Theorem gt0ne0ii 11511

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11510	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  eqneg  11695  recgt0ii  11881  nnne0i  12013  2ne0  12077  3ne0  12079  4ne0  12081  8th4div3  12193  halfpm6th  12194  5recm6rec  12581  0.999...  15593  bpoly2  15767  bpoly3  15768  fsumcube  15770  efi4p  15846  resin4p  15847  recos4p  15848  ef01bndlem  15893  cos2bnd  15897  sincos2sgn  15903  ene0  15918  sinhalfpilem  25620  sincos6thpi  25672  sineq0  25680  coseq1  25681  efeq1  25684  cosne0  25685  efif1olem2  25699  efif1olem4  25701  eflogeq  25757  logf1o2  25805  cxpsqrt  25858  root1eq1  25908  sqrt2cxp2logb9e3  25949  ang180lem1  25959  ang180lem2  25960  ang180lem3  25961  2lgsoddprmlem1  26556  2lgsoddprmlem2  26557  chebbnd1lem3  26619  chebbnd1  26620  dp2cl  31154  dp2ltc  31161  dpfrac1  31166  dpmul4  31188  subfaclim  33150  bj-pinftynminfty  35398  taupilem1  35492  acos1half  40170  proot1ex  41026  coseq0  43405  sinaover2ne0  43409  wallispi  43611  stirlinglem3  43617  stirlinglem15  43629  dirkertrigeqlem2  43640  dirkertrigeqlem3  43641  dirkertrigeq  43642  dirkeritg  43643  dirkercncflem1  43644  fourierdlem24  43672  fourierdlem95  43742  fourierswlem  43771