Theorem gt0ne0ii 11745

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11744	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ℝcr 11094  0cc0 11095   < clt 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-addrcl 11156  ax-rnegex 11166  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243

This theorem is referenced by:  eqneg  11930  recgt0ii  12116  nnne0i  12271  8th4div3  12459  halfpm6th  12461  5recm6rec  12856  0.999...  15931  bpoly2  16106  bpoly3  16107  fsumcube  16109  efi4p  16188  resin4p  16189  recos4p  16190  ef01bndlem  16235  cos2bnd  16239  sincos2sgn  16245  ene0  16260  pine0  26625  sinhalfpilem  26628  tan4thpi  26679  sincos6thpi  26681  sineq0  26689  coseq1  26690  efeq1  26693  cosne0  26694  efif1olem2  26708  efif1olem4  26710  eflogeq  26767  logf1o2  26815  cxpsqrt  26868  root1eq1  26920  sqrt2cxp2logb9e3  26964  ang180lem1  26974  ang180lem2  26975  ang180lem3  26976  2lgsoddprmlem1  27572  2lgsoddprmlem2  27573  chebbnd1lem3  27635  chebbnd1  27636  dp2cl  33199  dp2ltc  33206  dpfrac1  33211  dpmul4  33233  subfaclim  35680  bj-pinftynminfty  37871  taupilem1  37965  acos1half  43119  proot1ex  43923  coseq0  46578  sinaover2ne0  46582  wallispi  46784  stirlinglem3  46790  stirlinglem15  46802  dirkertrigeqlem2  46813  dirkertrigeqlem3  46814  dirkertrigeq  46815  dirkeritg  46816  dirkercncflem1  46817  fourierdlem24  46845  fourierdlem95  46915  fourierswlem  46944  goldrarr  47618  goldrasin  47619  goldrapos  47620  goldracos5teq  47622