Theorem gt0ne0ii 10770

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 10769	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787  ℝcr 10141  0cc0 10142   < clt 10280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285

This theorem is referenced by:  eqneg  10951  recgt0ii  11135  nnne0i  11261  2ne0  11319  3ne0  11321  4ne0  11323  8th4div3  11459  halfpm6th  11460  5recm6rec  11892  0.999...  14819  0.999...OLD  14820  bpoly2  14994  bpoly3  14995  fsumcube  14997  efi4p  15073  resin4p  15074  recos4p  15075  ef01bndlem  15120  cos2bnd  15124  sincos2sgn  15130  ene0  15143  sinhalfpilem  24436  sincos6thpi  24488  sineq0  24494  coseq1  24495  efeq1  24496  cosne0  24497  efif1olem2  24510  efif1olem4  24512  eflogeq  24569  logf1o2  24617  ecxp  24640  cxpsqrt  24670  root1eq1  24717  ang180lem1  24760  ang180lem2  24761  ang180lem3  24762  2lgsoddprmlem1  25354  2lgsoddprmlem2  25355  chebbnd1lem3  25381  chebbnd1  25382  dp2cl  29927  dp2ltc  29934  dpfrac1  29939  dpfrac1OLD  29940  dpmul4  29962  subfaclim  31508  bj-pinftynminfty  33450  taupilem1  33503  proot1ex  38303  coseq0  40588  sinaover2ne0  40592  wallispi  40799  stirlinglem3  40805  stirlinglem15  40817  dirkertrigeqlem2  40828  dirkertrigeqlem3  40829  dirkertrigeq  40830  dirkeritg  40831  dirkercncflem1  40832  fourierdlem24  40860  fourierdlem95  40930  fourierswlem  40959