Theorem cnf 23233

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23225	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 499	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∪ cuni 4841  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  ⟶wf 6485  (class class class)co 7360  Topctop 22880   Cn ccn 23211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-top 22881  df-topon 22898  df-cn 23214

This theorem is referenced by:  cnco  23253  cnclima  23255  cnntri  23258  cnclsi  23259  cnss1  23263  cnss2  23264  cncnpi  23265  cncnp2  23268  cnrest  23272  cnrest2  23273  cnt0  23333  cnt1  23337  cnhaus  23341  dnsconst  23365  cncmp  23379  rncmp  23383  imacmp  23384  cnconn  23409  connima  23412  conncn  23413  2ndcomap  23445  kgencn2  23544  kgencn3  23545  txcnmpt  23611  uptx  23612  txcn  23613  hauseqlcld  23633  xkohaus  23640  xkoptsub  23641  xkopjcn  23643  xkoco1cn  23644  xkoco2cn  23645  xkococnlem  23646  cnmpt11f  23651  cnmpt21f  23659  hmeocnv  23749  hmeores  23758  txhmeo  23790  cnextfres  24056  bndth  24947  evth  24948  evth2  24949  htpyco2  24968  phtpyco2  24979  reparphti  24986  copco  25007  pcopt  25011  pcopt2  25012  pcoass  25013  pcorevlem  25015  pcorev2  25017  hauseqcn  34094  pl1cn  34151  rrhf  34194  esumcocn  34276  cnmbfm  34459  cnpconn  35473  ptpconn  35476  sconnpi1  35482  txsconnlem  35483  cvxsconn  35486  cvmseu  35519  cvmopnlem  35521  cvmfolem  35522  cvmliftmolem1  35524  cvmliftmolem2  35525  cvmliftlem3  35530  cvmliftlem6  35533  cvmliftlem7  35534  cvmliftlem8  35535  cvmliftlem9  35536  cvmliftlem10  35537  cvmliftlem11  35538  cvmliftlem13  35539  cvmliftlem15  35541  cvmlift2lem3  35548  cvmlift2lem5  35550  cvmlift2lem7  35552  cvmlift2lem9  35554  cvmlift2lem10  35555  cvmliftphtlem  35560  cvmlift3lem1  35562  cvmlift3lem2  35563  cvmlift3lem4  35565  cvmlift3lem5  35566  cvmlift3lem6  35567  cvmlift3lem7  35568  cvmlift3lem8  35569  cvmlift3lem9  35570  poimirlem31  38033  poimir  38035  broucube  38036  cnres2  38145  cnresima  38146  hausgraph  43665  refsum2cnlem1  45500  itgsubsticclem  46432  stoweidlem62  46519  cnfsmf  47197  cnneiima  49421  sepfsepc  49432