MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeoopn 22290
Description: Homeomorphisms preserve openness. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoopn.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hmeoopn ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))

Proof of Theorem hmeoopn
StepHypRef Expression
1 hmeoima 22289 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
21ex 413 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐴𝐽 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))
32adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐽 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))
4 hmeocn 22284 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 cnima 21789 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽)
65ex 413 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾 → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾 → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
87adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾 → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
9 hmeoopn.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
10 eqid 2826 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
119, 10hmeof1o 22288 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾)
12 f1of1 6611 . . . . . 6 (𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾𝐹:𝑋1-1 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋1-1 𝐾)
14 f1imacnv 6628 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1 𝐾𝐴𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
1513, 14sylan 580 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
1615eleq1d 2902 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽𝐴𝐽))
178, 16sylibd 240 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐽))
183, 17impbid 213 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940   cuni 4837  ccnv 5553  cima 5557  1-1wf1 6349  1-1-ontowf1o 6351  (class class class)co 7148   Cn ccn 21748  Homeochmeo 22277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-map 8398  df-top 21418  df-topon 21435  df-cn 21751  df-hmeo 22279
This theorem is referenced by:  hmphdis  22320
  Copyright terms: Public domain W3C validator