Theorem gt0ne0ii 11673

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11672	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  eqneg  11861  recgt0ii  12048  nnne0i  12185  8th4div3  12361  halfpm6th  12363  5recm6rec  12750  0.999...  15804  bpoly2  15980  bpoly3  15981  fsumcube  15983  efi4p  16062  resin4p  16063  recos4p  16064  ef01bndlem  16109  cos2bnd  16113  sincos2sgn  16119  ene0  16134  pine0  26425  sinhalfpilem  26428  tan4thpi  26479  sincos6thpi  26481  sineq0  26489  coseq1  26490  efeq1  26493  cosne0  26494  efif1olem2  26508  efif1olem4  26510  eflogeq  26567  logf1o2  26615  cxpsqrt  26668  root1eq1  26721  sqrt2cxp2logb9e3  26765  ang180lem1  26775  ang180lem2  26776  ang180lem3  26777  2lgsoddprmlem1  27375  2lgsoddprmlem2  27376  chebbnd1lem3  27438  chebbnd1  27439  dp2cl  32961  dp2ltc  32968  dpfrac1  32973  dpmul4  32995  subfaclim  35382  bj-pinftynminfty  37432  taupilem1  37526  acos1half  42613  proot1ex  43438  coseq0  46108  sinaover2ne0  46112  wallispi  46314  stirlinglem3  46320  stirlinglem15  46332  dirkertrigeqlem2  46343  dirkertrigeqlem3  46344  dirkertrigeq  46345  dirkeritg  46346  dirkercncflem1  46347  fourierdlem24  46375  fourierdlem95  46445  fourierswlem  46474