Theorem cnf 23414

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23406	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∪ cuni 4871  ^◡ccnv 5659   “ cima 5663  ⟶wf 6532  (class class class)co 7412  Topctop 23061   Cn ccn 23392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-top 23062  df-topon 23079  df-cn 23395

This theorem is used by:  cnco  23434  cnclima  23436  cnntri  23439  cnclsi  23440  cnss1  23444  cnss2  23445  cncnpi  23446  cncnp2  23449  cnrest  23453  cnrest2  23454  cnt0  23514  cnt1  23518  cnhaus  23522  dnsconst  23546  cncmp  23560  rncmp  23564  imacmp  23565  cnconn  23590  connima  23593  conncn  23594  2ndcomap  23626  kgencn2  23725  kgencn3  23726  txcnmpt  23792  uptx  23793  txcn  23794  hauseqlcld  23814  xkohaus  23821  xkoptsub  23822  xkopjcn  23824  xkoco1cn  23825  xkoco2cn  23826  xkococnlem  23827  cnmpt11f  23832  cnmpt21f  23840  hmeocnv  23930  hmeores  23939  txhmeo  23971  cnextfres  24237  bndth  25128  evth  25129  evth2  25130  htpyco2  25149  phtpyco2  25160  reparphti  25167  copco  25188  pcopt  25192  pcopt2  25193  pcoass  25194  pcorevlem  25196  pcorev2  25198  hauseqcn  34297  pl1cn  34354  rrhf  34397  esumcocn  34479  cnmbfm  34662  cnpconn  35730  ptpconn  35733  sconnpi1  35739  txsconnlem  35740  cvxsconn  35743  cvmseu  35776  cvmopnlem  35778  cvmfolem  35779  cvmliftmolem1  35781  cvmliftmolem2  35782  cvmliftlem3  35787  cvmliftlem6  35790  cvmliftlem7  35791  cvmliftlem8  35792  cvmliftlem9  35793  cvmliftlem10  35794  cvmliftlem11  35795  cvmliftlem13  35796  cvmliftlem15  35798  cvmlift2lem3  35805  cvmlift2lem5  35807  cvmlift2lem7  35809  cvmlift2lem9  35811  cvmlift2lem10  35812  cvmliftphtlem  35817  cvmlift3lem1  35819  cvmlift3lem2  35820  cvmlift3lem4  35822  cvmlift3lem5  35823  cvmlift3lem6  35824  cvmlift3lem7  35825  cvmlift3lem8  35826  cvmlift3lem9  35827  poimirlem31  38330  poimir  38332  broucube  38333  cnres2  38442  cnresima  38443  hausgraph  43960  refsum2cnlem1  45785  itgsubsticclem  46717  stoweidlem62  46804  cnfsmf  47482  cnneiima  49723  sepfsepc  49734