MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledivp1i 12038
Description: "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 ๐ด โˆˆ โ„
prodgt0.2 ๐ต โˆˆ โ„
ltmul1.3 ๐ถ โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
ledivp1i ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต)

Proof of Theorem ledivp1i
StepHypRef Expression
1 ltplus1.1 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„
2 ltmul1.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„
3 1re 11113 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
42, 3readdcli 11128 . . . . 5 (๐ถ + 1) โˆˆ โ„
52ltp1i 12017 . . . . . . 7 ๐ถ < (๐ถ + 1)
62, 4, 5ltleii 11236 . . . . . 6 ๐ถ โ‰ค (๐ถ + 1)
7 lemul2a 11968 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐ถ โ‰ค (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
86, 7mpan2 689 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
92, 4, 8mp3an12 1451 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
101, 9mpan 688 . . 3 (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
11103ad2ant1 1133 . 2 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
12 0re 11115 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
1312, 2, 4lelttri 11240 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < (๐ถ + 1)) โ†’ 0 < (๐ถ + 1))
145, 13mpan2 689 . . . . . 6 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ 0 < (๐ถ + 1))
154gt0ne0i 11648 . . . . . . . . 9 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ถ + 1) โ‰  0)
16 prodgt0.2 . . . . . . . . . 10 ๐ต โˆˆ โ„
1716, 4redivclzi 11879 . . . . . . . . 9 ((๐ถ + 1) โ‰  0 โ†’ (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„)
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„)
19 lemul1 11965 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
201, 19mp3an1 1448 . . . . . . . . . 10 (((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2120ex 413 . . . . . . . . 9 ((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)))))
224, 21mpani 694 . . . . . . . 8 ((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)))))
2318, 22mpcom 38 . . . . . . 7 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2423biimpd 228 . . . . . 6 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2514, 24syl 17 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2625imp 407 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)))
2716recni 11127 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„‚
284recni 11127 . . . . . . 7 (๐ถ + 1) โˆˆ โ„‚
2927, 28divcan1zi 11849 . . . . . 6 ((๐ถ + 1) โ‰  0 โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3014, 15, 293syl 18 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3130adantr 481 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3226, 31breqtrd 5129 . . 3 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ๐ต)
33323adant1 1130 . 2 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ๐ต)
341, 2remulcli 11129 . . 3 (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„
351, 4remulcli 11129 . . 3 (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„
3634, 35, 16letri 11242 . 2 (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โˆง (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต)
3711, 33, 36syl2anc 584 1 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  โ„cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   ยท cmul 11014   < clt 11147   โ‰ค cle 11148   / cdiv 11770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator