Theorem gt0ne0ii 11685

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
gt0ne0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		lt2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	gt0ne0i 11684	. 2 ⊢ (0 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  eqneg  11873  recgt0ii  12060  nnne0i  12197  8th4div3  12373  halfpm6th  12375  5recm6rec  12762  0.999...  15816  bpoly2  15992  bpoly3  15993  fsumcube  15995  efi4p  16074  resin4p  16075  recos4p  16076  ef01bndlem  16121  cos2bnd  16125  sincos2sgn  16131  ene0  16146  pine0  26437  sinhalfpilem  26440  tan4thpi  26491  sincos6thpi  26493  sineq0  26501  coseq1  26502  efeq1  26505  cosne0  26506  efif1olem2  26520  efif1olem4  26522  eflogeq  26579  logf1o2  26627  cxpsqrt  26680  root1eq1  26733  sqrt2cxp2logb9e3  26777  ang180lem1  26787  ang180lem2  26788  ang180lem3  26789  2lgsoddprmlem1  27387  2lgsoddprmlem2  27388  chebbnd1lem3  27450  chebbnd1  27451  dp2cl  32972  dp2ltc  32979  dpfrac1  32984  dpmul4  33006  subfaclim  35404  bj-pinftynminfty  37482  taupilem1  37576  acos1half  42728  proot1ex  43553  coseq0  46222  sinaover2ne0  46226  wallispi  46428  stirlinglem3  46434  stirlinglem15  46446  dirkertrigeqlem2  46457  dirkertrigeqlem3  46458  dirkertrigeq  46459  dirkeritg  46460  dirkercncflem1  46461  fourierdlem24  46489  fourierdlem95  46559  fourierswlem  46588