Theorem gt0ne0ii 11714

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11713	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  eqneg  11902  recgt0ii  12089  nnne0i  12226  8th4div3  12402  halfpm6th  12404  5recm6rec  12792  0.999...  15847  bpoly2  16023  bpoly3  16024  fsumcube  16026  efi4p  16105  resin4p  16106  recos4p  16107  ef01bndlem  16152  cos2bnd  16156  sincos2sgn  16162  ene0  16177  pine0  26369  sinhalfpilem  26372  tan4thpi  26423  sincos6thpi  26425  sineq0  26433  coseq1  26434  efeq1  26437  cosne0  26438  efif1olem2  26452  efif1olem4  26454  eflogeq  26511  logf1o2  26559  cxpsqrt  26612  root1eq1  26665  sqrt2cxp2logb9e3  26709  ang180lem1  26719  ang180lem2  26720  ang180lem3  26721  2lgsoddprmlem1  27319  2lgsoddprmlem2  27320  chebbnd1lem3  27382  chebbnd1  27383  dp2cl  32800  dp2ltc  32807  dpfrac1  32812  dpmul4  32834  subfaclim  35175  bj-pinftynminfty  37215  taupilem1  37309  acos1half  42346  proot1ex  43185  coseq0  45862  sinaover2ne0  45866  wallispi  46068  stirlinglem3  46074  stirlinglem15  46086  dirkertrigeqlem2  46097  dirkertrigeqlem3  46098  dirkertrigeq  46099  dirkeritg  46100  dirkercncflem1  46101  fourierdlem24  46129  fourierdlem95  46199  fourierswlem  46228