MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdivp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdivp1i 12144
Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 ๐ด โˆˆ โ„
prodgt0.2 ๐ต โˆˆ โ„
ltmul1.3 ๐ถ โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
ltdivp1i ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต)

Proof of Theorem ltdivp1i
StepHypRef Expression
1 ltplus1.1 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„
2 ltmul1.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„
3 1re 11218 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
42, 3readdcli 11233 . . . . 5 (๐ถ + 1) โˆˆ โ„
52ltp1i 12122 . . . . . . 7 ๐ถ < (๐ถ + 1)
62, 4, 5ltleii 11341 . . . . . 6 ๐ถ โ‰ค (๐ถ + 1)
7 lemul2a 12073 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐ถ โ‰ค (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
86, 7mpan2 688 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
92, 4, 8mp3an12 1447 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
101, 9mpan 687 . . 3 (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
11103ad2ant1 1130 . 2 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
12 0re 11220 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
1312, 2, 4lelttri 11345 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < (๐ถ + 1)) โ†’ 0 < (๐ถ + 1))
145, 13mpan2 688 . . . . . 6 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ 0 < (๐ถ + 1))
154gt0ne0i 11753 . . . . . . . . 9 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ถ + 1) โ‰  0)
16 prodgt0.2 . . . . . . . . . 10 ๐ต โˆˆ โ„
1716, 4redivclzi 11984 . . . . . . . . 9 ((๐ถ + 1) โ‰  0 โ†’ (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„)
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„)
19 ltmul1 12068 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
201, 19mp3an1 1444 . . . . . . . . 9 (((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
214, 20mpanr1 700 . . . . . . . 8 (((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2218, 21mpancom 685 . . . . . . 7 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2322biimpd 228 . . . . . 6 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2414, 23syl 17 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ (๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2524imp 406 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)))
2616recni 11232 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„‚
274recni 11232 . . . . . . 7 (๐ถ + 1) โˆˆ โ„‚
2826, 27divcan1zi 11954 . . . . . 6 ((๐ถ + 1) โ‰  0 โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
2914, 15, 283syl 18 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3029adantr 480 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3125, 30breqtrd 5167 . . 3 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ๐ต)
32313adant1 1127 . 2 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ๐ต)
331, 2remulcli 11234 . . 3 (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„
341, 4remulcli 11234 . . 3 (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„
3533, 34, 16lelttri 11345 . 2 (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โˆง (๐ด ยท (๐ถ + 1)) < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต)
3611, 32, 35syl2anc 583 1 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด < (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator