MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnima 21801
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2818 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2iscn2 21774 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
43simprbi 497 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
54simprd 496 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
6 imaeq2 5918 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
76eleq1d 2894 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
87rspccva 3619 . 2 ((∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
95, 8sylan 580 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135   cuni 4830  ccnv 5547  cima 5551  wf 6344  (class class class)co 7145  Topctop 21429   Cn ccn 21760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-top 21430  df-topon 21447  df-cn 21763
This theorem is referenced by:  cnco  21802  cnclima  21804  cnntri  21807  cnss1  21812  cnss2  21813  cncnpi  21814  cnrest  21821  cnt0  21882  cnhaus  21890  cncmp  21928  cnconn  21958  2ndcomap  21994  kgencn3  22094  txcnmpt  22160  txdis1cn  22171  pthaus  22174  ptrescn  22175  txkgen  22188  xkoco2cn  22194  xkococnlem  22195  txconn  22225  imasnopn  22226  qtopkgen  22246  qtopss  22251  isr0  22273  kqreglem1  22277  kqreglem2  22278  kqnrmlem1  22279  kqnrmlem2  22280  hmeoima  22301  hmeoopn  22302  hmeoimaf1o  22306  reghmph  22329  nrmhmph  22330  tmdgsum2  22632  symgtgp  22637  ghmcnp  22650  tgpt0  22654  qustgpopn  22655  qustgplem  22656  nmhmcn  23651  mbfimaopnlem  24183  cncombf  24186  cnmbf  24187  dvloglem  25158  efopnlem2  25167  efopn  25168  atansopn  25437  cnmbfm  31420  cvmsss2  32418  cvmliftmolem2  32426  cvmliftlem15  32442  cvmlift2lem9a  32447  cvmlift2lem9  32455  cvmlift2lem10  32456  cvmlift3lem6  32468  cvmlift3lem8  32470  dvtanlem  34822  rfcnpre1  41153  rfcnpre2  41165  icccncfext  42046
  Copyright terms: Public domain W3C validator