Theorem cnima 23474

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23447	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6060	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3582	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 592	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∪ cuni 4874  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ⟶wf 6536  (class class class)co 7419  Topctop 23102   Cn ccn 23433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-top 23103  df-topon 23120  df-cn 23436

This theorem is used by:  cnco  23475  cnclima  23477  cnntri  23480  cnss1  23485  cnss2  23486  cncnpi  23487  cnrest  23494  cnt0  23555  cnhaus  23563  cncmp  23601  cnconn  23631  2ndcomap  23668  kgencn3  23768  txcnmpt  23834  txdis1cn  23845  pthaus  23848  ptrescn  23849  txkgen  23862  xkoco2cn  23868  xkococnlem  23869  txconn  23899  imasnopn  23900  qtopkgen  23920  qtopss  23925  isr0  23947  kqreglem1  23951  kqreglem2  23952  kqnrmlem1  23953  kqnrmlem2  23954  hmeoima  23975  hmeoopn  23976  hmeoimaf1o  23980  reghmph  24003  nrmhmph  24004  tmdgsum2  24306  symgtgp  24316  ghmcnp  24325  tgpt0  24329  qustgpopn  24330  qustgplem  24331  nmhmcn  25332  mbfimaopnlem  25867  cncombf  25870  cnmbf  25871  dvloglem  26866  efopnlem2  26875  efopn  26876  atansopn  27150  cnmbfm  34720  cvmsss2  35805  cvmliftmolem2  35813  cvmliftlem15  35829  cvmlift2lem9a  35834  cvmlift2lem9  35842  cvmlift2lem10  35843  cvmlift3lem6  35855  cvmlift3lem8  35857  dvtanlem  38379  resuppsinopn  43184  rfcnpre1  45799  rfcnpre2  45811  icccncfext  46661