Theorem ltdivp1i 12192

Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltdivp1i	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltdivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltmul1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
3		1re 11259	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11274	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℝ
5	2	ltp1i 12170	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + 1)
6	2, 4, 5	ltleii 11382	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7		lemul2a 12120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
9	2, 4, 8	mp3an12 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
10	1, 9	mpan 690	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12		0re 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12, 2, 4	lelttri 11386	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
14	5, 13	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
15	4	gt0ne0i 11796	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16		prodgt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	16, 4	redivclzi 12031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19		ltmul1 12115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
20	1, 19	mp3an1 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
21	4, 20	mpanr1 703	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
22	18, 21	mpancom 688	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
23	22	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
24	14, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
25	24	imp 406	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
26	16	recni 11273	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
27	4	recni 11273	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℂ
28	26, 27	divcan1zi 12001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
29	14, 15, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
31	25, 30	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
32	31	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
33	1, 2	remulcli 11275	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
34	1, 4	remulcli 11275	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
35	33, 34, 16	lelttri 11386	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)
36	11, 32, 35	syl2anc 584	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   / cdiv 11918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919

This theorem is referenced by: (None)