Theorem gt0ne0ii 11756

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11755	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254

This theorem is used by:  eqneg  11941  recgt0ii  12127  nnne0i  12282  8th4div3  12470  halfpm6th  12472  5recm6rec  12867  0.999...  15942  bpoly2  16117  bpoly3  16118  fsumcube  16120  efi4p  16199  resin4p  16200  recos4p  16201  ef01bndlem  16246  cos2bnd  16250  sincos2sgn  16256  ene0  16271  pine0  26636  sinhalfpilem  26639  tan4thpi  26690  sincos6thpi  26692  sineq0  26700  coseq1  26701  efeq1  26704  cosne0  26705  efif1olem2  26719  efif1olem4  26721  eflogeq  26778  logf1o2  26826  cxpsqrt  26879  root1eq1  26931  sqrt2cxp2logb9e3  26975  ang180lem1  26985  ang180lem2  26986  ang180lem3  26987  2lgsoddprmlem1  27583  2lgsoddprmlem2  27584  chebbnd1lem3  27646  chebbnd1  27647  dp2cl  33210  dp2ltc  33217  dpfrac1  33222  dpmul4  33244  subfaclim  35688  bj-pinftynminfty  37899  taupilem1  37993  acos1half  43147  proot1ex  43951  coseq0  46606  sinaover2ne0  46610  wallispi  46812  stirlinglem3  46818  stirlinglem15  46830  dirkertrigeqlem2  46841  dirkertrigeqlem3  46842  dirkertrigeq  46843  dirkeritg  46844  dirkercncflem1  46845  fourierdlem24  46873  fourierdlem95  46943  fourierswlem  46972  goldrarr  47646  goldrasin  47647  goldrapos  47648  goldracos5teq  47650