Theorem gt0ne0ii 10856

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 10855	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971   class class class wbr 4843  ℝcr 10223  0cc0 10224   < clt 10363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-addrcl 10285  ax-rnegex 10295  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368

This theorem is referenced by:  eqneg  11037  recgt0ii  11221  nnne0i  11353  2ne0  11424  3ne0  11426  4ne0  11428  8th4div3  11540  halfpm6th  11541  5recm6rec  11929  0.999...  14950  bpoly2  15124  bpoly3  15125  fsumcube  15127  efi4p  15203  resin4p  15204  recos4p  15205  ef01bndlem  15250  cos2bnd  15254  sincos2sgn  15260  ene0  15273  sinhalfpilem  24557  sincos6thpi  24609  sineq0  24615  coseq1  24616  efeq1  24617  cosne0  24618  efif1olem2  24631  efif1olem4  24633  eflogeq  24689  logf1o2  24737  ecxp  24760  cxpsqrt  24790  root1eq1  24840  sqrt2cxp2logb9e3  24881  ang180lem1  24891  ang180lem2  24892  ang180lem3  24893  2lgsoddprmlem1  25485  2lgsoddprmlem2  25486  chebbnd1lem3  25512  chebbnd1  25513  dp2cl  30104  dp2ltc  30111  dpfrac1  30116  dpmul4  30138  subfaclim  31687  bj-pinftynminfty  33613  taupilem1  33666  proot1ex  38564  coseq0  40819  sinaover2ne0  40823  wallispi  41030  stirlinglem3  41036  stirlinglem15  41048  dirkertrigeqlem2  41059  dirkertrigeqlem3  41060  dirkertrigeq  41061  dirkeritg  41062  dirkercncflem1  41063  fourierdlem24  41091  fourierdlem95  41161  fourierswlem  41190