Theorem cnf 22503

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 22495	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3062  ∪ cuni 4857  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6480  (class class class)co 7342  Topctop 22148   Cn ccn 22481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-id 5523  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-fv 6492  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-map 8693  df-top 22149  df-topon 22166  df-cn 22484

This theorem is referenced by:  cnco  22523  cnclima  22525  cnntri  22528  cnclsi  22529  cnss1  22533  cnss2  22534  cncnpi  22535  cncnp2  22538  cnrest  22542  cnrest2  22543  cnt0  22603  cnt1  22607  cnhaus  22611  dnsconst  22635  cncmp  22649  rncmp  22653  imacmp  22654  cnconn  22679  connima  22682  conncn  22683  2ndcomap  22715  kgencn2  22814  kgencn3  22815  txcnmpt  22881  uptx  22882  txcn  22883  hauseqlcld  22903  xkohaus  22910  xkoptsub  22911  xkopjcn  22913  xkoco1cn  22914  xkoco2cn  22915  xkococnlem  22916  cnmpt11f  22921  cnmpt21f  22929  hmeocnv  23019  hmeores  23028  txhmeo  23060  cnextfres  23326  bndth  24227  evth  24228  evth2  24229  htpyco2  24248  phtpyco2  24259  reparphti  24266  copco  24287  pcopt  24291  pcopt2  24292  pcoass  24293  pcorevlem  24295  pcorev2  24297  hauseqcn  32144  pl1cn  32201  rrhf  32244  esumcocn  32344  cnmbfm  32528  cnpconn  33489  ptpconn  33492  sconnpi1  33498  txsconnlem  33499  cvxsconn  33502  cvmseu  33535  cvmopnlem  33537  cvmfolem  33538  cvmliftmolem1  33540  cvmliftmolem2  33541  cvmliftlem3  33546  cvmliftlem6  33549  cvmliftlem7  33550  cvmliftlem8  33551  cvmliftlem9  33552  cvmliftlem10  33553  cvmliftlem11  33554  cvmliftlem13  33555  cvmliftlem15  33557  cvmlift2lem3  33564  cvmlift2lem5  33566  cvmlift2lem7  33568  cvmlift2lem9  33570  cvmlift2lem10  33571  cvmliftphtlem  33576  cvmlift3lem1  33578  cvmlift3lem2  33579  cvmlift3lem4  33581  cvmlift3lem5  33582  cvmlift3lem6  33583  cvmlift3lem7  33584  cvmlift3lem8  33585  cvmlift3lem9  33586  poimirlem31  35962  poimir  35964  broucube  35965  cnres2  36075  cnresima  36076  hausgraph  41349  refsum2cnlem1  42951  itgsubsticclem  43902  stoweidlem62  43989  cnfsmf  44665  cnneiima  46626  sepfsepc  46637