Theorem hmeoima 23590

Description: The image of an open set by a homeomorphism is an open set. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem hmeoima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 23586	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2		imacnvcnv 6205	. . 3 ⊢ (◡◡𝐹 “ 𝐴) = (𝐹 “ 𝐴)
3		cnima 23090	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (◡◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)
4	2, 3	eqeltrrid 2837	. 2 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)
5	1, 4	sylan 579	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  (class class class)co 7412   Cn ccn 23049  Homeochmeo 23578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8828  df-top 22717  df-topon 22734  df-cn 23052  df-hmeo 23580

This theorem is referenced by:  hmeoopn  23591  hmeoimaf1o  23595  hmeoqtop  23600  reghmph  23618  nrmhmph  23619  subgntr  23932  opnsubg  23933  tsmsxplem1  23978  tpr2rico  33358  cvmopnlem  34735