MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdivp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdivp1i 12077
Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 ๐ด โˆˆ โ„
prodgt0.2 ๐ต โˆˆ โ„
ltmul1.3 ๐ถ โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
ltdivp1i ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต)

Proof of Theorem ltdivp1i
StepHypRef Expression
1 ltplus1.1 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„
2 ltmul1.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„
3 1re 11151 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
42, 3readdcli 11166 . . . . 5 (๐ถ + 1) โˆˆ โ„
52ltp1i 12055 . . . . . . 7 ๐ถ < (๐ถ + 1)
62, 4, 5ltleii 11274 . . . . . 6 ๐ถ โ‰ค (๐ถ + 1)
7 lemul2a 12006 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐ถ โ‰ค (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
86, 7mpan2 689 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
92, 4, 8mp3an12 1451 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
101, 9mpan 688 . . 3 (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
11103ad2ant1 1133 . 2 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
12 0re 11153 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
1312, 2, 4lelttri 11278 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < (๐ถ + 1)) โ†’ 0 < (๐ถ + 1))
145, 13mpan2 689 . . . . . 6 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ 0 < (๐ถ + 1))
154gt0ne0i 11686 . . . . . . . . 9 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ถ + 1) โ‰  0)
16 prodgt0.2 . . . . . . . . . 10 ๐ต โˆˆ โ„
1716, 4redivclzi 11917 . . . . . . . . 9 ((๐ถ + 1) โ‰  0 โ†’ (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„)
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„)
19 ltmul1 12001 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
201, 19mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 (((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
214, 20mpanr1 701 . . . . . . . 8 (((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2218, 21mpancom 686 . . . . . . 7 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2322biimpd 228 . . . . . 6 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2414, 23syl 17 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2524imp 407 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)))
2616recni 11165 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„‚
274recni 11165 . . . . . . 7 (๐ถ + 1) โˆˆ โ„‚
2826, 27divcan1zi 11887 . . . . . 6 ((๐ถ + 1) โ‰  0 โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
2914, 15, 283syl 18 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3029adantr 481 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3125, 30breqtrd 5129 . . 3 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ๐ต)
32313adant1 1130 . 2 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ๐ต)
331, 2remulcli 11167 . . 3 (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„
341, 4remulcli 11167 . . 3 (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„
3533, 34, 16lelttri 11278 . 2 (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โˆง (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต)
3611, 32, 35syl2anc 584 1 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  โ„cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   ยท cmul 11052   < clt 11185   โ‰ค cle 11186   / cdiv 11808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator