Theorem gt0ne0ii 11717

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11716	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  ℝcr 11066  0cc0 11067   < clt 11210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-addrcl 11128  ax-rnegex 11138  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215

This theorem is referenced by:  eqneg  11905  recgt0ii  12092  nnne0i  12247  8th4div3  12435  halfpm6th  12437  5recm6rec  12832  0.999...  15902  bpoly2  16078  bpoly3  16079  fsumcube  16081  efi4p  16160  resin4p  16161  recos4p  16162  ef01bndlem  16207  cos2bnd  16211  sincos2sgn  16217  ene0  16232  pine0  26513  sinhalfpilem  26516  tan4thpi  26567  sincos6thpi  26569  sineq0  26577  coseq1  26578  efeq1  26581  cosne0  26582  efif1olem2  26596  efif1olem4  26598  eflogeq  26655  logf1o2  26703  cxpsqrt  26756  root1eq1  26808  sqrt2cxp2logb9e3  26852  ang180lem1  26862  ang180lem2  26863  ang180lem3  26864  2lgsoddprmlem1  27460  2lgsoddprmlem2  27461  chebbnd1lem3  27523  chebbnd1  27524  dp2cl  33018  dp2ltc  33025  dpfrac1  33030  dpmul4  33052  subfaclim  35499  bj-pinftynminfty  37680  taupilem1  37774  acos1half  42928  proot1ex  43734  coseq0  46399  sinaover2ne0  46403  wallispi  46605  stirlinglem3  46611  stirlinglem15  46623  dirkertrigeqlem2  46634  dirkertrigeqlem3  46635  dirkertrigeq  46636  dirkeritg  46637  dirkercncflem1  46638  fourierdlem24  46666  fourierdlem95  46736  fourierswlem  46765  goldrarr  47436  goldrasin  47437  goldrapos  47438  goldracos5teq  47440