Theorem gt0ne0ii 11656

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11655	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ℝcr 11008  0cc0 11009   < clt 11149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-addrcl 11070  ax-rnegex 11080  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154

This theorem is referenced by:  eqneg  11844  recgt0ii  12031  nnne0i  12168  8th4div3  12344  halfpm6th  12346  5recm6rec  12734  0.999...  15788  bpoly2  15964  bpoly3  15965  fsumcube  15967  efi4p  16046  resin4p  16047  recos4p  16048  ef01bndlem  16093  cos2bnd  16097  sincos2sgn  16103  ene0  16118  pine0  26367  sinhalfpilem  26370  tan4thpi  26421  sincos6thpi  26423  sineq0  26431  coseq1  26432  efeq1  26435  cosne0  26436  efif1olem2  26450  efif1olem4  26452  eflogeq  26509  logf1o2  26557  cxpsqrt  26610  root1eq1  26663  sqrt2cxp2logb9e3  26707  ang180lem1  26717  ang180lem2  26718  ang180lem3  26719  2lgsoddprmlem1  27317  2lgsoddprmlem2  27318  chebbnd1lem3  27380  chebbnd1  27381  dp2cl  32820  dp2ltc  32827  dpfrac1  32832  dpmul4  32854  subfaclim  35161  bj-pinftynminfty  37201  taupilem1  37295  acos1half  42331  proot1ex  43169  coseq0  45845  sinaover2ne0  45849  wallispi  46051  stirlinglem3  46057  stirlinglem15  46069  dirkertrigeqlem2  46080  dirkertrigeqlem3  46081  dirkertrigeq  46082  dirkeritg  46083  dirkercncflem1  46084  fourierdlem24  46112  fourierdlem95  46182  fourierswlem  46211