Theorem gt0ne0ii 11750

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11749	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  eqneg  11934  recgt0ii  12120  nnne0i  12252  2ne0  12316  3ne0  12318  4ne0  12320  8th4div3  12432  halfpm6th  12433  5recm6rec  12821  0.999...  15827  bpoly2  16001  bpoly3  16002  fsumcube  16004  efi4p  16080  resin4p  16081  recos4p  16082  ef01bndlem  16127  cos2bnd  16131  sincos2sgn  16137  ene0  16152  sinhalfpilem  25973  sincos6thpi  26025  sineq0  26033  coseq1  26034  efeq1  26037  cosne0  26038  efif1olem2  26052  efif1olem4  26054  eflogeq  26110  logf1o2  26158  cxpsqrt  26211  root1eq1  26263  sqrt2cxp2logb9e3  26304  ang180lem1  26314  ang180lem2  26315  ang180lem3  26316  2lgsoddprmlem1  26911  2lgsoddprmlem2  26912  chebbnd1lem3  26974  chebbnd1  26975  dp2cl  32046  dp2ltc  32053  dpfrac1  32058  dpmul4  32080  subfaclim  34179  bj-pinftynminfty  36108  taupilem1  36202  acos1half  41415  proot1ex  41943  coseq0  44580  sinaover2ne0  44584  wallispi  44786  stirlinglem3  44792  stirlinglem15  44804  dirkertrigeqlem2  44815  dirkertrigeqlem3  44816  dirkertrigeq  44817  dirkeritg  44818  dirkercncflem1  44819  fourierdlem24  44847  fourierdlem95  44917  fourierswlem  44946