Theorem hmphsym 23772

Description: "Is homeomorphic to" is symmetric. (Contributed by FL, 8-Mar-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hmphsym	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐾 ≃ 𝐽)

Proof of Theorem hmphsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 23766	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4347	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3	1, 2	bitri 274	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
4		hmeocnv 23752	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝑓 ∈ (𝐾Homeo𝐽))
5		hmphi 23767	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝐾Homeo𝐽) → 𝐾 ≃ 𝐽)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ≃ 𝐽)
7	6	exlimiv 1926	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ≃ 𝐽)
8	3, 7	sylbi 216	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐾 ≃ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∅c0 4323   class class class wbr 5144  ^◡ccnv 5672  (class class class)co 7414  Homeochmeo 23743   ≃ chmph 23744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8486  df-map 8847  df-top 22882  df-topon 22899  df-cn 23217  df-hmeo 23745  df-hmph 23746

This theorem is referenced by:  hmpher  23774  hmphsymb  23776  haushmphlem  23777  t0kq  23808  kqhmph  23809  ist1-5lem  23810  reheibor  37551