Theorem cnf 23525

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23517	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∪ cuni 4866  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ⟶wf 6523  (class class class)co 7408  Topctop 23172   Cn ccn 23503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8827  df-top 23173  df-topon 23190  df-cn 23506

This theorem is used by:  cnco  23545  cnclima  23547  cnntri  23550  cnclsi  23551  cnss1  23555  cnss2  23556  cncnpi  23557  cncnp2  23560  cnrest  23564  cnrest2  23565  cnt0  23625  cnt1  23629  cnhaus  23633  dnsconst  23657  cncmp  23671  rncmp  23675  imacmp  23676  cnconn  23701  connima  23704  conncn  23705  2ndcomap  23738  kgencn2  23837  kgencn3  23838  txcnmpt  23904  uptx  23905  txcn  23906  hauseqlcld  23926  xkohaus  23933  xkoptsub  23934  xkopjcn  23936  xkoco1cn  23937  xkoco2cn  23938  xkococnlem  23939  cnmpt11f  23944  cnmpt21f  23952  hmeocnv  24042  hmeores  24051  txhmeo  24083  cnextfres  24349  bndth  25240  evth  25241  evth2  25242  htpyco2  25261  phtpyco2  25272  reparphti  25279  copco  25300  pcopt  25304  pcopt2  25305  pcoass  25306  pcorevlem  25308  pcorev2  25310  hauseqcn  34463  pl1cn  34520  rrhf  34563  esumcocn  34645  cnmbfm  34829  cnpconn  35916  ptpconn  35919  sconnpi1  35925  txsconnlem  35926  cvxsconn  35929  cvmseu  35962  cvmopnlem  35964  cvmfolem  35965  cvmliftmolem1  35967  cvmliftmolem2  35968  cvmliftlem3  35973  cvmliftlem6  35976  cvmliftlem7  35977  cvmliftlem8  35978  cvmliftlem9  35979  cvmliftlem10  35980  cvmliftlem11  35981  cvmliftlem13  35982  cvmliftlem15  35984  cvmlift2lem3  35991  cvmlift2lem5  35993  cvmlift2lem7  35995  cvmlift2lem9  35997  cvmlift2lem10  35998  cvmliftphtlem  36003  cvmlift3lem1  36005  cvmlift3lem2  36006  cvmlift3lem4  36008  cvmlift3lem5  36009  cvmlift3lem6  36010  cvmlift3lem7  36011  cvmlift3lem8  36012  cvmlift3lem9  36013  poimirlem31  38489  poimir  38491  broucube  38492  cnres2  38617  cnresima  38618  hausgraph  44150  refsum2cnlem1  45975  itgsubsticclem  46907  stoweidlem62  46994  cnfsmf  47672  cnneiima  49947  sepfsepc  49958