Theorem cnima 23390

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23363	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 502	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 500	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6059	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3589	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 591	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∪ cuni 4876  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411  Topctop 23018   Cn ccn 23349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8825  df-top 23019  df-topon 23036  df-cn 23352

This theorem is referenced by:  cnco  23391  cnclima  23393  cnntri  23396  cnss1  23401  cnss2  23402  cncnpi  23403  cnrest  23410  cnt0  23471  cnhaus  23479  cncmp  23517  cnconn  23547  2ndcomap  23583  kgencn3  23683  txcnmpt  23749  txdis1cn  23760  pthaus  23763  ptrescn  23764  txkgen  23777  xkoco2cn  23783  xkococnlem  23784  txconn  23814  imasnopn  23815  qtopkgen  23835  qtopss  23840  isr0  23862  kqreglem1  23866  kqreglem2  23867  kqnrmlem1  23868  kqnrmlem2  23869  hmeoima  23890  hmeoopn  23891  hmeoimaf1o  23895  reghmph  23918  nrmhmph  23919  tmdgsum2  24221  symgtgp  24231  ghmcnp  24240  tgpt0  24244  qustgpopn  24245  qustgplem  24246  nmhmcn  25247  mbfimaopnlem  25782  cncombf  25785  cnmbf  25786  dvloglem  26778  efopnlem2  26787  efopn  26788  atansopn  27062  cnmbfm  34597  cvmsss2  35664  cvmliftmolem2  35672  cvmliftlem15  35688  cvmlift2lem9a  35693  cvmlift2lem9  35701  cvmlift2lem10  35702  cvmlift3lem6  35714  cvmlift3lem8  35716  dvtanlem  38207  resuppsinopn  43013  rfcnpre1  45630  rfcnpre2  45642  icccncfext  46492