MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0ii 11164
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2 0 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
gt0ne0ii 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii
StepHypRef Expression
1 gt0ne0i.2 . 2 0 < 𝐴
2 lt2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
32gt0ne0i 11163 . 2 (0 < 𝐴𝐴 ≠ 0)
41, 3ax-mp 5 1 𝐴 ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cr 10524  0cc0 10525   < clt 10663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668
This theorem is referenced by:  eqneg  11348  recgt0ii  11534  nnne0i  11665  2ne0  11729  3ne0  11731  4ne0  11733  8th4div3  11845  halfpm6th  11846  5recm6rec  12230  0.999...  15225  bpoly2  15399  bpoly3  15400  fsumcube  15402  efi4p  15478  resin4p  15479  recos4p  15480  ef01bndlem  15525  cos2bnd  15529  sincos2sgn  15535  ene0  15550  sinhalfpilem  24976  sincos6thpi  25028  sineq0  25036  coseq1  25037  efeq1  25040  cosne0  25041  efif1olem2  25054  efif1olem4  25056  eflogeq  25112  logf1o2  25160  cxpsqrt  25213  root1eq1  25263  sqrt2cxp2logb9e3  25304  ang180lem1  25314  ang180lem2  25315  ang180lem3  25316  2lgsoddprmlem1  25911  2lgsoddprmlem2  25912  chebbnd1lem3  25974  chebbnd1  25975  dp2cl  30483  dp2ltc  30490  dpfrac1  30495  dpmul4  30517  subfaclim  32332  bj-pinftynminfty  34401  taupilem1  34484  proot1ex  39679  coseq0  42021  sinaover2ne0  42025  wallispi  42232  stirlinglem3  42238  stirlinglem15  42250  dirkertrigeqlem2  42261  dirkertrigeqlem3  42262  dirkertrigeq  42263  dirkeritg  42264  dirkercncflem1  42265  fourierdlem24  42293  fourierdlem95  42363  fourierswlem  42392
  Copyright terms: Public domain W3C validator