Theorem gt0ne0ii 11247

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11246	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934   class class class wbr 5027  ℝcr 10607  0cc0 10608   < clt 10746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-addrcl 10669  ax-rnegex 10679  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-ltxr 10751

This theorem is referenced by:  eqneg  11431  recgt0ii  11617  nnne0i  11749  2ne0  11813  3ne0  11815  4ne0  11817  8th4div3  11929  halfpm6th  11930  5recm6rec  12316  0.999...  15322  bpoly2  15496  bpoly3  15497  fsumcube  15499  efi4p  15575  resin4p  15576  recos4p  15577  ef01bndlem  15622  cos2bnd  15626  sincos2sgn  15632  ene0  15647  sinhalfpilem  25200  sincos6thpi  25252  sineq0  25260  coseq1  25261  efeq1  25264  cosne0  25265  efif1olem2  25279  efif1olem4  25281  eflogeq  25337  logf1o2  25385  cxpsqrt  25438  root1eq1  25488  sqrt2cxp2logb9e3  25529  ang180lem1  25539  ang180lem2  25540  ang180lem3  25541  2lgsoddprmlem1  26136  2lgsoddprmlem2  26137  chebbnd1lem3  26199  chebbnd1  26200  dp2cl  30721  dp2ltc  30728  dpfrac1  30733  dpmul4  30755  subfaclim  32713  bj-pinftynminfty  35008  taupilem1  35101  acos1half  39746  proot1ex  40582  coseq0  42931  sinaover2ne0  42935  wallispi  43137  stirlinglem3  43143  stirlinglem15  43155  dirkertrigeqlem2  43166  dirkertrigeqlem3  43167  dirkertrigeq  43168  dirkeritg  43169  dirkercncflem1  43170  fourierdlem24  43198  fourierdlem95  43268  fourierswlem  43297