Theorem gt0ne0ii 11892

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11891	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-addrcl 11300  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387

This theorem is used by:  eqneg  12077  recgt0ii  12263  nnne0i  12418  8th4div3  12606  halfpm6th  12608  5recm6rec  13004  0.999...  16094  bpoly2  16267  bpoly3  16268  fsumcube  16270  efi4p  16349  resin4p  16350  recos4p  16351  ef01bndlem  16396  cos2bnd  16400  sincos2sgn  16406  ene0  16421  pine0  26846  sinhalfpilem  26849  tan4thpi  26900  sincos6thpi  26901  sineq0  26909  coseq1  26910  cosne0  26914  efif1olem2  26928  efif1olem4  26930  eflogeq  26987  logf1o2  27035  cxpsqrt  27088  root1eq1  27140  sqrt2cxp2logb9e3  27184  ang180lem1  27194  ang180lem2  27195  2lgsoddprmlem1  27792  2lgsoddprmlem2  27793  chebbnd1lem3  27855  chebbnd1  27856  dp2cl  33542  dp2ltc  33549  dpfrac1  33554  dpmul4  33576  subfaclim  36161  bj-pinftynminfty  38416  taupilem1  38510  acos1half  43675  proot1ex  44459  coseq0  47147  sinaover2ne0  47151  wallispi  47353  stirlinglem3  47359  stirlinglem15  47371  dirkertrigeqlem2  47382  dirkertrigeqlem3  47383  dirkertrigeq  47384  dirkeritg  47385  dirkercncflem1  47386  fourierdlem24  47414  fourierdlem95  47484  fourierswlem  47513  goldrarr  48201  goldrasin  48202  goldrapos  48203  goldracos5teq  48205  goldratmolem4  48208