Theorem cnf 23472

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23464	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∪ cuni 4870  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6533  (class class class)co 7416  Topctop 23119   Cn ccn 23450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8831  df-top 23120  df-topon 23137  df-cn 23453

This theorem is used by:  cnco  23492  cnclima  23494  cnntri  23497  cnclsi  23498  cnss1  23502  cnss2  23503  cncnpi  23504  cncnp2  23507  cnrest  23511  cnrest2  23512  cnt0  23572  cnt1  23576  cnhaus  23580  dnsconst  23604  cncmp  23618  rncmp  23622  imacmp  23623  cnconn  23648  connima  23651  conncn  23652  2ndcomap  23685  kgencn2  23784  kgencn3  23785  txcnmpt  23851  uptx  23852  txcn  23853  hauseqlcld  23873  xkohaus  23880  xkoptsub  23881  xkopjcn  23883  xkoco1cn  23884  xkoco2cn  23885  xkococnlem  23886  cnmpt11f  23891  cnmpt21f  23899  hmeocnv  23989  hmeores  23998  txhmeo  24030  cnextfres  24296  bndth  25187  evth  25188  evth2  25189  htpyco2  25208  phtpyco2  25219  reparphti  25226  copco  25247  pcopt  25251  pcopt2  25252  pcoass  25253  pcorevlem  25255  pcorev2  25257  hauseqcn  34395  pl1cn  34452  rrhf  34495  esumcocn  34577  cnmbfm  34761  cnpconn  35796  ptpconn  35799  sconnpi1  35805  txsconnlem  35806  cvxsconn  35809  cvmseu  35842  cvmopnlem  35844  cvmfolem  35845  cvmliftmolem1  35847  cvmliftmolem2  35848  cvmliftlem3  35853  cvmliftlem6  35856  cvmliftlem7  35857  cvmliftlem8  35858  cvmliftlem9  35859  cvmliftlem10  35860  cvmliftlem11  35861  cvmliftlem13  35862  cvmliftlem15  35864  cvmlift2lem3  35871  cvmlift2lem5  35873  cvmlift2lem7  35875  cvmlift2lem9  35877  cvmlift2lem10  35878  cvmliftphtlem  35883  cvmlift3lem1  35885  cvmlift3lem2  35886  cvmlift3lem4  35888  cvmlift3lem5  35889  cvmlift3lem6  35890  cvmlift3lem7  35891  cvmlift3lem8  35892  cvmlift3lem9  35893  poimirlem31  38387  poimir  38389  broucube  38390  cnres2  38500  cnresima  38501  hausgraph  44033  refsum2cnlem1  45858  itgsubsticclem  46790  stoweidlem62  46877  cnfsmf  47555  cnneiima  49830  sepfsepc  49841