Theorem cnf 23275

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∪ cuni 4931  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448  Topctop 22920   Cn ccn 23253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-top 22921  df-topon 22938  df-cn 23256

This theorem is referenced by:  cnco  23295  cnclima  23297  cnntri  23300  cnclsi  23301  cnss1  23305  cnss2  23306  cncnpi  23307  cncnp2  23310  cnrest  23314  cnrest2  23315  cnt0  23375  cnt1  23379  cnhaus  23383  dnsconst  23407  cncmp  23421  rncmp  23425  imacmp  23426  cnconn  23451  connima  23454  conncn  23455  2ndcomap  23487  kgencn2  23586  kgencn3  23587  txcnmpt  23653  uptx  23654  txcn  23655  hauseqlcld  23675  xkohaus  23682  xkoptsub  23683  xkopjcn  23685  xkoco1cn  23686  xkoco2cn  23687  xkococnlem  23688  cnmpt11f  23693  cnmpt21f  23701  hmeocnv  23791  hmeores  23800  txhmeo  23832  cnextfres  24098  bndth  25009  evth  25010  evth2  25011  htpyco2  25030  phtpyco2  25041  reparphti  25048  reparphtiOLD  25049  copco  25070  pcopt  25074  pcopt2  25075  pcoass  25076  pcorevlem  25078  pcorev2  25080  hauseqcn  33844  pl1cn  33901  rrhf  33944  esumcocn  34044  cnmbfm  34228  cnpconn  35198  ptpconn  35201  sconnpi1  35207  txsconnlem  35208  cvxsconn  35211  cvmseu  35244  cvmopnlem  35246  cvmfolem  35247  cvmliftmolem1  35249  cvmliftmolem2  35250  cvmliftlem3  35255  cvmliftlem6  35258  cvmliftlem7  35259  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem9  35261  cvmliftlem10  35262  cvmliftlem11  35263  cvmliftlem13  35264  cvmliftlem15  35266  cvmlift2lem3  35273  cvmlift2lem5  35275  cvmlift2lem7  35277  cvmlift2lem9  35279  cvmlift2lem10  35280  cvmliftphtlem  35285  cvmlift3lem1  35287  cvmlift3lem2  35288  cvmlift3lem4  35290  cvmlift3lem5  35291  cvmlift3lem6  35292  cvmlift3lem7  35293  cvmlift3lem8  35294  cvmlift3lem9  35295  poimirlem31  37611  poimir  37613  broucube  37614  cnres2  37723  cnresima  37724  hausgraph  43166  refsum2cnlem1  44937  itgsubsticclem  45896  stoweidlem62  45983  cnfsmf  46661  cnneiima  48596  sepfsepc  48607