Theorem cnima 23294

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23267	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6085	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2829	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3634	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 579	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∪ cuni 4931  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448  Topctop 22920   Cn ccn 23253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-top 22921  df-topon 22938  df-cn 23256

This theorem is referenced by:  cnco  23295  cnclima  23297  cnntri  23300  cnss1  23305  cnss2  23306  cncnpi  23307  cnrest  23314  cnt0  23375  cnhaus  23383  cncmp  23421  cnconn  23451  2ndcomap  23487  kgencn3  23587  txcnmpt  23653  txdis1cn  23664  pthaus  23667  ptrescn  23668  txkgen  23681  xkoco2cn  23687  xkococnlem  23688  txconn  23718  imasnopn  23719  qtopkgen  23739  qtopss  23744  isr0  23766  kqreglem1  23770  kqreglem2  23771  kqnrmlem1  23772  kqnrmlem2  23773  hmeoima  23794  hmeoopn  23795  hmeoimaf1o  23799  reghmph  23822  nrmhmph  23823  tmdgsum2  24125  symgtgp  24135  ghmcnp  24144  tgpt0  24148  qustgpopn  24149  qustgplem  24150  nmhmcn  25172  mbfimaopnlem  25709  cncombf  25712  cnmbf  25713  dvloglem  26708  efopnlem2  26717  efopn  26718  atansopn  26993  cnmbfm  34228  cvmsss2  35242  cvmliftmolem2  35250  cvmliftlem15  35266  cvmlift2lem9a  35271  cvmlift2lem9  35279  cvmlift2lem10  35280  cvmlift3lem6  35292  cvmlift3lem8  35294  dvtanlem  37629  rfcnpre1  44919  rfcnpre2  44931  icccncfext  45808