Theorem gt0ne0ii 11441

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11440	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ℝcr 10801  0cc0 10802   < clt 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  eqneg  11625  recgt0ii  11811  nnne0i  11943  2ne0  12007  3ne0  12009  4ne0  12011  8th4div3  12123  halfpm6th  12124  5recm6rec  12510  0.999...  15521  bpoly2  15695  bpoly3  15696  fsumcube  15698  efi4p  15774  resin4p  15775  recos4p  15776  ef01bndlem  15821  cos2bnd  15825  sincos2sgn  15831  ene0  15846  sinhalfpilem  25525  sincos6thpi  25577  sineq0  25585  coseq1  25586  efeq1  25589  cosne0  25590  efif1olem2  25604  efif1olem4  25606  eflogeq  25662  logf1o2  25710  cxpsqrt  25763  root1eq1  25813  sqrt2cxp2logb9e3  25854  ang180lem1  25864  ang180lem2  25865  ang180lem3  25866  2lgsoddprmlem1  26461  2lgsoddprmlem2  26462  chebbnd1lem3  26524  chebbnd1  26525  dp2cl  31056  dp2ltc  31063  dpfrac1  31068  dpmul4  31090  subfaclim  33050  bj-pinftynminfty  35325  taupilem1  35419  acos1half  40098  proot1ex  40942  coseq0  43295  sinaover2ne0  43299  wallispi  43501  stirlinglem3  43507  stirlinglem15  43519  dirkertrigeqlem2  43530  dirkertrigeqlem3  43531  dirkertrigeq  43532  dirkeritg  43533  dirkercncflem1  43534  fourierdlem24  43562  fourierdlem95  43632  fourierswlem  43661