Theorem xpstopnlem2 23801

Description: Lemma for xpstopn 23802. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpstps.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpstopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
xpstopn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
xpstopn.o	⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
xpstopnlem.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpstopnlem.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpstopnlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpstopnlem2	⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpstopnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
2		fvexd 6849	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
3		2on 8415	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 2o ∈ On)
5		fnpr2o 17519	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
7	1, 2, 4, 5, 6	prdstopn 23618	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘(TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
8		topnfn 17386	. . . . . . . 8 ⊢ TopOpen Fn V
9		dffn2 6664	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V)
10	5, 9	sylib 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V)
11		fnfco 6699	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen Fn V ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o)
12	8, 10, 11	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o)
13		xpsfeq 17525	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
15		0ex 5236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
16	15	prid1 4701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
17		df2o3 8410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2o = {∅, 1o}
18	16, 17	eleqtrri 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
19		fvco2 6931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
20	5, 18, 19	sylancl 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
21		fvpr0o 17521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = (TopOpen‘𝑅))
24		xpstopn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
25	23, 24	eqtr4di 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = 𝐽)
26	20, 25	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = 𝐽)
27	26	opeq2d 4818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝐽⟩)
28		1oex 8412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ V
29	28	prid2 4702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
30	29, 17	eleqtrri 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
31		fvco2 6931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
32	5, 30, 31	sylancl 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
33		fvpr1o 17522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ TopSp → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
35	34	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = (TopOpen‘𝑆))
36		xpstopn.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
37	35, 36	eqtr4di 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = 𝐾)
38	32, 37	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = 𝐾)
39	38	opeq2d 4818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝐾⟩)
40	27, 39	preq12d 4680	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = {⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
41	14, 40	eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = {⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
42	41	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (∏t‘(TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
43	7, 42	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
44	43	oveq1d 7378	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) qTop ◡𝐹) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
45		xpstps.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
46		xpstopnlem.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
47		xpstopnlem.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
48		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑅 ∈ TopSp)
49		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑆 ∈ TopSp)
50		xpstopnlem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
51		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
52	45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1	xpsval 17532	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑇 = (◡𝐹 “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
53	45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1	xpsrnbas 17533	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ran 𝐹 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
54	50	xpsff1o2 17531	. . . . 5 ⊢ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹
55		f1ocnv 6786	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
56	54, 55	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
57		f1ofo 6781	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→(𝑋 × 𝑌))
58	56, 57	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→(𝑋 × 𝑌))
59		ovexd 7398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
60		xpstopn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
61	52, 53, 58, 59, 6, 60	imastopn 23710	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) qTop ◡𝐹))
62	46, 24	istps 22924	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63	48, 62	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
64	47, 36	istps 22924	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
65	49, 64	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
66	50, 63, 65	xpstopnlem1 23799	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
67		hmeocnv 23752	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})) → ◡𝐹 ∈ ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 ×t 𝐾)))
68		hmeoqtop 23765	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 ×t 𝐾)) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
69	66, 67, 68	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
70	44, 61, 69	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ∅c0 4268  {cpr 4564  ⟨cop 4568   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626   ∘ ccom 5629  Oncon0 6317   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  1_oc1o 8395  2_oc2o 8396  Basecbs 17177  Scalarcsca 17221  TopOpenctopn 17382  ∏_tcpt 17399  X_scprds 17406   qTop cqtop 17465   ×_s cxps 17468  TopOnctopon 22900  TopSpctps 22922   ×_t ctx 23550  Homeochmeo 23743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-tx 23552  df-hmeo 23745

This theorem is referenced by:  xpstopn  23802