Theorem ltdivp1i 12109

Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltdivp1i	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltdivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltmul1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
3		1re 11174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11189	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℝ
5	2	ltp1i 12087	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + 1)
6	2, 4, 5	ltleii 11297	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7		lemul2a 12037	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
9	2, 4, 8	mp3an12 1453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
10	1, 9	mpan 690	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12		0re 11176	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12, 2, 4	lelttri 11301	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
14	5, 13	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
15	4	gt0ne0i 11713	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16		prodgt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	16, 4	redivclzi 11948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19		ltmul1 12032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
20	1, 19	mp3an1 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
21	4, 20	mpanr1 703	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
22	18, 21	mpancom 688	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
23	22	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
24	14, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
25	24	imp 406	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
26	16	recni 11188	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
27	4	recni 11188	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℂ
28	26, 27	divcan1zi 11918	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
29	14, 15, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
31	25, 30	breqtrd 5133	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
32	31	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
33	1, 2	remulcli 11190	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
34	1, 4	remulcli 11190	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
35	33, 34, 16	lelttri 11301	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)
36	11, 32, 35	syl2anc 584	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by: (None)