Theorem cnima 22769

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 22742	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 498	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6056	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3612	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∪ cuni 4909  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409  Topctop 22395   Cn ccn 22728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-top 22396  df-topon 22413  df-cn 22731

This theorem is referenced by:  cnco  22770  cnclima  22772  cnntri  22775  cnss1  22780  cnss2  22781  cncnpi  22782  cnrest  22789  cnt0  22850  cnhaus  22858  cncmp  22896  cnconn  22926  2ndcomap  22962  kgencn3  23062  txcnmpt  23128  txdis1cn  23139  pthaus  23142  ptrescn  23143  txkgen  23156  xkoco2cn  23162  xkococnlem  23163  txconn  23193  imasnopn  23194  qtopkgen  23214  qtopss  23219  isr0  23241  kqreglem1  23245  kqreglem2  23246  kqnrmlem1  23247  kqnrmlem2  23248  hmeoima  23269  hmeoopn  23270  hmeoimaf1o  23274  reghmph  23297  nrmhmph  23298  tmdgsum2  23600  symgtgp  23610  ghmcnp  23619  tgpt0  23623  qustgpopn  23624  qustgplem  23625  nmhmcn  24636  mbfimaopnlem  25172  cncombf  25175  cnmbf  25176  dvloglem  26156  efopnlem2  26165  efopn  26166  atansopn  26437  cnmbfm  33262  cvmsss2  34265  cvmliftmolem2  34273  cvmliftlem15  34289  cvmlift2lem9a  34294  cvmlift2lem9  34302  cvmlift2lem10  34303  cvmlift3lem6  34315  cvmlift3lem8  34317  dvtanlem  36537  rfcnpre1  43703  rfcnpre2  43715  icccncfext  44603