Theorem gt0ne0ii 11648

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11647	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086  ℝcr 11000  0cc0 11001   < clt 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-addrcl 11062  ax-rnegex 11072  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146

This theorem is referenced by:  eqneg  11836  recgt0ii  12023  nnne0i  12160  8th4div3  12336  halfpm6th  12338  5recm6rec  12726  0.999...  15783  bpoly2  15959  bpoly3  15960  fsumcube  15962  efi4p  16041  resin4p  16042  recos4p  16043  ef01bndlem  16088  cos2bnd  16092  sincos2sgn  16098  ene0  16113  pine0  26391  sinhalfpilem  26394  tan4thpi  26445  sincos6thpi  26447  sineq0  26455  coseq1  26456  efeq1  26459  cosne0  26460  efif1olem2  26474  efif1olem4  26476  eflogeq  26533  logf1o2  26581  cxpsqrt  26634  root1eq1  26687  sqrt2cxp2logb9e3  26731  ang180lem1  26741  ang180lem2  26742  ang180lem3  26743  2lgsoddprmlem1  27341  2lgsoddprmlem2  27342  chebbnd1lem3  27404  chebbnd1  27405  dp2cl  32852  dp2ltc  32859  dpfrac1  32864  dpmul4  32886  subfaclim  35224  bj-pinftynminfty  37261  taupilem1  37355  acos1half  42391  proot1ex  43229  coseq0  45902  sinaover2ne0  45906  wallispi  46108  stirlinglem3  46114  stirlinglem15  46126  dirkertrigeqlem2  46137  dirkertrigeqlem3  46138  dirkertrigeq  46139  dirkeritg  46140  dirkercncflem1  46141  fourierdlem24  46169  fourierdlem95  46239  fourierswlem  46268