Theorem ltdivp1i 12118

Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltdivp1i	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltdivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltmul1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
3		1re 11181	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11197	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℝ
5	2	ltp1i 12096	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + 1)
6	2, 4, 5	ltleii 11306	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7		lemul2a 12046	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 701	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
9	2, 4, 8	mp3an12 1472	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
10	1, 9	mpan 700	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1146	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12		0re 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12, 2, 4	lelttri 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
14	5, 13	mpan2 701	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
15	4	gt0ne0i 11722	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16		prodgt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	16, 4	redivclzi 11957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19		ltmul1 12041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
20	1, 19	mp3an1 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
21	4, 20	mpanr1 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
22	18, 21	mpancom 698	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
23	22	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
24	14, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
25	24	imp 410	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
26	16	recni 11196	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
27	4	recni 11196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℂ
28	26, 27	divcan1zi 11927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
29	14, 15, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
30	29	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
31	25, 30	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
32	31	3adant1 1143	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵)
33	1, 2	remulcli 11198	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
34	1, 4	remulcli 11198	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
35	33, 34, 16	lelttri 11310	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)
36	11, 32, 35	syl2anc 593	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 < (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   < clt 11216   ≤ cle 11217   / cdiv 11844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845

This theorem is referenced by: (None)