Theorem ledivp1i 12143

Description: "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ledivp1i	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ledivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltmul1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
3		1re 11218	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11233	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℝ
5	2	ltp1i 12122	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + 1)
6	2, 4, 5	ltleii 11341	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7		lemul2a 12073	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 687	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
9	2, 4, 8	mp3an12 1449	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
10	1, 9	mpan 686	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12		0re 11220	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12, 2, 4	lelttri 11345	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
14	5, 13	mpan2 687	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
15	4	gt0ne0i 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16		prodgt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	16, 4	redivclzi 11984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19		lemul1 12070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
20	1, 19	mp3an1 1446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
21	20	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))))
22	4, 21	mpani 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ → (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))))
23	18, 22	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
24	23	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
25	14, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
26	25	imp 405	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
27	16	recni 11232	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
28	4	recni 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℂ
29	27, 28	divcan1zi 11954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
30	14, 15, 29	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
31	30	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
32	26, 31	breqtrd 5173	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵)
33	32	3adant1 1128	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵)
34	1, 2	remulcli 11234	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
35	1, 4	remulcli 11234	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
36	34, 35, 16	letri 11347	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)
37	11, 33, 36	syl2anc 582	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876

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