Theorem xpstopnlem2 23835

Description: Lemma for xpstopn 23836. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpstps.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpstopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
xpstopn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
xpstopn.o	⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
xpstopnlem.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpstopnlem.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpstopnlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpstopnlem2	⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpstopnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
2		fvexd 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
3		2on 8519	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 2o ∈ On)
5		fnpr2o 17604	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
7	1, 2, 4, 5, 6	prdstopn 23652	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘(TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
8		topnfn 17472	. . . . . . . 8 ⊢ TopOpen Fn V
9		dffn2 6739	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V)
10	5, 9	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V)
11		fnfco 6774	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen Fn V ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o)
12	8, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o)
13		xpsfeq 17610	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
15		0ex 5313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
16	15	prid1 4767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
17		df2o3 8513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2o = {∅, 1o}
18	16, 17	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
19		fvco2 7006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
20	5, 18, 19	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
21		fvpr0o 17606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = (TopOpen‘𝑅))
24		xpstopn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
25	23, 24	eqtr4di 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = 𝐽)
26	20, 25	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = 𝐽)
27	26	opeq2d 4885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝐽⟩)
28		1oex 8515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ V
29	28	prid2 4768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
30	29, 17	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
31		fvco2 7006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
32	5, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
33		fvpr1o 17607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ TopSp → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
35	34	fveq2d 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = (TopOpen‘𝑆))
36		xpstopn.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
37	35, 36	eqtr4di 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = 𝐾)
38	32, 37	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = 𝐾)
39	38	opeq2d 4885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝐾⟩)
40	27, 39	preq12d 4746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = {⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
41	14, 40	eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = {⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
42	41	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (∏t‘(TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
43	7, 42	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
44	43	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) qTop ◡𝐹) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
45		xpstps.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
46		xpstopnlem.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
47		xpstopnlem.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
48		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑅 ∈ TopSp)
49		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑆 ∈ TopSp)
50		xpstopnlem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
51		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
52	45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1	xpsval 17617	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑇 = (◡𝐹 “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
53	45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1	xpsrnbas 17618	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ran 𝐹 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
54	50	xpsff1o2 17616	. . . . 5 ⊢ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹
55		f1ocnv 6861	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
56	54, 55	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
57		f1ofo 6856	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→(𝑋 × 𝑌))
58	56, 57	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→(𝑋 × 𝑌))
59		ovexd 7466	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
60		xpstopn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
61	52, 53, 58, 59, 6, 60	imastopn 23744	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) qTop ◡𝐹))
62	46, 24	istps 22956	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63	48, 62	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
64	47, 36	istps 22956	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
65	49, 64	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
66	50, 63, 65	xpstopnlem1 23833	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
67		hmeocnv 23786	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})) → ◡𝐹 ∈ ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 ×t 𝐾)))
68		hmeoqtop 23799	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 ×t 𝐾)) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
69	66, 67, 68	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
70	44, 61, 69	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  {cpr 4633  ⟨cop 4637   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688  ran crn 5690   ∘ ccom 5693  Oncon0 6386   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  –onto→wfo 6561  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  TopOpenctopn 17468  ∏_tcpt 17485  X_scprds 17492   qTop cqtop 17550   ×_s cxps 17553  TopOnctopon 22932  TopSpctps 22954   ×_t ctx 23584  Homeochmeo 23777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779

This theorem is referenced by:  xpstopn  23836