Theorem cnf 23161

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23153	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∪ cuni 4856  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346  Topctop 22808   Cn ccn 23139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-top 22809  df-topon 22826  df-cn 23142

This theorem is referenced by:  cnco  23181  cnclima  23183  cnntri  23186  cnclsi  23187  cnss1  23191  cnss2  23192  cncnpi  23193  cncnp2  23196  cnrest  23200  cnrest2  23201  cnt0  23261  cnt1  23265  cnhaus  23269  dnsconst  23293  cncmp  23307  rncmp  23311  imacmp  23312  cnconn  23337  connima  23340  conncn  23341  2ndcomap  23373  kgencn2  23472  kgencn3  23473  txcnmpt  23539  uptx  23540  txcn  23541  hauseqlcld  23561  xkohaus  23568  xkoptsub  23569  xkopjcn  23571  xkoco1cn  23572  xkoco2cn  23573  xkococnlem  23574  cnmpt11f  23579  cnmpt21f  23587  hmeocnv  23677  hmeores  23686  txhmeo  23718  cnextfres  23984  bndth  24884  evth  24885  evth2  24886  htpyco2  24905  phtpyco2  24916  reparphti  24923  reparphtiOLD  24924  copco  24945  pcopt  24949  pcopt2  24950  pcoass  24951  pcorevlem  24953  pcorev2  24955  hauseqcn  33911  pl1cn  33968  rrhf  34011  esumcocn  34093  cnmbfm  34276  cnpconn  35274  ptpconn  35277  sconnpi1  35283  txsconnlem  35284  cvxsconn  35287  cvmseu  35320  cvmopnlem  35322  cvmfolem  35323  cvmliftmolem1  35325  cvmliftmolem2  35326  cvmliftlem3  35331  cvmliftlem6  35334  cvmliftlem7  35335  cvmliftlem8  35336  cvmliftlem9  35337  cvmliftlem10  35338  cvmliftlem11  35339  cvmliftlem13  35340  cvmliftlem15  35342  cvmlift2lem3  35349  cvmlift2lem5  35351  cvmlift2lem7  35353  cvmlift2lem9  35355  cvmlift2lem10  35356  cvmliftphtlem  35361  cvmlift3lem1  35363  cvmlift3lem2  35364  cvmlift3lem4  35366  cvmlift3lem5  35367  cvmlift3lem6  35368  cvmlift3lem7  35369  cvmlift3lem8  35370  cvmlift3lem9  35371  poimirlem31  37690  poimir  37692  broucube  37693  cnres2  37802  cnresima  37803  hausgraph  43297  refsum2cnlem1  45133  itgsubsticclem  46072  stoweidlem62  46159  cnfsmf  46837  cnneiima  49016  sepfsepc  49027