Theorem ltdivp1i 12080

Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltdivp1i	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltdivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltmul1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
3		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11159	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℝ
5	2	ltp1i 12058	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + 1)
6	2, 4, 5	ltleii 11268	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7		lemul2a 12008	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
9	2, 4, 8	mp3an12 1454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
10	1, 9	mpan 691	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12		0re 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12, 2, 4	lelttri 11272	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
14	5, 13	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
15	4	gt0ne0i 11684	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16		prodgt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	16, 4	redivclzi 11919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19		ltmul1 12003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
20	1, 19	mp3an1 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
21	4, 20	mpanr1 704	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
22	18, 21	mpancom 689	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
23	22	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
24	14, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
25	24	imp 406	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
26	16	recni 11158	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
27	4	recni 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℂ
28	26, 27	divcan1zi 11889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
29	14, 15, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
31	25, 30	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
32	31	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
33	1, 2	remulcli 11160	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
34	1, 4	remulcli 11160	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
35	33, 34, 16	lelttri 11272	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)
36	11, 32, 35	syl2anc 585	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by: (None)