Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeoopn 22471
 Description: Homeomorphisms preserve openness. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoopn.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hmeoopn ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))

Proof of Theorem hmeoopn
StepHypRef Expression
1 hmeoima 22470 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
21ex 416 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐴𝐽 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))
32adantr 484 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐽 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))
4 hmeocn 22465 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 cnima 21970 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽)
65ex 416 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾 → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾 → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
87adantr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾 → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
9 hmeoopn.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
10 eqid 2758 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
119, 10hmeof1o 22469 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾)
12 f1of1 6605 . . . . . 6 (𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾𝐹:𝑋1-1 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋1-1 𝐾)
14 f1imacnv 6622 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1 𝐾𝐴𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
1513, 14sylan 583 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
1615eleq1d 2836 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽𝐴𝐽))
178, 16sylibd 242 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐽))
183, 17impbid 215 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860  ∪ cuni 4801  ◡ccnv 5526   “ cima 5530  –1-1→wf1 6336  –1-1-onto→wf1o 6338  (class class class)co 7155   Cn ccn 21929  Homeochmeo 22458 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-map 8423  df-top 21599  df-topon 21616  df-cn 21932  df-hmeo 22460 This theorem is referenced by:  hmphdis  22501
 Copyright terms: Public domain W3C validator