Theorem gt0ne0ii 11165

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11164	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  eqneg  11349  recgt0ii  11535  nnne0i  11665  2ne0  11729  3ne0  11731  4ne0  11733  8th4div3  11845  halfpm6th  11846  5recm6rec  12230  0.999...  15229  bpoly2  15403  bpoly3  15404  fsumcube  15406  efi4p  15482  resin4p  15483  recos4p  15484  ef01bndlem  15529  cos2bnd  15533  sincos2sgn  15539  ene0  15554  sinhalfpilem  25056  sincos6thpi  25108  sineq0  25116  coseq1  25117  efeq1  25120  cosne0  25121  efif1olem2  25135  efif1olem4  25137  eflogeq  25193  logf1o2  25241  cxpsqrt  25294  root1eq1  25344  sqrt2cxp2logb9e3  25385  ang180lem1  25395  ang180lem2  25396  ang180lem3  25397  2lgsoddprmlem1  25992  2lgsoddprmlem2  25993  chebbnd1lem3  26055  chebbnd1  26056  dp2cl  30582  dp2ltc  30589  dpfrac1  30594  dpmul4  30616  subfaclim  32548  bj-pinftynminfty  34642  taupilem1  34735  proot1ex  40145  coseq0  42506  sinaover2ne0  42510  wallispi  42712  stirlinglem3  42718  stirlinglem15  42730  dirkertrigeqlem2  42741  dirkertrigeqlem3  42742  dirkertrigeq  42743  dirkeritg  42744  dirkercncflem1  42745  fourierdlem24  42773  fourierdlem95  42843  fourierswlem  42872