Theorem cnima 23422

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23395	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 502	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 500	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6058	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3580	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 591	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∪ cuni 4872  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410  Topctop 23050   Cn ccn 23381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-top 23051  df-topon 23068  df-cn 23384

This theorem is referenced by:  cnco  23423  cnclima  23425  cnntri  23428  cnss1  23433  cnss2  23434  cncnpi  23435  cnrest  23442  cnt0  23503  cnhaus  23511  cncmp  23549  cnconn  23579  2ndcomap  23615  kgencn3  23715  txcnmpt  23781  txdis1cn  23792  pthaus  23795  ptrescn  23796  txkgen  23809  xkoco2cn  23815  xkococnlem  23816  txconn  23846  imasnopn  23847  qtopkgen  23867  qtopss  23872  isr0  23894  kqreglem1  23898  kqreglem2  23899  kqnrmlem1  23900  kqnrmlem2  23901  hmeoima  23922  hmeoopn  23923  hmeoimaf1o  23927  reghmph  23950  nrmhmph  23951  tmdgsum2  24253  symgtgp  24263  ghmcnp  24272  tgpt0  24276  qustgpopn  24277  qustgplem  24278  nmhmcn  25279  mbfimaopnlem  25814  cncombf  25817  cnmbf  25818  dvloglem  26813  efopnlem2  26822  efopn  26823  atansopn  27097  cnmbfm  34653  cvmsss2  35766  cvmliftmolem2  35774  cvmliftlem15  35790  cvmlift2lem9a  35795  cvmlift2lem9  35803  cvmlift2lem10  35804  cvmlift3lem6  35816  cvmlift3lem8  35818  dvtanlem  38340  resuppsinopn  43144  rfcnpre1  45759  rfcnpre2  45771  icccncfext  46621