Theorem cnf 23565

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23557	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6535  (class class class)co 7421  Topctop 23212   Cn ccn 23543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-map 8850  df-top 23213  df-topon 23230  df-cn 23546

This theorem is used by:  cnco  23585  cnclima  23587  cnntri  23590  cnclsi  23591  cnss1  23595  cnss2  23596  cncnpi  23597  cncnp2  23600  cnrest  23604  cnrest2  23605  cnt0  23665  cnt1  23669  cnhaus  23673  dnsconst  23697  cncmp  23711  rncmp  23715  imacmp  23716  cnconn  23741  connima  23744  conncn  23745  2ndcomap  23778  kgencn2  23877  kgencn3  23878  txcnmpt  23944  uptx  23945  txcn  23946  hauseqlcld  23966  xkohaus  23973  xkoptsub  23974  xkopjcn  23976  xkoco1cn  23977  xkoco2cn  23978  xkococnlem  23979  cnmpt11f  23984  cnmpt21f  23992  hmeocnv  24082  hmeores  24091  txhmeo  24123  cnextfres  24389  bndth  25280  evth  25281  evth2  25282  htpyco2  25301  phtpyco2  25312  reparphti  25319  copco  25340  pcopt  25344  pcopt2  25345  pcoass  25346  pcorevlem  25348  pcorev2  25350  hauseqcn  34531  pl1cn  34588  rrhf  34631  esumcocn  34713  cnmbfm  34896  cnpconn  35996  ptpconn  35999  sconnpi1  36005  txsconnlem  36006  cvxsconn  36009  cvmseu  36042  cvmopnlem  36044  cvmfolem  36045  cvmliftmolem1  36047  cvmliftmolem2  36048  cvmliftlem3  36053  cvmliftlem6  36056  cvmliftlem7  36057  cvmliftlem8  36058  cvmliftlem9  36059  cvmliftlem10  36060  cvmliftlem11  36061  cvmliftlem13  36062  cvmliftlem15  36064  cvmlift2lem3  36071  cvmlift2lem5  36073  cvmlift2lem7  36075  cvmlift2lem9  36077  cvmlift2lem10  36078  cvmliftphtlem  36083  cvmlift3lem1  36085  cvmlift3lem2  36086  cvmlift3lem4  36088  cvmlift3lem5  36089  cvmlift3lem6  36090  cvmlift3lem7  36091  cvmlift3lem8  36092  cvmlift3lem9  36093  poimirlem31  38571  poimir  38573  broucube  38574  cnres2  38699  cnresima  38700  hausgraph  44208  refsum2cnlem1  46055  itgsubsticclem  46986  stoweidlem62  47073  cnfsmf  47751  cnneiima  50026  sepfsepc  50037