Theorem gt0ne0ii 11826

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11825	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  eqneg  12014  recgt0ii  12201  nnne0i  12333  2ne0  12397  3ne0  12399  4ne0  12401  8th4div3  12513  halfpm6th  12514  5recm6rec  12902  0.999...  15929  bpoly2  16105  bpoly3  16106  fsumcube  16108  efi4p  16185  resin4p  16186  recos4p  16187  ef01bndlem  16232  cos2bnd  16236  sincos2sgn  16242  ene0  16257  sinhalfpilem  26523  tan4thpi  26574  sincos6thpi  26576  sineq0  26584  coseq1  26585  efeq1  26588  cosne0  26589  efif1olem2  26603  efif1olem4  26605  eflogeq  26662  logf1o2  26710  cxpsqrt  26763  root1eq1  26816  sqrt2cxp2logb9e3  26860  ang180lem1  26870  ang180lem2  26871  ang180lem3  26872  2lgsoddprmlem1  27470  2lgsoddprmlem2  27471  chebbnd1lem3  27533  chebbnd1  27534  dp2cl  32844  dp2ltc  32851  dpfrac1  32856  dpmul4  32878  subfaclim  35156  bj-pinftynminfty  37193  taupilem1  37287  pine0  42302  acos1half  42340  proot1ex  43157  coseq0  45785  sinaover2ne0  45789  wallispi  45991  stirlinglem3  45997  stirlinglem15  46009  dirkertrigeqlem2  46020  dirkertrigeqlem3  46021  dirkertrigeq  46022  dirkeritg  46023  dirkercncflem1  46024  fourierdlem24  46052  fourierdlem95  46122  fourierswlem  46151