MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeoopn 23490
Description: Homeomorphisms preserve openness. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoopn.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hmeoopn ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))

Proof of Theorem hmeoopn
StepHypRef Expression
1 hmeoima 23489 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
21ex 413 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐴𝐽 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))
32adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐽 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))
4 hmeocn 23484 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 cnima 22989 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽)
65ex 413 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾 → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾 → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
87adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾 → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽))
9 hmeoopn.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
10 eqid 2732 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
119, 10hmeof1o 23488 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾)
12 f1of1 6832 . . . . . 6 (𝐹:𝑋1-1-onto 𝐾𝐹:𝑋1-1 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋1-1 𝐾)
14 f1imacnv 6849 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1 𝐾𝐴𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
1513, 14sylan 580 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝐴)) = 𝐴)
1615eleq1d 2818 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹 “ (𝐹𝐴)) ∈ 𝐽𝐴𝐽))
178, 16sylibd 238 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐽))
183, 17impbid 211 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3948   cuni 4908  ccnv 5675  cima 5679  1-1wf1 6540  1-1-ontowf1o 6542  (class class class)co 7411   Cn ccn 22948  Homeochmeo 23477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-top 22616  df-topon 22633  df-cn 22951  df-hmeo 23479
This theorem is referenced by:  hmphdis  23520
  Copyright terms: Public domain W3C validator