Theorem cnf 23167

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23159	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369  Topctop 22814   Cn ccn 23145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-top 22815  df-topon 22832  df-cn 23148

This theorem is referenced by:  cnco  23187  cnclima  23189  cnntri  23192  cnclsi  23193  cnss1  23197  cnss2  23198  cncnpi  23199  cncnp2  23202  cnrest  23206  cnrest2  23207  cnt0  23267  cnt1  23271  cnhaus  23275  dnsconst  23299  cncmp  23313  rncmp  23317  imacmp  23318  cnconn  23343  connima  23346  conncn  23347  2ndcomap  23379  kgencn2  23478  kgencn3  23479  txcnmpt  23545  uptx  23546  txcn  23547  hauseqlcld  23567  xkohaus  23574  xkoptsub  23575  xkopjcn  23577  xkoco1cn  23578  xkoco2cn  23579  xkococnlem  23580  cnmpt11f  23585  cnmpt21f  23593  hmeocnv  23683  hmeores  23692  txhmeo  23724  cnextfres  23990  bndth  24891  evth  24892  evth2  24893  htpyco2  24912  phtpyco2  24923  reparphti  24930  reparphtiOLD  24931  copco  24952  pcopt  24956  pcopt2  24957  pcoass  24958  pcorevlem  24960  pcorev2  24962  hauseqcn  33882  pl1cn  33939  rrhf  33982  esumcocn  34064  cnmbfm  34248  cnpconn  35211  ptpconn  35214  sconnpi1  35220  txsconnlem  35221  cvxsconn  35224  cvmseu  35257  cvmopnlem  35259  cvmfolem  35260  cvmliftmolem1  35262  cvmliftmolem2  35263  cvmliftlem3  35268  cvmliftlem6  35271  cvmliftlem7  35272  cvmliftlem8  35273  cvmliftlem9  35274  cvmliftlem10  35275  cvmliftlem11  35276  cvmliftlem13  35277  cvmliftlem15  35279  cvmlift2lem3  35286  cvmlift2lem5  35288  cvmlift2lem7  35290  cvmlift2lem9  35292  cvmlift2lem10  35293  cvmliftphtlem  35298  cvmlift3lem1  35300  cvmlift3lem2  35301  cvmlift3lem4  35303  cvmlift3lem5  35304  cvmlift3lem6  35305  cvmlift3lem7  35306  cvmlift3lem8  35307  cvmlift3lem9  35308  poimirlem31  37639  poimir  37641  broucube  37642  cnres2  37751  cnresima  37752  hausgraph  43188  refsum2cnlem1  45025  itgsubsticclem  45967  stoweidlem62  46054  cnfsmf  46732  cnneiima  48899  sepfsepc  48910