Theorem cnima 21870

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 21843	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 500	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 499	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 5892	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2874	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3570	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∪ cuni 4800  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135  Topctop 21498   Cn ccn 21829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-map 8391  df-top 21499  df-topon 21516  df-cn 21832

This theorem is referenced by:  cnco  21871  cnclima  21873  cnntri  21876  cnss1  21881  cnss2  21882  cncnpi  21883  cnrest  21890  cnt0  21951  cnhaus  21959  cncmp  21997  cnconn  22027  2ndcomap  22063  kgencn3  22163  txcnmpt  22229  txdis1cn  22240  pthaus  22243  ptrescn  22244  txkgen  22257  xkoco2cn  22263  xkococnlem  22264  txconn  22294  imasnopn  22295  qtopkgen  22315  qtopss  22320  isr0  22342  kqreglem1  22346  kqreglem2  22347  kqnrmlem1  22348  kqnrmlem2  22349  hmeoima  22370  hmeoopn  22371  hmeoimaf1o  22375  reghmph  22398  nrmhmph  22399  tmdgsum2  22701  symgtgp  22711  ghmcnp  22720  tgpt0  22724  qustgpopn  22725  qustgplem  22726  nmhmcn  23725  mbfimaopnlem  24259  cncombf  24262  cnmbf  24263  dvloglem  25239  efopnlem2  25248  efopn  25249  atansopn  25518  cnmbfm  31631  cvmsss2  32634  cvmliftmolem2  32642  cvmliftlem15  32658  cvmlift2lem9a  32663  cvmlift2lem9  32671  cvmlift2lem10  32672  cvmlift3lem6  32684  cvmlift3lem8  32686  dvtanlem  35106  rfcnpre1  41648  rfcnpre2  41660  icccncfext  42529