Theorem cnf 23131

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23123	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4858  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6478  (class class class)co 7349  Topctop 22778   Cn ccn 23109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-map 8755  df-top 22779  df-topon 22796  df-cn 23112

This theorem is referenced by:  cnco  23151  cnclima  23153  cnntri  23156  cnclsi  23157  cnss1  23161  cnss2  23162  cncnpi  23163  cncnp2  23166  cnrest  23170  cnrest2  23171  cnt0  23231  cnt1  23235  cnhaus  23239  dnsconst  23263  cncmp  23277  rncmp  23281  imacmp  23282  cnconn  23307  connima  23310  conncn  23311  2ndcomap  23343  kgencn2  23442  kgencn3  23443  txcnmpt  23509  uptx  23510  txcn  23511  hauseqlcld  23531  xkohaus  23538  xkoptsub  23539  xkopjcn  23541  xkoco1cn  23542  xkoco2cn  23543  xkococnlem  23544  cnmpt11f  23549  cnmpt21f  23557  hmeocnv  23647  hmeores  23656  txhmeo  23688  cnextfres  23954  bndth  24855  evth  24856  evth2  24857  htpyco2  24876  phtpyco2  24887  reparphti  24894  reparphtiOLD  24895  copco  24916  pcopt  24920  pcopt2  24921  pcoass  24922  pcorevlem  24924  pcorev2  24926  hauseqcn  33881  pl1cn  33938  rrhf  33981  esumcocn  34063  cnmbfm  34247  cnpconn  35223  ptpconn  35226  sconnpi1  35232  txsconnlem  35233  cvxsconn  35236  cvmseu  35269  cvmopnlem  35271  cvmfolem  35272  cvmliftmolem1  35274  cvmliftmolem2  35275  cvmliftlem3  35280  cvmliftlem6  35283  cvmliftlem7  35284  cvmliftlem8  35285  cvmliftlem9  35286  cvmliftlem10  35287  cvmliftlem11  35288  cvmliftlem13  35289  cvmliftlem15  35291  cvmlift2lem3  35298  cvmlift2lem5  35300  cvmlift2lem7  35302  cvmlift2lem9  35304  cvmlift2lem10  35305  cvmliftphtlem  35310  cvmlift3lem1  35312  cvmlift3lem2  35313  cvmlift3lem4  35315  cvmlift3lem5  35316  cvmlift3lem6  35317  cvmlift3lem7  35318  cvmlift3lem8  35319  cvmlift3lem9  35320  poimirlem31  37651  poimir  37653  broucube  37654  cnres2  37763  cnresima  37764  hausgraph  43198  refsum2cnlem1  45035  itgsubsticclem  45976  stoweidlem62  46063  cnfsmf  46741  cnneiima  48921  sepfsepc  48932