4thpi  26473  sincos6thpi  26475  sineq0  26483  coseq1  26484  efeq1  26487  cosne0  26488  efif1olem2  26502  efif1olem4  26504  eflogeq  26561  logf1o2  26609  cxpsqrt  26662  root1eq1  26715  sqrt2cxp2logb9e3  26759  ang180lem1  26769  ang180lem2  26770  ang180lem3  26771  2lgsoddprmlem1  27369  2lgsoddprmlem2  27370  chebbnd1lem3  27432  chebbnd1  27433  dp2cl  32800  dp2ltc  32807  dpfrac1  32812  dpmul4  32834  subfaclim  35156  bj-pinftynminfty  37191  taupilem1  37285  acos1half  42348  proot1ex  43167  coseq0  45841  sinaover2ne0  45845  wallispi  46047  stirlinglem3  46053  stirlinglem15  46065  dirkertrigeqlem2  46076  dirkertrigeqlem3  46077  dirkertrigeq  46078  dirkeritg  46079  dirkercncflem1  46080  fourierdlem24  46108  fourierdlem95  46178  fourierswlem  46207