MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpstopnlem2 23731
Description: Lemma for xpstopn 23732. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstps.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
xpstopn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
xpstopn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘†)
xpstopn.o 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘‡)
xpstopnlem.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
xpstopnlem.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
xpstopnlem.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
Assertion
Ref Expression
xpstopnlem2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑂 = (𝐽 Γ—t 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝑂(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem xpstopnlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . 5 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
2 fvexd 6906 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
3 2on 8497 . . . . . 6 2o ∈ On
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 2o ∈ On)
5 fnpr2o 17536 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
6 eqid 2725 . . . . 5 (TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
71, 2, 4, 5, 6prdstopn 23548 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
8 topnfn 17404 . . . . . . . 8 TopOpen Fn V
9 dffn2 6718 . . . . . . . . 9 ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ↔ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢V)
105, 9sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢V)
11 fnfco 6756 . . . . . . . 8 ((TopOpen Fn V ∧ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢V) β†’ (TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) Fn 2o)
128, 10, 11sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) Fn 2o)
13 xpsfeq 17542 . . . . . . 7 ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) Fn 2o β†’ {βŸ¨βˆ…, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o)⟩} = (TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ {βŸ¨βˆ…, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o)⟩} = (TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
15 0ex 5302 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ V
1615prid1 4762 . . . . . . . . . . 11 βˆ… ∈ {βˆ…, 1o}
17 df2o3 8491 . . . . . . . . . . 11 2o = {βˆ…, 1o}
1816, 17eleqtrri 2824 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ 2o
19 fvco2 6989 . . . . . . . . . 10 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…) = (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)))
205, 18, 19sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…) = (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)))
21 fvpr0o 17538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ TopSp β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
2221adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
2322fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)) = (TopOpenβ€˜π‘…))
24 xpstopn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
2523, 24eqtr4di 2783 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)) = 𝐽)
2620, 25eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…) = 𝐽)
2726opeq2d 4876 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ βŸ¨βˆ…, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…)⟩ = βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩)
28 1oex 8493 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ V
2928prid2 4763 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ {βˆ…, 1o}
3029, 17eleqtrri 2824 . . . . . . . . . 10 1o ∈ 2o
31 fvco2 6989 . . . . . . . . . 10 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o) = (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)))
325, 30, 31sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o) = (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)))
33 fvpr1o 17539 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ TopSp β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
3534fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)) = (TopOpenβ€˜π‘†))
36 xpstopn.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘†)
3735, 36eqtr4di 2783 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)) = 𝐾)
3832, 37eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o) = 𝐾)
3938opeq2d 4876 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ⟨1o, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o)⟩ = ⟨1o, 𝐾⟩)
4027, 39preq12d 4741 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ {βŸ¨βˆ…, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜βˆ…)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})β€˜1o)⟩} = {βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
4114, 40eqtr3d 2767 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = {βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
4241fveq2d 6895 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
437, 42eqtrd 2765 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
4443oveq1d 7430 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) qTop ◑𝐹) = ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◑𝐹))
45 xpstps.t . . . 4 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
46 xpstopnlem.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
47 xpstopnlem.y . . . 4 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
48 simpl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑅 ∈ TopSp)
49 simpr 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑆 ∈ TopSp)
50 xpstopnlem.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
51 eqid 2725 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
5245, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1xpsval 17549 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑇 = (◑𝐹 β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
5345, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1xpsrnbas 17550 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
5450xpsff1o2 17548 . . . . 5 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹
55 f1ocnv 6845 . . . . 5 (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ ◑𝐹:ran 𝐹–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
5654, 55mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ◑𝐹:ran 𝐹–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
57 f1ofo 6840 . . . 4 (◑𝐹:ran 𝐹–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ ◑𝐹:ran 𝐹–ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
5856, 57syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ◑𝐹:ran 𝐹–ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
59 ovexd 7450 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ V)
60 xpstopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘‡)
6152, 53, 58, 59, 6, 60imastopn 23640 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑂 = ((TopOpenβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) qTop ◑𝐹))
6246, 24istps 22852 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6348, 62sylib 217 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6447, 36istps 22852 . . . . 5 (𝑆 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
6549, 64sylib 217 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
6650, 63, 65xpstopnlem1 23729 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
67 hmeocnv 23682 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})) β†’ ◑𝐹 ∈ ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 Γ—t 𝐾)))
68 hmeoqtop 23695 . . 3 (◑𝐹 ∈ ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◑𝐹))
6966, 67, 683syl 18 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) = ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◑𝐹))
7044, 61, 693eqtr4d 2775 1 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) β†’ 𝑂 = (𝐽 Γ—t 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  βˆ…c0 4318  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  ran crn 5673   ∘ ccom 5676  Oncon0 6364   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  1oc1o 8476  2oc2o 8477  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233  TopOpenctopn 17400  βˆtcpt 17417  Xscprds 17424   qTop cqtop 17482   Γ—s cxps 17485  TopOnctopon 22828  TopSpctps 22850   Γ—t ctx 23480  Homeochmeo 23673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-tx 23482  df-hmeo 23675
This theorem is referenced by:  xpstopn  23732
  Copyright terms: Public domain W3C validator