Theorem cnf 23211

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23203	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∪ cuni 4850  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367  Topctop 22858   Cn ccn 23189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-top 22859  df-topon 22876  df-cn 23192

This theorem is referenced by:  cnco  23231  cnclima  23233  cnntri  23236  cnclsi  23237  cnss1  23241  cnss2  23242  cncnpi  23243  cncnp2  23246  cnrest  23250  cnrest2  23251  cnt0  23311  cnt1  23315  cnhaus  23319  dnsconst  23343  cncmp  23357  rncmp  23361  imacmp  23362  cnconn  23387  connima  23390  conncn  23391  2ndcomap  23423  kgencn2  23522  kgencn3  23523  txcnmpt  23589  uptx  23590  txcn  23591  hauseqlcld  23611  xkohaus  23618  xkoptsub  23619  xkopjcn  23621  xkoco1cn  23622  xkoco2cn  23623  xkococnlem  23624  cnmpt11f  23629  cnmpt21f  23637  hmeocnv  23727  hmeores  23736  txhmeo  23768  cnextfres  24034  bndth  24925  evth  24926  evth2  24927  htpyco2  24946  phtpyco2  24957  reparphti  24964  copco  24985  pcopt  24989  pcopt2  24990  pcoass  24991  pcorevlem  24993  pcorev2  24995  hauseqcn  34042  pl1cn  34099  rrhf  34142  esumcocn  34224  cnmbfm  34407  cnpconn  35412  ptpconn  35415  sconnpi1  35421  txsconnlem  35422  cvxsconn  35425  cvmseu  35458  cvmopnlem  35460  cvmfolem  35461  cvmliftmolem1  35463  cvmliftmolem2  35464  cvmliftlem3  35469  cvmliftlem6  35472  cvmliftlem7  35473  cvmliftlem8  35474  cvmliftlem9  35475  cvmliftlem10  35476  cvmliftlem11  35477  cvmliftlem13  35478  cvmliftlem15  35480  cvmlift2lem3  35487  cvmlift2lem5  35489  cvmlift2lem7  35491  cvmlift2lem9  35493  cvmlift2lem10  35494  cvmliftphtlem  35499  cvmlift3lem1  35501  cvmlift3lem2  35502  cvmlift3lem4  35504  cvmlift3lem5  35505  cvmlift3lem6  35506  cvmlift3lem7  35507  cvmlift3lem8  35508  cvmlift3lem9  35509  poimirlem31  37972  poimir  37974  broucube  37975  cnres2  38084  cnresima  38085  hausgraph  43633  refsum2cnlem1  45468  itgsubsticclem  46403  stoweidlem62  46490  cnfsmf  47168  cnneiima  49392  sepfsepc  49403