Theorem cnf 23591

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23583	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∪ cuni 4870  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6551  (class class class)co 7440  Topctop 23238   Cn ccn 23569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-map 8874  df-top 23239  df-topon 23256  df-cn 23572

This theorem is used by:  cnco  23611  cnclima  23613  cnntri  23616  cnclsi  23617  cnss1  23621  cnss2  23622  cncnpi  23623  cncnp2  23626  cnrest  23630  cnrest2  23631  cnt0  23691  cnt1  23695  cnhaus  23699  dnsconst  23723  cncmp  23737  rncmp  23741  imacmp  23742  cnconn  23767  connima  23770  conncn  23771  2ndcomap  23804  kgencn2  23903  kgencn3  23904  txcnmpt  23970  uptx  23971  txcn  23972  hauseqlcld  23992  xkohaus  23999  xkoptsub  24000  xkopjcn  24002  xkoco1cn  24003  xkoco2cn  24004  xkococnlem  24005  cnmpt11f  24010  cnmpt21f  24018  hmeocnv  24108  hmeores  24117  txhmeo  24149  cnextfres  24415  bndth  25306  evth  25307  evth2  25308  htpyco2  25327  phtpyco2  25338  reparphti  25345  copco  25366  pcopt  25370  pcopt2  25371  pcoass  25372  pcorevlem  25374  pcorev2  25376  hauseqcn  34597  pl1cn  34654  rrhf  34697  esumcocn  34779  cnmbfm  34962  cnpconn  36161  ptpconn  36164  sconnpi1  36170  txsconnlem  36171  cvxsconn  36174  cvmseu  36207  cvmopnlem  36209  cvmfolem  36210  cvmliftmolem1  36212  cvmliftmolem2  36213  cvmliftlem3  36218  cvmliftlem6  36221  cvmliftlem7  36222  cvmliftlem8  36223  cvmliftlem9  36224  cvmliftlem10  36225  cvmliftlem11  36226  cvmliftlem13  36227  cvmliftlem15  36229  cvmlift2lem3  36236  cvmlift2lem5  36238  cvmlift2lem7  36240  cvmlift2lem9  36242  cvmlift2lem10  36243  cvmliftphtlem  36248  cvmlift3lem1  36250  cvmlift3lem2  36251  cvmlift3lem4  36253  cvmlift3lem5  36254  cvmlift3lem6  36255  cvmlift3lem7  36256  cvmlift3lem8  36257  cvmlift3lem9  36258  poimirlem31  38760  poimir  38762  broucube  38763  cnres2  38888  cnresima  38889  hausgraph  44397  refsum2cnlem1  46257  itgsubsticclem  47188  stoweidlem62  47275  cnfsmf  47953  cnneiima  50234  sepfsepc  50245