MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmphsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmphsym 23772
Description: "Is homeomorphic to" is symmetric. (Contributed by FL, 8-Mar-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
hmphsym (𝐽𝐾𝐾𝐽)

Proof of Theorem hmphsym
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 23766 . . 3 (𝐽𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2 n0 4347 . . 3 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
31, 2bitri 274 . 2 (𝐽𝐾 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
4 hmeocnv 23752 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐾Homeo𝐽))
5 hmphi 23767 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐾Homeo𝐽) → 𝐾𝐽)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾𝐽)
76exlimiv 1926 . 2 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾𝐽)
83, 7sylbi 216 1 (𝐽𝐾𝐾𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1774  wcel 2099  wne 2930  c0 4323   class class class wbr 5144  ccnv 5672  (class class class)co 7414  Homeochmeo 23743  chmph 23744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8486  df-map 8847  df-top 22882  df-topon 22899  df-cn 23217  df-hmeo 23745  df-hmph 23746
This theorem is referenced by:  hmpher  23774  hmphsymb  23776  haushmphlem  23777  t0kq  23808  kqhmph  23809  ist1-5lem  23810  reheibor  37551
  Copyright terms: Public domain W3C validator