Theorem gt0ne0ii 11746

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11745	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5147  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  eqneg  11930  recgt0ii  12116  nnne0i  12248  2ne0  12312  3ne0  12314  4ne0  12316  8th4div3  12428  halfpm6th  12429  5recm6rec  12817  0.999...  15823  bpoly2  15997  bpoly3  15998  fsumcube  16000  efi4p  16076  resin4p  16077  recos4p  16078  ef01bndlem  16123  cos2bnd  16127  sincos2sgn  16133  ene0  16148  sinhalfpilem  25964  sincos6thpi  26016  sineq0  26024  coseq1  26025  efeq1  26028  cosne0  26029  efif1olem2  26043  efif1olem4  26045  eflogeq  26101  logf1o2  26149  cxpsqrt  26202  root1eq1  26252  sqrt2cxp2logb9e3  26293  ang180lem1  26303  ang180lem2  26304  ang180lem3  26305  2lgsoddprmlem1  26900  2lgsoddprmlem2  26901  chebbnd1lem3  26963  chebbnd1  26964  dp2cl  32033  dp2ltc  32040  dpfrac1  32045  dpmul4  32067  subfaclim  34167  bj-pinftynminfty  36096  taupilem1  36190  acos1half  41018  proot1ex  41928  coseq0  44566  sinaover2ne0  44570  wallispi  44772  stirlinglem3  44778  stirlinglem15  44790  dirkertrigeqlem2  44801  dirkertrigeqlem3  44802  dirkertrigeq  44803  dirkeritg  44804  dirkercncflem1  44805  fourierdlem24  44833  fourierdlem95  44903  fourierswlem  44932