Theorem gt0ne0ii 11859

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11858	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ℝcr 11206  0cc0 11207   < clt 11350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-addrcl 11268  ax-rnegex 11278  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355

This theorem is used by:  eqneg  12044  recgt0ii  12230  nnne0i  12385  8th4div3  12573  halfpm6th  12575  5recm6rec  12971  0.999...  16059  bpoly2  16232  bpoly3  16233  fsumcube  16235  efi4p  16314  resin4p  16315  recos4p  16316  ef01bndlem  16361  cos2bnd  16365  sincos2sgn  16371  ene0  16386  pine0  26798  sinhalfpilem  26801  tan4thpi  26852  sincos6thpi  26853  sineq0  26861  coseq1  26862  cosne0  26866  efif1olem2  26880  efif1olem4  26882  eflogeq  26939  logf1o2  26987  cxpsqrt  27040  root1eq1  27092  sqrt2cxp2logb9e3  27136  ang180lem1  27146  ang180lem2  27147  2lgsoddprmlem1  27744  2lgsoddprmlem2  27745  chebbnd1lem3  27807  chebbnd1  27808  dp2cl  33496  dp2ltc  33503  dpfrac1  33508  dpmul4  33530  subfaclim  36043  bj-pinftynminfty  38257  taupilem1  38351  acos1half  43518  proot1ex  44307  coseq0  46982  sinaover2ne0  46986  wallispi  47188  stirlinglem3  47194  stirlinglem15  47206  dirkertrigeqlem2  47217  dirkertrigeqlem3  47218  dirkertrigeq  47219  dirkeritg  47220  dirkercncflem1  47221  fourierdlem24  47249  fourierdlem95  47319  fourierswlem  47348  goldrarr  48036  goldrasin  48037  goldrapos  48038  goldracos5teq  48040  goldratmolem4  48043