Theorem cnf 23207

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23199	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∪ cuni 4865  ^◡ccnv 5633   “ cima 5637  ⟶wf 6498  (class class class)co 7370  Topctop 22854   Cn ccn 23185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-map 8779  df-top 22855  df-topon 22872  df-cn 23188

This theorem is referenced by:  cnco  23227  cnclima  23229  cnntri  23232  cnclsi  23233  cnss1  23237  cnss2  23238  cncnpi  23239  cncnp2  23242  cnrest  23246  cnrest2  23247  cnt0  23307  cnt1  23311  cnhaus  23315  dnsconst  23339  cncmp  23353  rncmp  23357  imacmp  23358  cnconn  23383  connima  23386  conncn  23387  2ndcomap  23419  kgencn2  23518  kgencn3  23519  txcnmpt  23585  uptx  23586  txcn  23587  hauseqlcld  23607  xkohaus  23614  xkoptsub  23615  xkopjcn  23617  xkoco1cn  23618  xkoco2cn  23619  xkococnlem  23620  cnmpt11f  23625  cnmpt21f  23633  hmeocnv  23723  hmeores  23732  txhmeo  23764  cnextfres  24030  bndth  24930  evth  24931  evth2  24932  htpyco2  24951  phtpyco2  24962  reparphti  24969  reparphtiOLD  24970  copco  24991  pcopt  24995  pcopt2  24996  pcoass  24997  pcorevlem  24999  pcorev2  25001  hauseqcn  34082  pl1cn  34139  rrhf  34182  esumcocn  34264  cnmbfm  34447  cnpconn  35452  ptpconn  35455  sconnpi1  35461  txsconnlem  35462  cvxsconn  35465  cvmseu  35498  cvmopnlem  35500  cvmfolem  35501  cvmliftmolem1  35503  cvmliftmolem2  35504  cvmliftlem3  35509  cvmliftlem6  35512  cvmliftlem7  35513  cvmliftlem8  35514  cvmliftlem9  35515  cvmliftlem10  35516  cvmliftlem11  35517  cvmliftlem13  35518  cvmliftlem15  35520  cvmlift2lem3  35527  cvmlift2lem5  35529  cvmlift2lem7  35531  cvmlift2lem9  35533  cvmlift2lem10  35534  cvmliftphtlem  35539  cvmlift3lem1  35541  cvmlift3lem2  35542  cvmlift3lem4  35544  cvmlift3lem5  35545  cvmlift3lem6  35546  cvmlift3lem7  35547  cvmlift3lem8  35548  cvmlift3lem9  35549  poimirlem31  37931  poimir  37933  broucube  37934  cnres2  38043  cnresima  38044  hausgraph  43591  refsum2cnlem1  45426  itgsubsticclem  46362  stoweidlem62  46449  cnfsmf  47127  cnneiima  49305  sepfsepc  49316