Theorem cnf 23194

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23186	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∪ cuni 4864  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6489  (class class class)co 7360  Topctop 22841   Cn ccn 23172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-top 22842  df-topon 22859  df-cn 23175

This theorem is referenced by:  cnco  23214  cnclima  23216  cnntri  23219  cnclsi  23220  cnss1  23224  cnss2  23225  cncnpi  23226  cncnp2  23229  cnrest  23233  cnrest2  23234  cnt0  23294  cnt1  23298  cnhaus  23302  dnsconst  23326  cncmp  23340  rncmp  23344  imacmp  23345  cnconn  23370  connima  23373  conncn  23374  2ndcomap  23406  kgencn2  23505  kgencn3  23506  txcnmpt  23572  uptx  23573  txcn  23574  hauseqlcld  23594  xkohaus  23601  xkoptsub  23602  xkopjcn  23604  xkoco1cn  23605  xkoco2cn  23606  xkococnlem  23607  cnmpt11f  23612  cnmpt21f  23620  hmeocnv  23710  hmeores  23719  txhmeo  23751  cnextfres  24017  bndth  24917  evth  24918  evth2  24919  htpyco2  24938  phtpyco2  24949  reparphti  24956  reparphtiOLD  24957  copco  24978  pcopt  24982  pcopt2  24983  pcoass  24984  pcorevlem  24986  pcorev2  24988  hauseqcn  34057  pl1cn  34114  rrhf  34157  esumcocn  34239  cnmbfm  34422  cnpconn  35426  ptpconn  35429  sconnpi1  35435  txsconnlem  35436  cvxsconn  35439  cvmseu  35472  cvmopnlem  35474  cvmfolem  35475  cvmliftmolem1  35477  cvmliftmolem2  35478  cvmliftlem3  35483  cvmliftlem6  35486  cvmliftlem7  35487  cvmliftlem8  35488  cvmliftlem9  35489  cvmliftlem10  35490  cvmliftlem11  35491  cvmliftlem13  35492  cvmliftlem15  35494  cvmlift2lem3  35501  cvmlift2lem5  35503  cvmlift2lem7  35505  cvmlift2lem9  35507  cvmlift2lem10  35508  cvmliftphtlem  35513  cvmlift3lem1  35515  cvmlift3lem2  35516  cvmlift3lem4  35518  cvmlift3lem5  35519  cvmlift3lem6  35520  cvmlift3lem7  35521  cvmlift3lem8  35522  cvmlift3lem9  35523  poimirlem31  37854  poimir  37856  broucube  37857  cnres2  37966  cnresima  37967  hausgraph  43514  refsum2cnlem1  45349  itgsubsticclem  46286  stoweidlem62  46373  cnfsmf  47051  cnneiima  49229  sepfsepc  49240