Theorem cnf 23241

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23233	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 493	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∪ cuni 4913  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685  ⟶wf 6550  (class class class)co 7424  Topctop 22886   Cn ccn 23219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8857  df-top 22887  df-topon 22904  df-cn 23222

This theorem is referenced by:  cnco  23261  cnclima  23263  cnntri  23266  cnclsi  23267  cnss1  23271  cnss2  23272  cncnpi  23273  cncnp2  23276  cnrest  23280  cnrest2  23281  cnt0  23341  cnt1  23345  cnhaus  23349  dnsconst  23373  cncmp  23387  rncmp  23391  imacmp  23392  cnconn  23417  connima  23420  conncn  23421  2ndcomap  23453  kgencn2  23552  kgencn3  23553  txcnmpt  23619  uptx  23620  txcn  23621  hauseqlcld  23641  xkohaus  23648  xkoptsub  23649  xkopjcn  23651  xkoco1cn  23652  xkoco2cn  23653  xkococnlem  23654  cnmpt11f  23659  cnmpt21f  23667  hmeocnv  23757  hmeores  23766  txhmeo  23798  cnextfres  24064  bndth  24975  evth  24976  evth2  24977  htpyco2  24996  phtpyco2  25007  reparphti  25014  reparphtiOLD  25015  copco  25036  pcopt  25040  pcopt2  25041  pcoass  25042  pcorevlem  25044  pcorev2  25046  hauseqcn  33713  pl1cn  33770  rrhf  33813  esumcocn  33913  cnmbfm  34097  cnpconn  35058  ptpconn  35061  sconnpi1  35067  txsconnlem  35068  cvxsconn  35071  cvmseu  35104  cvmopnlem  35106  cvmfolem  35107  cvmliftmolem1  35109  cvmliftmolem2  35110  cvmliftlem3  35115  cvmliftlem6  35118  cvmliftlem7  35119  cvmliftlem8  35120  cvmliftlem9  35121  cvmliftlem10  35122  cvmliftlem11  35123  cvmliftlem13  35124  cvmliftlem15  35126  cvmlift2lem3  35133  cvmlift2lem5  35135  cvmlift2lem7  35137  cvmlift2lem9  35139  cvmlift2lem10  35140  cvmliftphtlem  35145  cvmlift3lem1  35147  cvmlift3lem2  35148  cvmlift3lem4  35150  cvmlift3lem5  35151  cvmlift3lem6  35152  cvmlift3lem7  35153  cvmlift3lem8  35154  cvmlift3lem9  35155  poimirlem31  37352  poimir  37354  broucube  37355  cnres2  37464  cnresima  37465  hausgraph  42870  refsum2cnlem1  44636  itgsubsticclem  45596  stoweidlem62  45683  cnfsmf  46361  cnneiima  48250  sepfsepc  48261