Theorem cnf 23254

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscnp2.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		iscnp2.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23246	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∪ cuni 4907  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688  ⟶wf 6557  (class class class)co 7431  Topctop 22899   Cn ccn 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-top 22900  df-topon 22917  df-cn 23235

This theorem is referenced by:  cnco  23274  cnclima  23276  cnntri  23279  cnclsi  23280  cnss1  23284  cnss2  23285  cncnpi  23286  cncnp2  23289  cnrest  23293  cnrest2  23294  cnt0  23354  cnt1  23358  cnhaus  23362  dnsconst  23386  cncmp  23400  rncmp  23404  imacmp  23405  cnconn  23430  connima  23433  conncn  23434  2ndcomap  23466  kgencn2  23565  kgencn3  23566  txcnmpt  23632  uptx  23633  txcn  23634  hauseqlcld  23654  xkohaus  23661  xkoptsub  23662  xkopjcn  23664  xkoco1cn  23665  xkoco2cn  23666  xkococnlem  23667  cnmpt11f  23672  cnmpt21f  23680  hmeocnv  23770  hmeores  23779  txhmeo  23811  cnextfres  24077  bndth  24990  evth  24991  evth2  24992  htpyco2  25011  phtpyco2  25022  reparphti  25029  reparphtiOLD  25030  copco  25051  pcopt  25055  pcopt2  25056  pcoass  25057  pcorevlem  25059  pcorev2  25061  hauseqcn  33897  pl1cn  33954  rrhf  33999  esumcocn  34081  cnmbfm  34265  cnpconn  35235  ptpconn  35238  sconnpi1  35244  txsconnlem  35245  cvxsconn  35248  cvmseu  35281  cvmopnlem  35283  cvmfolem  35284  cvmliftmolem1  35286  cvmliftmolem2  35287  cvmliftlem3  35292  cvmliftlem6  35295  cvmliftlem7  35296  cvmliftlem8  35297  cvmliftlem9  35298  cvmliftlem10  35299  cvmliftlem11  35300  cvmliftlem13  35301  cvmliftlem15  35303  cvmlift2lem3  35310  cvmlift2lem5  35312  cvmlift2lem7  35314  cvmlift2lem9  35316  cvmlift2lem10  35317  cvmliftphtlem  35322  cvmlift3lem1  35324  cvmlift3lem2  35325  cvmlift3lem4  35327  cvmlift3lem5  35328  cvmlift3lem6  35329  cvmlift3lem7  35330  cvmlift3lem8  35331  cvmlift3lem9  35332  poimirlem31  37658  poimir  37660  broucube  37661  cnres2  37770  cnresima  37771  hausgraph  43217  refsum2cnlem1  45042  itgsubsticclem  45990  stoweidlem62  46077  cnfsmf  46755  cnneiima  48814  sepfsepc  48825