Theorem ledivp1i 12115

Description: "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ledivp1i	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ledivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltmul1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
3		1re 11181	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11196	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℝ
5	2	ltp1i 12094	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + 1)
6	2, 4, 5	ltleii 11304	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7		lemul2a 12044	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
9	2, 4, 8	mp3an12 1453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
10	1, 9	mpan 690	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12		0re 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12, 2, 4	lelttri 11308	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
14	5, 13	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
15	4	gt0ne0i 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16		prodgt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	16, 4	redivclzi 11955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19		lemul1 12041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
20	1, 19	mp3an1 1450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
21	20	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))))
22	4, 21	mpani 696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ → (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))))
23	18, 22	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
24	23	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
25	14, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
26	25	imp 406	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
27	16	recni 11195	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
28	4	recni 11195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℂ
29	27, 28	divcan1zi 11925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
30	14, 15, 29	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
32	26, 31	breqtrd 5136	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵)
33	32	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵)
34	1, 2	remulcli 11197	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
35	1, 4	remulcli 11197	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
36	34, 35, 16	letri 11310	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)
37	11, 33, 36	syl2anc 584	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

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