Theorem hmeoima 23773

Description: The image of an open set by a homeomorphism is an open set. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem hmeoima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 23769	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2		imacnvcnv 6226	. . 3 ⊢ (◡◡𝐹 “ 𝐴) = (𝐹 “ 𝐴)
3		cnima 23273	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (◡◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)
4	2, 3	eqeltrrid 2846	. 2 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688  (class class class)co 7431   Cn ccn 23232  Homeochmeo 23761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-top 22900  df-topon 22917  df-cn 23235  df-hmeo 23763

This theorem is referenced by:  hmeoopn  23774  hmeoimaf1o  23778  hmeoqtop  23783  reghmph  23801  nrmhmph  23802  subgntr  24115  opnsubg  24116  tsmsxplem1  24161  tpr2rico  33911  cvmopnlem  35283