MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdivp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdivp1i 12180
Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 ๐ด โˆˆ โ„
prodgt0.2 ๐ต โˆˆ โ„
ltmul1.3 ๐ถ โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
ltdivp1i ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต)

Proof of Theorem ltdivp1i
StepHypRef Expression
1 ltplus1.1 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„
2 ltmul1.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„
3 1re 11254 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
42, 3readdcli 11269 . . . . 5 (๐ถ + 1) โˆˆ โ„
52ltp1i 12158 . . . . . . 7 ๐ถ < (๐ถ + 1)
62, 4, 5ltleii 11377 . . . . . 6 ๐ถ โ‰ค (๐ถ + 1)
7 lemul2a 12109 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐ถ โ‰ค (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
86, 7mpan2 689 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
92, 4, 8mp3an12 1447 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
101, 9mpan 688 . . 3 (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
11103ad2ant1 1130 . 2 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
12 0re 11256 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
1312, 2, 4lelttri 11381 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < (๐ถ + 1)) โ†’ 0 < (๐ถ + 1))
145, 13mpan2 689 . . . . . 6 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ 0 < (๐ถ + 1))
154gt0ne0i 11789 . . . . . . . . 9 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ถ + 1) โ‰  0)
16 prodgt0.2 . . . . . . . . . 10 ๐ต โˆˆ โ„
1716, 4redivclzi 12020 . . . . . . . . 9 ((๐ถ + 1) โ‰  0 โ†’ (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„)
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„)
19 ltmul1 12104 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
201, 19mp3an1 1444 . . . . . . . . 9 (((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
214, 20mpanr1 701 . . . . . . . 8 (((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2218, 21mpancom 686 . . . . . . 7 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2322biimpd 228 . . . . . 6 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2414, 23syl 17 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2524imp 405 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)))
2616recni 11268 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„‚
274recni 11268 . . . . . . 7 (๐ถ + 1) โˆˆ โ„‚
2826, 27divcan1zi 11990 . . . . . 6 ((๐ถ + 1) โ‰  0 โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
2914, 15, 283syl 18 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3029adantr 479 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3125, 30breqtrd 5178 . . 3 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ๐ต)
32313adant1 1127 . 2 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ๐ต)
331, 2remulcli 11270 . . 3 (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„
341, 4remulcli 11270 . . 3 (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„
3533, 34, 16lelttri 11381 . 2 (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โˆง (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต)
3611, 32, 35syl2anc 582 1 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   / cdiv 11911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator