Theorem gt0ne0ii 11690

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11689	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189

This theorem is referenced by:  eqneg  11878  recgt0ii  12065  nnne0i  12202  8th4div3  12378  halfpm6th  12380  5recm6rec  12768  0.999...  15823  bpoly2  15999  bpoly3  16000  fsumcube  16002  efi4p  16081  resin4p  16082  recos4p  16083  ef01bndlem  16128  cos2bnd  16132  sincos2sgn  16138  ene0  16153  pine0  26345  sinhalfpilem  26348  tan4thpi  26399  sincos6thpi  26401  sineq0  26409  coseq1  26410  efeq1  26413  cosne0  26414  efif1olem2  26428  efif1olem4  26430  eflogeq  26487  logf1o2  26535  cxpsqrt  26588  root1eq1  26641  sqrt2cxp2logb9e3  26685  ang180lem1  26695  ang180lem2  26696  ang180lem3  26697  2lgsoddprmlem1  27295  2lgsoddprmlem2  27296  chebbnd1lem3  27358  chebbnd1  27359  dp2cl  32773  dp2ltc  32780  dpfrac1  32785  dpmul4  32807  subfaclim  35148  bj-pinftynminfty  37188  taupilem1  37282  acos1half  42319  proot1ex  43158  coseq0  45835  sinaover2ne0  45839  wallispi  46041  stirlinglem3  46047  stirlinglem15  46059  dirkertrigeqlem2  46070  dirkertrigeqlem3  46071  dirkertrigeq  46072  dirkeritg  46073  dirkercncflem1  46074  fourierdlem24  46102  fourierdlem95  46172  fourierswlem  46201