Theorem xpstopnlem2 23858

Description: Lemma for xpstopn 23859. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpstps.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpstopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
xpstopn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
xpstopn.o	⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
xpstopnlem.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpstopnlem.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpstopnlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpstopnlem2	⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpstopnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
2		fvexd 6876	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
3		2on 8444	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 2o ∈ On)
5		fnpr2o 17577	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
7	1, 2, 4, 5, 6	prdstopn 23675	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘(TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
8		topnfn 17444	. . . . . . . 8 ⊢ TopOpen Fn V
9		dffn2 6687	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V)
10	5, 9	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V)
11		fnfco 6723	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen Fn V ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o)
12	8, 10, 11	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o)
13		xpsfeq 17583	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
15		0ex 5254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
16	15	prid1 4718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
17		df2o3 8438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2o = {∅, 1o}
18	16, 17	eleqtrri 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
19		fvco2 6958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
20	5, 18, 19	sylancl 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
21		fvpr0o 17579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
22	21	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = (TopOpen‘𝑅))
24		xpstopn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
25	23, 24	eqtr4di 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = 𝐽)
26	20, 25	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = 𝐽)
27	26	opeq2d 4835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝐽⟩)
28		1oex 8440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ V
29	28	prid2 4719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
30	29, 17	eleqtrri 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
31		fvco2 6958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
32	5, 30, 31	sylancl 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
33		fvpr1o 17580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ TopSp → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
34	33	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
35	34	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = (TopOpen‘𝑆))
36		xpstopn.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
37	35, 36	eqtr4di 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = 𝐾)
38	32, 37	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = 𝐾)
39	38	opeq2d 4835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝐾⟩)
40	27, 39	preq12d 4697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = {⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
41	14, 40	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = {⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
42	41	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (∏t‘(TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
43	7, 42	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
44	43	oveq1d 7405	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) qTop ◡𝐹) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
45		xpstps.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
46		xpstopnlem.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
47		xpstopnlem.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
48		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑅 ∈ TopSp)
49		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑆 ∈ TopSp)
50		xpstopnlem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
51		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
52	45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1	xpsval 17590	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑇 = (◡𝐹 “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
53	45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1	xpsrnbas 17591	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ran 𝐹 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
54	50	xpsff1o2 17589	. . . . 5 ⊢ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹
55		f1ocnv 6813	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
56	54, 55	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
57		f1ofo 6808	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→(𝑋 × 𝑌))
58	56, 57	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→(𝑋 × 𝑌))
59		ovexd 7425	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
60		xpstopn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
61	52, 53, 58, 59, 6, 60	imastopn 23767	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) qTop ◡𝐹))
62	46, 24	istps 22981	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63	48, 62	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
64	47, 36	istps 22981	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
65	49, 64	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
66	50, 63, 65	xpstopnlem1 23856	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
67		hmeocnv 23809	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})) → ◡𝐹 ∈ ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 ×t 𝐾)))
68		hmeoqtop 23822	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 ×t 𝐾)) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
69	66, 67, 68	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
70	44, 61, 69	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4283  {cpr 4581  ⟨cop 4585   × cxp 5641  ^◡ccnv 5642  ran crn 5644   ∘ ccom 5647  Oncon0 6340   Fn wfn 6510  ⟶wf 6511  –onto→wfo 6513  –1-1-onto→wf1o 6514  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  1_oc1o 8423  2_oc2o 8424  Basecbs 17235  Scalarcsca 17279  TopOpenctopn 17440  ∏_tcpt 17457  X_scprds 17464   qTop cqtop 17523   ×_s cxps 17526  TopOnctopon 22957  TopSpctps 22979   ×_t ctx 23607  Homeochmeo 23800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-tx 23609  df-hmeo 23802

This theorem is referenced by:  xpstopn  23859