Theorem cnf 22750

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 22742	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∪ cuni 4909  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409  Topctop 22395   Cn ccn 22728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-top 22396  df-topon 22413  df-cn 22731

This theorem is referenced by:  cnco  22770  cnclima  22772  cnntri  22775  cnclsi  22776  cnss1  22780  cnss2  22781  cncnpi  22782  cncnp2  22785  cnrest  22789  cnrest2  22790  cnt0  22850  cnt1  22854  cnhaus  22858  dnsconst  22882  cncmp  22896  rncmp  22900  imacmp  22901  cnconn  22926  connima  22929  conncn  22930  2ndcomap  22962  kgencn2  23061  kgencn3  23062  txcnmpt  23128  uptx  23129  txcn  23130  hauseqlcld  23150  xkohaus  23157  xkoptsub  23158  xkopjcn  23160  xkoco1cn  23161  xkoco2cn  23162  xkococnlem  23163  cnmpt11f  23168  cnmpt21f  23176  hmeocnv  23266  hmeores  23275  txhmeo  23307  cnextfres  23573  bndth  24474  evth  24475  evth2  24476  htpyco2  24495  phtpyco2  24506  reparphti  24513  copco  24534  pcopt  24538  pcopt2  24539  pcoass  24540  pcorevlem  24542  pcorev2  24544  hauseqcn  32878  pl1cn  32935  rrhf  32978  esumcocn  33078  cnmbfm  33262  cnpconn  34221  ptpconn  34224  sconnpi1  34230  txsconnlem  34231  cvxsconn  34234  cvmseu  34267  cvmopnlem  34269  cvmfolem  34270  cvmliftmolem1  34272  cvmliftmolem2  34273  cvmliftlem3  34278  cvmliftlem6  34281  cvmliftlem7  34282  cvmliftlem8  34283  cvmliftlem9  34284  cvmliftlem10  34285  cvmliftlem11  34286  cvmliftlem13  34287  cvmliftlem15  34289  cvmlift2lem3  34296  cvmlift2lem5  34298  cvmlift2lem7  34300  cvmlift2lem9  34302  cvmlift2lem10  34303  cvmliftphtlem  34308  cvmlift3lem1  34310  cvmlift3lem2  34311  cvmlift3lem4  34313  cvmlift3lem5  34314  cvmlift3lem6  34315  cvmlift3lem7  34316  cvmlift3lem8  34317  cvmlift3lem9  34318  gg-reparphti  35172  poimirlem31  36519  poimir  36521  broucube  36522  cnres2  36631  cnresima  36632  hausgraph  41954  refsum2cnlem1  43721  itgsubsticclem  44691  stoweidlem62  44778  cnfsmf  45456  cnneiima  47549  sepfsepc  47560