Theorem hmeoima 24084

Description: The image of an open set by a homeomorphism is an open set. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem hmeoima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 24080	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2		imacnvcnv 6207	. . 3 ⊢ (◡◡𝐹 “ 𝐴) = (𝐹 “ 𝐴)
3		cnima 23583	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (◡◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)
4	2, 3	eqeltrrid 2866	. 2 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)
5	1, 4	sylan 592	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  (class class class)co 7420   Cn ccn 23542  Homeochmeo 24072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-top 23212  df-topon 23229  df-cn 23545  df-hmeo 24074

This theorem is used by:  hmeoopn  24085  hmeoimaf1o  24089  hmeoqtop  24094  reghmph  24112  nrmhmph  24113  subgntr  24426  opnsubg  24427  tsmsxplem1  24472  tpr2rico  34544  cvmopnlem  36043