Theorem gt0ne0ii 11686

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11685	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  eqneg  11875  recgt0ii  12062  nnne0i  12217  8th4div3  12397  halfpm6th  12399  5recm6rec  12787  0.999...  15846  bpoly2  16022  bpoly3  16023  fsumcube  16025  efi4p  16104  resin4p  16105  recos4p  16106  ef01bndlem  16151  cos2bnd  16155  sincos2sgn  16161  ene0  16176  pine0  26424  sinhalfpilem  26427  tan4thpi  26478  sincos6thpi  26480  sineq0  26488  coseq1  26489  efeq1  26492  cosne0  26493  efif1olem2  26507  efif1olem4  26509  eflogeq  26566  logf1o2  26614  cxpsqrt  26667  root1eq1  26719  sqrt2cxp2logb9e3  26763  ang180lem1  26773  ang180lem2  26774  ang180lem3  26775  2lgsoddprmlem1  27371  2lgsoddprmlem2  27372  chebbnd1lem3  27434  chebbnd1  27435  dp2cl  32939  dp2ltc  32946  dpfrac1  32951  dpmul4  32973  subfaclim  35370  bj-pinftynminfty  37541  taupilem1  37635  acos1half  42790  proot1ex  43624  coseq0  46292  sinaover2ne0  46296  wallispi  46498  stirlinglem3  46504  stirlinglem15  46516  dirkertrigeqlem2  46527  dirkertrigeqlem3  46528  dirkertrigeq  46529  dirkeritg  46530  dirkercncflem1  46531  fourierdlem24  46559  fourierdlem95  46629  fourierswlem  46658  goldrarr  47329  goldrasin  47330  goldrapos  47331  goldracos5teq  47333