Theorem hmphsym 24156

Description: "Is homeomorphic to" is symmetric. (Contributed by FL, 8-Mar-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hmphsym	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐾 ≃ 𝐽)

Proof of Theorem hmphsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 24150	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4303	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
4		hmeocnv 24136	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝑓 ∈ (𝐾Homeo𝐽))
5		hmphi 24151	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝐾Homeo𝐽) → 𝐾 ≃ 𝐽)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ≃ 𝐽)
7	6	exlimiv 1965	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ≃ 𝐽)
8	3, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐾 ≃ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657  (class class class)co 7451  Homeochmeo 24127   ≃ chmph 24128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-1o 8514  df-map 8887  df-top 23267  df-topon 23284  df-cn 23600  df-hmeo 24129  df-hmph 24130

This theorem is used by:  hmpher  24158  hmphsymb  24160  haushmphlem  24161  t0kq  24192  kqhmph  24193  ist1-5lem  24194  reheibor  39039