Theorem gt0ne0ii 11796

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11795	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   class class class wbr 5147  ℝcr 11151  0cc0 11152   < clt 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297

This theorem is referenced by:  eqneg  11984  recgt0ii  12171  nnne0i  12303  2ne0  12367  3ne0  12369  4ne0  12371  8th4div3  12483  halfpm6th  12484  5recm6rec  12874  0.999...  15913  bpoly2  16089  bpoly3  16090  fsumcube  16092  efi4p  16169  resin4p  16170  recos4p  16171  ef01bndlem  16216  cos2bnd  16220  sincos2sgn  16226  ene0  16241  sinhalfpilem  26519  tan4thpi  26570  sincos6thpi  26572  sineq0  26580  coseq1  26581  efeq1  26584  cosne0  26585  efif1olem2  26599  efif1olem4  26601  eflogeq  26658  logf1o2  26706  cxpsqrt  26759  root1eq1  26812  sqrt2cxp2logb9e3  26856  ang180lem1  26866  ang180lem2  26867  ang180lem3  26868  2lgsoddprmlem1  27466  2lgsoddprmlem2  27467  chebbnd1lem3  27529  chebbnd1  27530  dp2cl  32846  dp2ltc  32853  dpfrac1  32858  dpmul4  32880  subfaclim  35172  bj-pinftynminfty  37209  taupilem1  37303  pine0  42326  acos1half  42366  proot1ex  43184  coseq0  45819  sinaover2ne0  45823  wallispi  46025  stirlinglem3  46031  stirlinglem15  46043  dirkertrigeqlem2  46054  dirkertrigeqlem3  46055  dirkertrigeq  46056  dirkeritg  46057  dirkercncflem1  46058  fourierdlem24  46086  fourierdlem95  46156  fourierswlem  46185