Theorem cnima 22324

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 22297	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 5954	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3551	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 579	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∪ cuni 4836  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255  Topctop 21950   Cn ccn 22283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-top 21951  df-topon 21968  df-cn 22286

This theorem is referenced by:  cnco  22325  cnclima  22327  cnntri  22330  cnss1  22335  cnss2  22336  cncnpi  22337  cnrest  22344  cnt0  22405  cnhaus  22413  cncmp  22451  cnconn  22481  2ndcomap  22517  kgencn3  22617  txcnmpt  22683  txdis1cn  22694  pthaus  22697  ptrescn  22698  txkgen  22711  xkoco2cn  22717  xkococnlem  22718  txconn  22748  imasnopn  22749  qtopkgen  22769  qtopss  22774  isr0  22796  kqreglem1  22800  kqreglem2  22801  kqnrmlem1  22802  kqnrmlem2  22803  hmeoima  22824  hmeoopn  22825  hmeoimaf1o  22829  reghmph  22852  nrmhmph  22853  tmdgsum2  23155  symgtgp  23165  ghmcnp  23174  tgpt0  23178  qustgpopn  23179  qustgplem  23180  nmhmcn  24189  mbfimaopnlem  24724  cncombf  24727  cnmbf  24728  dvloglem  25708  efopnlem2  25717  efopn  25718  atansopn  25987  cnmbfm  32130  cvmsss2  33136  cvmliftmolem2  33144  cvmliftlem15  33160  cvmlift2lem9a  33165  cvmlift2lem9  33173  cvmlift2lem10  33174  cvmlift3lem6  33186  cvmlift3lem8  33188  dvtanlem  35753  rfcnpre1  42451  rfcnpre2  42463  icccncfext  43318