Theorem hmphsym 24008

Description: "Is homeomorphic to" is symmetric. (Contributed by FL, 8-Mar-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hmphsym	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐾 ≃ 𝐽)

Proof of Theorem hmphsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 24002	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4300	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
4		hmeocnv 23988	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝑓 ∈ (𝐾Homeo𝐽))
5		hmphi 24003	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝐾Homeo𝐽) → 𝐾 ≃ 𝐽)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ≃ 𝐽)
7	6	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ≃ 𝐽)
8	3, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐾 ≃ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654  (class class class)co 7413  Homeochmeo 23979   ≃ chmph 23980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8455  df-map 8828  df-top 23119  df-topon 23136  df-cn 23452  df-hmeo 23981  df-hmph 23982

This theorem is used by:  hmpher  24010  hmphsymb  24012  haushmphlem  24013  t0kq  24044  kqhmph  24045  ist1-5lem  24046  reheibor  38589