Theorem gt0ne0ii 11799

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11798	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  eqneg  11987  recgt0ii  12174  nnne0i  12306  2ne0  12370  3ne0  12372  4ne0  12374  8th4div3  12486  halfpm6th  12487  5recm6rec  12877  0.999...  15917  bpoly2  16093  bpoly3  16094  fsumcube  16096  efi4p  16173  resin4p  16174  recos4p  16175  ef01bndlem  16220  cos2bnd  16224  sincos2sgn  16230  ene0  16245  sinhalfpilem  26505  tan4thpi  26556  sincos6thpi  26558  sineq0  26566  coseq1  26567  efeq1  26570  cosne0  26571  efif1olem2  26585  efif1olem4  26587  eflogeq  26644  logf1o2  26692  cxpsqrt  26745  root1eq1  26798  sqrt2cxp2logb9e3  26842  ang180lem1  26852  ang180lem2  26853  ang180lem3  26854  2lgsoddprmlem1  27452  2lgsoddprmlem2  27453  chebbnd1lem3  27515  chebbnd1  27516  dp2cl  32862  dp2ltc  32869  dpfrac1  32874  dpmul4  32896  subfaclim  35193  bj-pinftynminfty  37228  taupilem1  37322  pine0  42348  acos1half  42388  proot1ex  43208  coseq0  45879  sinaover2ne0  45883  wallispi  46085  stirlinglem3  46091  stirlinglem15  46103  dirkertrigeqlem2  46114  dirkertrigeqlem3  46115  dirkertrigeq  46116  dirkeritg  46117  dirkercncflem1  46118  fourierdlem24  46146  fourierdlem95  46216  fourierswlem  46245