MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledivp1i 12139
Description: "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 ๐ด โˆˆ โ„
prodgt0.2 ๐ต โˆˆ โ„
ltmul1.3 ๐ถ โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
ledivp1i ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต)

Proof of Theorem ledivp1i
StepHypRef Expression
1 ltplus1.1 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„
2 ltmul1.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„
3 1re 11214 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
42, 3readdcli 11229 . . . . 5 (๐ถ + 1) โˆˆ โ„
52ltp1i 12118 . . . . . . 7 ๐ถ < (๐ถ + 1)
62, 4, 5ltleii 11337 . . . . . 6 ๐ถ โ‰ค (๐ถ + 1)
7 lemul2a 12069 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐ถ โ‰ค (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
86, 7mpan2 690 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
92, 4, 8mp3an12 1452 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
101, 9mpan 689 . . 3 (0 โ‰ค ๐ด โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
11103ad2ant1 1134 . 2 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)))
12 0re 11216 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
1312, 2, 4lelttri 11341 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < (๐ถ + 1)) โ†’ 0 < (๐ถ + 1))
145, 13mpan2 690 . . . . . 6 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ 0 < (๐ถ + 1))
154gt0ne0i 11749 . . . . . . . . 9 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ถ + 1) โ‰  0)
16 prodgt0.2 . . . . . . . . . 10 ๐ต โˆˆ โ„
1716, 4redivclzi 11980 . . . . . . . . 9 ((๐ถ + 1) โ‰  0 โ†’ (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„)
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„)
19 lemul1 12066 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
201, 19mp3an1 1449 . . . . . . . . . 10 (((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2120ex 414 . . . . . . . . 9 ((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ถ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)))))
224, 21mpani 695 . . . . . . . 8 ((๐ต / (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)))))
2318, 22mpcom 38 . . . . . . 7 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†” (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2423biimpd 228 . . . . . 6 (0 < (๐ถ + 1) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2514, 24syl 17 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1))))
2625imp 408 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)))
2716recni 11228 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„‚
284recni 11228 . . . . . . 7 (๐ถ + 1) โˆˆ โ„‚
2927, 28divcan1zi 11950 . . . . . 6 ((๐ถ + 1) โ‰  0 โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3014, 15, 293syl 18 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3130adantr 482 . . . 4 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ ((๐ต / (๐ถ + 1)) ยท (๐ถ + 1)) = ๐ต)
3226, 31breqtrd 5175 . . 3 ((0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ๐ต)
33323adant1 1131 . 2 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ๐ต)
341, 2remulcli 11230 . . 3 (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„
351, 4remulcli 11230 . . 3 (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โˆˆ โ„
3634, 35, 16letri 11343 . 2 (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โˆง (๐ด ยท (๐ถ + 1)) โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต)
3711, 33, 36syl2anc 585 1 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค (๐ต / (๐ถ + 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator