Theorem cnf 23270

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23262	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∪ cuni 4912  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431  Topctop 22915   Cn ccn 23248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-top 22916  df-topon 22933  df-cn 23251

This theorem is referenced by:  cnco  23290  cnclima  23292  cnntri  23295  cnclsi  23296  cnss1  23300  cnss2  23301  cncnpi  23302  cncnp2  23305  cnrest  23309  cnrest2  23310  cnt0  23370  cnt1  23374  cnhaus  23378  dnsconst  23402  cncmp  23416  rncmp  23420  imacmp  23421  cnconn  23446  connima  23449  conncn  23450  2ndcomap  23482  kgencn2  23581  kgencn3  23582  txcnmpt  23648  uptx  23649  txcn  23650  hauseqlcld  23670  xkohaus  23677  xkoptsub  23678  xkopjcn  23680  xkoco1cn  23681  xkoco2cn  23682  xkococnlem  23683  cnmpt11f  23688  cnmpt21f  23696  hmeocnv  23786  hmeores  23795  txhmeo  23827  cnextfres  24093  bndth  25004  evth  25005  evth2  25006  htpyco2  25025  phtpyco2  25036  reparphti  25043  reparphtiOLD  25044  copco  25065  pcopt  25069  pcopt2  25070  pcoass  25071  pcorevlem  25073  pcorev2  25075  hauseqcn  33859  pl1cn  33916  rrhf  33961  esumcocn  34061  cnmbfm  34245  cnpconn  35215  ptpconn  35218  sconnpi1  35224  txsconnlem  35225  cvxsconn  35228  cvmseu  35261  cvmopnlem  35263  cvmfolem  35264  cvmliftmolem1  35266  cvmliftmolem2  35267  cvmliftlem3  35272  cvmliftlem6  35275  cvmliftlem7  35276  cvmliftlem8  35277  cvmliftlem9  35278  cvmliftlem10  35279  cvmliftlem11  35280  cvmliftlem13  35281  cvmliftlem15  35283  cvmlift2lem3  35290  cvmlift2lem5  35292  cvmlift2lem7  35294  cvmlift2lem9  35296  cvmlift2lem10  35297  cvmliftphtlem  35302  cvmlift3lem1  35304  cvmlift3lem2  35305  cvmlift3lem4  35307  cvmlift3lem5  35308  cvmlift3lem6  35309  cvmlift3lem7  35310  cvmlift3lem8  35311  cvmlift3lem9  35312  poimirlem31  37638  poimir  37640  broucube  37641  cnres2  37750  cnresima  37751  hausgraph  43194  refsum2cnlem1  44975  itgsubsticclem  45931  stoweidlem62  46018  cnfsmf  46696  cnneiima  48713  sepfsepc  48724