Theorem cnf 23166

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23158	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369  Topctop 22813   Cn ccn 23144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-top 22814  df-topon 22831  df-cn 23147

This theorem is referenced by:  cnco  23186  cnclima  23188  cnntri  23191  cnclsi  23192  cnss1  23196  cnss2  23197  cncnpi  23198  cncnp2  23201  cnrest  23205  cnrest2  23206  cnt0  23266  cnt1  23270  cnhaus  23274  dnsconst  23298  cncmp  23312  rncmp  23316  imacmp  23317  cnconn  23342  connima  23345  conncn  23346  2ndcomap  23378  kgencn2  23477  kgencn3  23478  txcnmpt  23544  uptx  23545  txcn  23546  hauseqlcld  23566  xkohaus  23573  xkoptsub  23574  xkopjcn  23576  xkoco1cn  23577  xkoco2cn  23578  xkococnlem  23579  cnmpt11f  23584  cnmpt21f  23592  hmeocnv  23682  hmeores  23691  txhmeo  23723  cnextfres  23989  bndth  24890  evth  24891  evth2  24892  htpyco2  24911  phtpyco2  24922  reparphti  24929  reparphtiOLD  24930  copco  24951  pcopt  24955  pcopt2  24956  pcoass  24957  pcorevlem  24959  pcorev2  24961  hauseqcn  33881  pl1cn  33938  rrhf  33981  esumcocn  34063  cnmbfm  34247  cnpconn  35210  ptpconn  35213  sconnpi1  35219  txsconnlem  35220  cvxsconn  35223  cvmseu  35256  cvmopnlem  35258  cvmfolem  35259  cvmliftmolem1  35261  cvmliftmolem2  35262  cvmliftlem3  35267  cvmliftlem6  35270  cvmliftlem7  35271  cvmliftlem8  35272  cvmliftlem9  35273  cvmliftlem10  35274  cvmliftlem11  35275  cvmliftlem13  35276  cvmliftlem15  35278  cvmlift2lem3  35285  cvmlift2lem5  35287  cvmlift2lem7  35289  cvmlift2lem9  35291  cvmlift2lem10  35292  cvmliftphtlem  35297  cvmlift3lem1  35299  cvmlift3lem2  35300  cvmlift3lem4  35302  cvmlift3lem5  35303  cvmlift3lem6  35304  cvmlift3lem7  35305  cvmlift3lem8  35306  cvmlift3lem9  35307  poimirlem31  37638  poimir  37640  broucube  37641  cnres2  37750  cnresima  37751  hausgraph  43187  refsum2cnlem1  45024  itgsubsticclem  45966  stoweidlem62  46053  cnfsmf  46731  cnneiima  48898  sepfsepc  48909