MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpstopnlem2 23670
Description: Lemma for xpstopn 23671. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstps.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
xpstopn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
xpstopn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘†)
xpstopn.o 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘‡)
xpstopnlem.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
xpstopnlem.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
xpstopnlem.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
Assertion
Ref Expression
xpstopnlem2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑂 = (𝐽 Γ—t 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝑂(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem xpstopnlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
2 fvexd 6900 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
3 2on 8481 . . . . . 6 2o ∈ On
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 2o ∈ On)
5 fnpr2o 17512 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
6 eqid 2726 . . . . 5 (TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
71, 2, 4, 5, 6prdstopn 23487 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
8 topnfn 17380 . . . . . . . 8 TopOpen Fn V
9 dffn2 6713 . . . . . . . . 9 ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ↔ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢V)
105, 9sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢V)
11 fnfco 6750 . . . . . . . 8 ((TopOpen Fn V ∧ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢V) β†’ (TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) Fn 2o)
128, 10, 11sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) Fn 2o)
13 xpsfeq 17518 . . . . . . 7 ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) Fn 2o β†’ {βŸ¨βˆ…, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o)⟩} = (TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ {βŸ¨βˆ…, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o)⟩} = (TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
15 0ex 5300 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ V
1615prid1 4761 . . . . . . . . . . 11 βˆ… ∈ {βˆ…, 1o}
17 df2o3 8475 . . . . . . . . . . 11 2o = {βˆ…, 1o}
1816, 17eleqtrri 2826 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ 2o
19 fvco2 6982 . . . . . . . . . 10 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…) = (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)))
205, 18, 19sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…) = (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)))
21 fvpr0o 17514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ TopSp β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
2322fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)) = (TopOpenβ€˜π‘…))
24 xpstopn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
2523, 24eqtr4di 2784 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)) = 𝐽)
2620, 25eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…) = 𝐽)
2726opeq2d 4875 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ βŸ¨βˆ…, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…)⟩ = βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩)
28 1oex 8477 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ V
2928prid2 4762 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ {βˆ…, 1o}
3029, 17eleqtrri 2826 . . . . . . . . . 10 1o ∈ 2o
31 fvco2 6982 . . . . . . . . . 10 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o) = (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)))
325, 30, 31sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o) = (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)))
33 fvpr1o 17515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ TopSp β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
3534fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)) = (TopOpenβ€˜π‘†))
36 xpstopn.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘†)
3735, 36eqtr4di 2784 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)) = 𝐾)
3832, 37eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o) = 𝐾)
3938opeq2d 4875 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ⟨1o, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o)⟩ = ⟨1o, 𝐾⟩)
4027, 39preq12d 4740 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ {βŸ¨βˆ…, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o)⟩} = {βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
4114, 40eqtr3d 2768 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = {βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
4241fveq2d 6889 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
437, 42eqtrd 2766 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
4443oveq1d 7420 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) qTop ◑𝐹) = ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◑𝐹))
45 xpstps.t . . . 4 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
46 xpstopnlem.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
47 xpstopnlem.y . . . 4 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
48 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑅 ∈ TopSp)
49 simpr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑆 ∈ TopSp)
50 xpstopnlem.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
51 eqid 2726 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
5245, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1xpsval 17525 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑇 = (◑𝐹 β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
5345, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1xpsrnbas 17526 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
5450xpsff1o2 17524 . . . . 5 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹
55 f1ocnv 6839 . . . . 5 (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ ◑𝐹:ran 𝐹–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
5654, 55mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ◑𝐹:ran 𝐹–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
57 f1ofo 6834 . . . 4 (◑𝐹:ran 𝐹–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ ◑𝐹:ran 𝐹–ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
5856, 57syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ◑𝐹:ran 𝐹–ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
59 ovexd 7440 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ V)
60 xpstopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘‡)
6152, 53, 58, 59, 6, 60imastopn 23579 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑂 = ((TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) qTop ◑𝐹))
6246, 24istps 22791 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6348, 62sylib 217 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6447, 36istps 22791 . . . . 5 (𝑆 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
6549, 64sylib 217 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
6650, 63, 65xpstopnlem1 23668 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
67 hmeocnv 23621 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})) β†’ ◑𝐹 ∈ ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 Γ—t 𝐾)))
68 hmeoqtop 23634 . . 3 (◑𝐹 ∈ ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◑𝐹))
6966, 67, 683syl 18 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◑𝐹))
7044, 61, 693eqtr4d 2776 1 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑂 = (𝐽 Γ—t 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   ∘ ccom 5673  Oncon0 6358   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€“ontoβ†’wfo 6535  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1oc1o 8460  2oc2o 8461  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  TopOpenctopn 17376  βˆtcpt 17393  Xscprds 17400   qTop cqtop 17458   Γ—s cxps 17461  TopOnctopon 22767  TopSpctps 22789   Γ—t ctx 23419  Homeochmeo 23612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-tx 23421  df-hmeo 23614
This theorem is referenced by:  xpstopn  23671
  Copyright terms: Public domain W3C validator