Theorem gt0ne0ii 11721

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11720	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  eqneg  11909  recgt0ii  12096  nnne0i  12233  8th4div3  12409  halfpm6th  12411  5recm6rec  12799  0.999...  15854  bpoly2  16030  bpoly3  16031  fsumcube  16033  efi4p  16112  resin4p  16113  recos4p  16114  ef01bndlem  16159  cos2bnd  16163  sincos2sgn  16169  ene0  16184  pine0  26376  sinhalfpilem  26379  tan4thpi  26430  sincos6thpi  26432  sineq0  26440  coseq1  26441  efeq1  26444  cosne0  26445  efif1olem2  26459  efif1olem4  26461  eflogeq  26518  logf1o2  26566  cxpsqrt  26619  root1eq1  26672  sqrt2cxp2logb9e3  26716  ang180lem1  26726  ang180lem2  26727  ang180lem3  26728  2lgsoddprmlem1  27326  2lgsoddprmlem2  27327  chebbnd1lem3  27389  chebbnd1  27390  dp2cl  32807  dp2ltc  32814  dpfrac1  32819  dpmul4  32841  subfaclim  35182  bj-pinftynminfty  37222  taupilem1  37316  acos1half  42353  proot1ex  43192  coseq0  45869  sinaover2ne0  45873  wallispi  46075  stirlinglem3  46081  stirlinglem15  46093  dirkertrigeqlem2  46104  dirkertrigeqlem3  46105  dirkertrigeq  46106  dirkeritg  46107  dirkercncflem1  46108  fourierdlem24  46136  fourierdlem95  46206  fourierswlem  46235