Theorem gt0ne0ii 11677

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11676	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  eqneg  11866  recgt0ii  12053  nnne0i  12208  8th4div3  12388  halfpm6th  12390  5recm6rec  12778  0.999...  15837  bpoly2  16013  bpoly3  16014  fsumcube  16016  efi4p  16095  resin4p  16096  recos4p  16097  ef01bndlem  16142  cos2bnd  16146  sincos2sgn  16152  ene0  16167  pine0  26437  sinhalfpilem  26440  tan4thpi  26491  sincos6thpi  26493  sineq0  26501  coseq1  26502  efeq1  26505  cosne0  26506  efif1olem2  26520  efif1olem4  26522  eflogeq  26579  logf1o2  26627  cxpsqrt  26680  root1eq1  26732  sqrt2cxp2logb9e3  26776  ang180lem1  26786  ang180lem2  26787  ang180lem3  26788  2lgsoddprmlem1  27385  2lgsoddprmlem2  27386  chebbnd1lem3  27448  chebbnd1  27449  dp2cl  32954  dp2ltc  32961  dpfrac1  32966  dpmul4  32988  subfaclim  35386  bj-pinftynminfty  37557  taupilem1  37651  acos1half  42804  proot1ex  43642  coseq0  46310  sinaover2ne0  46314  wallispi  46516  stirlinglem3  46522  stirlinglem15  46534  dirkertrigeqlem2  46545  dirkertrigeqlem3  46546  dirkertrigeq  46547  dirkeritg  46548  dirkercncflem1  46549  fourierdlem24  46577  fourierdlem95  46647  fourierswlem  46676  goldrarr  47343  goldrasin  47344  goldrapos  47345