Theorem cnf 23133

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23125	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4871  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387  Topctop 22780   Cn ccn 23111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-top 22781  df-topon 22798  df-cn 23114

This theorem is referenced by:  cnco  23153  cnclima  23155  cnntri  23158  cnclsi  23159  cnss1  23163  cnss2  23164  cncnpi  23165  cncnp2  23168  cnrest  23172  cnrest2  23173  cnt0  23233  cnt1  23237  cnhaus  23241  dnsconst  23265  cncmp  23279  rncmp  23283  imacmp  23284  cnconn  23309  connima  23312  conncn  23313  2ndcomap  23345  kgencn2  23444  kgencn3  23445  txcnmpt  23511  uptx  23512  txcn  23513  hauseqlcld  23533  xkohaus  23540  xkoptsub  23541  xkopjcn  23543  xkoco1cn  23544  xkoco2cn  23545  xkococnlem  23546  cnmpt11f  23551  cnmpt21f  23559  hmeocnv  23649  hmeores  23658  txhmeo  23690  cnextfres  23956  bndth  24857  evth  24858  evth2  24859  htpyco2  24878  phtpyco2  24889  reparphti  24896  reparphtiOLD  24897  copco  24918  pcopt  24922  pcopt2  24923  pcoass  24924  pcorevlem  24926  pcorev2  24928  hauseqcn  33888  pl1cn  33945  rrhf  33988  esumcocn  34070  cnmbfm  34254  cnpconn  35217  ptpconn  35220  sconnpi1  35226  txsconnlem  35227  cvxsconn  35230  cvmseu  35263  cvmopnlem  35265  cvmfolem  35266  cvmliftmolem1  35268  cvmliftmolem2  35269  cvmliftlem3  35274  cvmliftlem6  35277  cvmliftlem7  35278  cvmliftlem8  35279  cvmliftlem9  35280  cvmliftlem10  35281  cvmliftlem11  35282  cvmliftlem13  35283  cvmliftlem15  35285  cvmlift2lem3  35292  cvmlift2lem5  35294  cvmlift2lem7  35296  cvmlift2lem9  35298  cvmlift2lem10  35299  cvmliftphtlem  35304  cvmlift3lem1  35306  cvmlift3lem2  35307  cvmlift3lem4  35309  cvmlift3lem5  35310  cvmlift3lem6  35311  cvmlift3lem7  35312  cvmlift3lem8  35313  cvmlift3lem9  35314  poimirlem31  37645  poimir  37647  broucube  37648  cnres2  37757  cnresima  37758  hausgraph  43194  refsum2cnlem1  45031  itgsubsticclem  45973  stoweidlem62  46060  cnfsmf  46738  cnneiima  48905  sepfsepc  48916