Theorem gt0ne0ii 11754

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11753	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   class class class wbr 5147  ℝcr 11111  0cc0 11112   < clt 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257

This theorem is referenced by:  eqneg  11938  recgt0ii  12124  nnne0i  12256  2ne0  12320  3ne0  12322  4ne0  12324  8th4div3  12436  halfpm6th  12437  5recm6rec  12825  0.999...  15831  bpoly2  16005  bpoly3  16006  fsumcube  16008  efi4p  16084  resin4p  16085  recos4p  16086  ef01bndlem  16131  cos2bnd  16135  sincos2sgn  16141  ene0  16156  sinhalfpilem  26209  sincos6thpi  26261  sineq0  26269  coseq1  26270  efeq1  26273  cosne0  26274  efif1olem2  26288  efif1olem4  26290  eflogeq  26346  logf1o2  26394  cxpsqrt  26447  root1eq1  26499  sqrt2cxp2logb9e3  26540  ang180lem1  26550  ang180lem2  26551  ang180lem3  26552  2lgsoddprmlem1  27147  2lgsoddprmlem2  27148  chebbnd1lem3  27210  chebbnd1  27211  dp2cl  32313  dp2ltc  32320  dpfrac1  32325  dpmul4  32347  subfaclim  34477  bj-pinftynminfty  36411  taupilem1  36505  acos1half  41717  proot1ex  42245  coseq0  44878  sinaover2ne0  44882  wallispi  45084  stirlinglem3  45090  stirlinglem15  45102  dirkertrigeqlem2  45113  dirkertrigeqlem3  45114  dirkertrigeq  45115  dirkeritg  45116  dirkercncflem1  45117  fourierdlem24  45145  fourierdlem95  45215  fourierswlem  45244