Theorem cnima 21592

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 21565	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 489	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 488	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 5763	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2843	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3527	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 572	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3081  ∪ cuni 4708  ^◡ccnv 5402   “ cima 5406  ⟶wf 6181  (class class class)co 6974  Topctop 21220   Cn ccn 21551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-map 8206  df-top 21221  df-topon 21238  df-cn 21554

This theorem is referenced by:  cnco  21593  cnclima  21595  cnntri  21598  cnss1  21603  cnss2  21604  cncnpi  21605  cnrest  21612  cnt0  21673  cnhaus  21681  cncmp  21719  cnconn  21749  2ndcomap  21785  kgencn3  21885  txcnmpt  21951  txdis1cn  21962  pthaus  21965  ptrescn  21966  txkgen  21979  xkoco2cn  21985  xkococnlem  21986  txconn  22016  imasnopn  22017  qtopkgen  22037  qtopss  22042  isr0  22064  kqreglem1  22068  kqreglem2  22069  kqnrmlem1  22070  kqnrmlem2  22071  hmeoima  22092  hmeoopn  22093  hmeoimaf1o  22097  reghmph  22120  nrmhmph  22121  tmdgsum2  22423  symgtgp  22428  ghmcnp  22441  tgpt0  22445  qustgpopn  22446  qustgplem  22447  nmhmcn  23442  mbfimaopnlem  23974  cncombf  23977  cnmbf  23978  dvloglem  24947  efopnlem2  24956  efopn  24957  atansopn  25226  cnmbfm  31198  cvmsss2  32143  cvmliftmolem2  32151  cvmliftlem15  32167  cvmlift2lem9a  32172  cvmlift2lem9  32180  cvmlift2lem10  32181  cvmlift3lem6  32193  cvmlift3lem8  32195  dvtanlem  34419  rfcnpre1  40732  rfcnpre2  40744  icccncfext  41632