Theorem cnima 23185

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23158	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6016	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3584	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369  Topctop 22813   Cn ccn 23144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-top 22814  df-topon 22831  df-cn 23147

This theorem is referenced by:  cnco  23186  cnclima  23188  cnntri  23191  cnss1  23196  cnss2  23197  cncnpi  23198  cnrest  23205  cnt0  23266  cnhaus  23274  cncmp  23312  cnconn  23342  2ndcomap  23378  kgencn3  23478  txcnmpt  23544  txdis1cn  23555  pthaus  23558  ptrescn  23559  txkgen  23572  xkoco2cn  23578  xkococnlem  23579  txconn  23609  imasnopn  23610  qtopkgen  23630  qtopss  23635  isr0  23657  kqreglem1  23661  kqreglem2  23662  kqnrmlem1  23663  kqnrmlem2  23664  hmeoima  23685  hmeoopn  23686  hmeoimaf1o  23690  reghmph  23713  nrmhmph  23714  tmdgsum2  24016  symgtgp  24026  ghmcnp  24035  tgpt0  24039  qustgpopn  24040  qustgplem  24041  nmhmcn  25053  mbfimaopnlem  25589  cncombf  25592  cnmbf  25593  dvloglem  26590  efopnlem2  26599  efopn  26600  atansopn  26875  cnmbfm  34247  cvmsss2  35254  cvmliftmolem2  35262  cvmliftlem15  35278  cvmlift2lem9a  35283  cvmlift2lem9  35291  cvmlift2lem10  35292  cvmlift3lem6  35304  cvmlift3lem8  35306  dvtanlem  37656  resuppsinopn  42344  rfcnpre1  45006  rfcnpre2  45018  icccncfext  45878