Theorem gt0ne0ii 11774

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11773	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ℝcr 11123  0cc0 11124   < clt 11267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-addrcl 11185  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is used by:  eqneg  11959  recgt0ii  12145  nnne0i  12300  8th4div3  12488  halfpm6th  12490  5recm6rec  12886  0.999...  15970  bpoly2  16143  bpoly3  16144  fsumcube  16146  efi4p  16225  resin4p  16226  recos4p  16227  ef01bndlem  16272  cos2bnd  16276  sincos2sgn  16282  ene0  16297  pine0  26698  sinhalfpilem  26701  tan4thpi  26752  sincos6thpi  26753  sineq0  26761  coseq1  26762  efeq1  26765  cosne0  26766  efif1olem2  26780  efif1olem4  26782  eflogeq  26839  logf1o2  26887  cxpsqrt  26940  root1eq1  26992  sqrt2cxp2logb9e3  27036  ang180lem1  27046  ang180lem2  27047  ang180lem3  27048  2lgsoddprmlem1  27644  2lgsoddprmlem2  27645  chebbnd1lem3  27707  chebbnd1  27708  dp2cl  33325  dp2ltc  33332  dpfrac1  33337  dpmul4  33359  subfaclim  35767  bj-pinftynminfty  37979  taupilem1  38073  acos1half  43233  proot1ex  44037  coseq0  46692  sinaover2ne0  46696  wallispi  46898  stirlinglem3  46904  stirlinglem15  46916  dirkertrigeqlem2  46927  dirkertrigeqlem3  46928  dirkertrigeq  46929  dirkeritg  46930  dirkercncflem1  46931  fourierdlem24  46959  fourierdlem95  47029  fourierswlem  47058  goldrarr  47746  goldrasin  47747  goldrapos  47748  goldracos5teq  47750  goldratmolem4  47753