Theorem gt0ne0ii 11677

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11676	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  eqneg  11866  recgt0ii  12053  nnne0i  12208  8th4div3  12388  halfpm6th  12390  5recm6rec  12778  0.999...  15837  bpoly2  16013  bpoly3  16014  fsumcube  16016  efi4p  16095  resin4p  16096  recos4p  16097  ef01bndlem  16142  cos2bnd  16146  sincos2sgn  16152  ene0  16167  pine0  26442  sinhalfpilem  26445  tan4thpi  26496  sincos6thpi  26498  sineq0  26506  coseq1  26507  efeq1  26510  cosne0  26511  efif1olem2  26525  efif1olem4  26527  eflogeq  26584  logf1o2  26632  cxpsqrt  26685  root1eq1  26737  sqrt2cxp2logb9e3  26781  ang180lem1  26791  ang180lem2  26792  ang180lem3  26793  2lgsoddprmlem1  27389  2lgsoddprmlem2  27390  chebbnd1lem3  27452  chebbnd1  27453  dp2cl  32958  dp2ltc  32965  dpfrac1  32970  dpmul4  32992  subfaclim  35416  bj-pinftynminfty  37587  taupilem1  37681  acos1half  42835  proot1ex  43641  coseq0  46307  sinaover2ne0  46311  wallispi  46513  stirlinglem3  46519  stirlinglem15  46531  dirkertrigeqlem2  46542  dirkertrigeqlem3  46543  dirkertrigeq  46544  dirkeritg  46545  dirkercncflem1  46546  fourierdlem24  46574  fourierdlem95  46644  fourierswlem  46673  goldrarr  47344  goldrasin  47345  goldrapos  47346  goldracos5teq  47348