Theorem cnf 23372

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23364	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∪ cuni 4874  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411  Topctop 23019   Cn ccn 23350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8826  df-top 23020  df-topon 23037  df-cn 23353

This theorem is referenced by:  cnco  23392  cnclima  23394  cnntri  23397  cnclsi  23398  cnss1  23402  cnss2  23403  cncnpi  23404  cncnp2  23407  cnrest  23411  cnrest2  23412  cnt0  23472  cnt1  23476  cnhaus  23480  dnsconst  23504  cncmp  23518  rncmp  23522  imacmp  23523  cnconn  23548  connima  23551  conncn  23552  2ndcomap  23584  kgencn2  23683  kgencn3  23684  txcnmpt  23750  uptx  23751  txcn  23752  hauseqlcld  23772  xkohaus  23779  xkoptsub  23780  xkopjcn  23782  xkoco1cn  23783  xkoco2cn  23784  xkococnlem  23785  cnmpt11f  23790  cnmpt21f  23798  hmeocnv  23888  hmeores  23897  txhmeo  23929  cnextfres  24195  bndth  25086  evth  25087  evth2  25088  htpyco2  25107  phtpyco2  25118  reparphti  25125  copco  25146  pcopt  25150  pcopt2  25151  pcoass  25152  pcorevlem  25154  pcorev2  25156  hauseqcn  34233  pl1cn  34290  rrhf  34333  esumcocn  34415  cnmbfm  34598  cnpconn  35655  ptpconn  35658  sconnpi1  35664  txsconnlem  35665  cvxsconn  35668  cvmseu  35701  cvmopnlem  35703  cvmfolem  35704  cvmliftmolem1  35706  cvmliftmolem2  35707  cvmliftlem3  35712  cvmliftlem6  35715  cvmliftlem7  35716  cvmliftlem8  35717  cvmliftlem9  35718  cvmliftlem10  35719  cvmliftlem11  35720  cvmliftlem13  35721  cvmliftlem15  35723  cvmlift2lem3  35730  cvmlift2lem5  35732  cvmlift2lem7  35734  cvmlift2lem9  35736  cvmlift2lem10  35737  cvmliftphtlem  35742  cvmlift3lem1  35744  cvmlift3lem2  35745  cvmlift3lem4  35747  cvmlift3lem5  35748  cvmlift3lem6  35749  cvmlift3lem7  35750  cvmlift3lem8  35751  cvmlift3lem9  35752  poimirlem31  38225  poimir  38227  broucube  38228  cnres2  38337  cnresima  38338  hausgraph  43859  refsum2cnlem1  45684  itgsubsticclem  46616  stoweidlem62  46703  cnfsmf  47381  cnneiima  49615  sepfsepc  49626