Theorem cnf 23564

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23556	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∪ cuni 4866  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  Topctop 23211   Cn ccn 23542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-top 23212  df-topon 23229  df-cn 23545

This theorem is used by:  cnco  23584  cnclima  23586  cnntri  23589  cnclsi  23590  cnss1  23594  cnss2  23595  cncnpi  23596  cncnp2  23599  cnrest  23603  cnrest2  23604  cnt0  23664  cnt1  23668  cnhaus  23672  dnsconst  23696  cncmp  23710  rncmp  23714  imacmp  23715  cnconn  23740  connima  23743  conncn  23744  2ndcomap  23777  kgencn2  23876  kgencn3  23877  txcnmpt  23943  uptx  23944  txcn  23945  hauseqlcld  23965  xkohaus  23972  xkoptsub  23973  xkopjcn  23975  xkoco1cn  23976  xkoco2cn  23977  xkococnlem  23978  cnmpt11f  23983  cnmpt21f  23991  hmeocnv  24081  hmeores  24090  txhmeo  24122  cnextfres  24388  bndth  25279  evth  25280  evth2  25281  htpyco2  25300  phtpyco2  25311  reparphti  25318  copco  25339  pcopt  25343  pcopt2  25344  pcoass  25345  pcorevlem  25347  pcorev2  25349  hauseqcn  34530  pl1cn  34587  rrhf  34630  esumcocn  34712  cnmbfm  34895  cnpconn  35995  ptpconn  35998  sconnpi1  36004  txsconnlem  36005  cvxsconn  36008  cvmseu  36041  cvmopnlem  36043  cvmfolem  36044  cvmliftmolem1  36046  cvmliftmolem2  36047  cvmliftlem3  36052  cvmliftlem6  36055  cvmliftlem7  36056  cvmliftlem8  36057  cvmliftlem9  36058  cvmliftlem10  36059  cvmliftlem11  36060  cvmliftlem13  36061  cvmliftlem15  36063  cvmlift2lem3  36070  cvmlift2lem5  36072  cvmlift2lem7  36074  cvmlift2lem9  36076  cvmlift2lem10  36077  cvmliftphtlem  36082  cvmlift3lem1  36084  cvmlift3lem2  36085  cvmlift3lem4  36087  cvmlift3lem5  36088  cvmlift3lem6  36089  cvmlift3lem7  36090  cvmlift3lem8  36091  cvmlift3lem9  36092  poimirlem31  38570  poimir  38572  broucube  38573  cnres2  38698  cnresima  38699  hausgraph  44207  refsum2cnlem1  46054  itgsubsticclem  46985  stoweidlem62  47072  cnfsmf  47750  cnneiima  50025  sepfsepc  50036