Theorem xpstopnlem2 23729

Description: Lemma for xpstopn 23730. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpstps.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpstopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
xpstopn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
xpstopn.o	⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
xpstopnlem.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpstopnlem.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpstopnlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpstopnlem2	⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpstopnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
2		fvexd 6845	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
3		2on 8406	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 2o ∈ On)
5		fnpr2o 17465	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
7	1, 2, 4, 5, 6	prdstopn 23546	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘(TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
8		topnfn 17333	. . . . . . . 8 ⊢ TopOpen Fn V
9		dffn2 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V)
10	5, 9	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V)
11		fnfco 6695	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen Fn V ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶V) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o)
12	8, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o)
13		xpsfeq 17471	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) Fn 2o → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
15		0ex 5249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
16	15	prid1 4716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
17		df2o3 8401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2o = {∅, 1o}
18	16, 17	eleqtrri 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
19		fvco2 6927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
20	5, 18, 19	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
21		fvpr0o 17467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = (TopOpen‘𝑅))
24		xpstopn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
25	23, 24	eqtr4di 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = 𝐽)
26	20, 25	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅) = 𝐽)
27	26	opeq2d 4833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝐽⟩)
28		1oex 8403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ V
29	28	prid2 4717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
30	29, 17	eleqtrri 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
31		fvco2 6927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
32	5, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
33		fvpr1o 17468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ TopSp → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
35	34	fveq2d 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = (TopOpen‘𝑆))
36		xpstopn.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
37	35, 36	eqtr4di 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = 𝐾)
38	32, 37	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o) = 𝐾)
39	38	opeq2d 4833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝐾⟩)
40	27, 39	preq12d 4695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {⟨∅, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘∅)⟩, ⟨1o, ((TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})‘1o)⟩} = {⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
41	14, 40	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = {⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
42	41	fveq2d 6834	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (∏t‘(TopOpen ∘ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
43	7, 42	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))
44	43	oveq1d 7369	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) qTop ◡𝐹) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
45		xpstps.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
46		xpstopnlem.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
47		xpstopnlem.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
48		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑅 ∈ TopSp)
49		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑆 ∈ TopSp)
50		xpstopnlem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
51		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
52	45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1	xpsval 17478	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑇 = (◡𝐹 “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
53	45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 1	xpsrnbas 17479	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ran 𝐹 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
54	50	xpsff1o2 17477	. . . . 5 ⊢ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹
55		f1ocnv 6782	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
56	54, 55	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
57		f1ofo 6777	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→(𝑋 × 𝑌))
58	56, 57	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→(𝑋 × 𝑌))
59		ovexd 7389	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
60		xpstopn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
61	52, 53, 58, 59, 6, 60	imastopn 23638	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) qTop ◡𝐹))
62	46, 24	istps 22852	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63	48, 62	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
64	47, 36	istps 22852	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
65	49, 64	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
66	50, 63, 65	xpstopnlem1 23727	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
67		hmeocnv 23680	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})) → ◡𝐹 ∈ ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 ×t 𝐾)))
68		hmeoqtop 23693	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})Homeo(𝐽 ×t 𝐾)) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
69	66, 67, 68	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t‘{⟨∅, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) qTop ◡𝐹))
70	44, 61, 69	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ∅c0 4282  {cpr 4579  ⟨cop 4583   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620  ran crn 5622   ∘ ccom 5625  Oncon0 6313   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  –onto→wfo 6486  –1-1-onto→wf1o 6487  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ∈ cmpo 7356  1_oc1o 8386  2_oc2o 8387  Basecbs 17124  Scalarcsca 17168  TopOpenctopn 17329  ∏_tcpt 17346  X_scprds 17353   qTop cqtop 17411   ×_s cxps 17414  TopOnctopon 22828  TopSpctps 22850   ×_t ctx 23478  Homeochmeo 23671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fi 9304  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-hom 17189  df-cco 17190  df-rest 17330  df-topn 17331  df-topgen 17351  df-pt 17352  df-prds 17355  df-qtop 17415  df-imas 17416  df-xps 17418  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-cn 23145  df-cnp 23146  df-tx 23480  df-hmeo 23673

This theorem is referenced by:  xpstopn  23730