MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnima 23289
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2735 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2iscn2 23262 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
43simprbi 496 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
54simprd 495 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
6 imaeq2 6076 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
76eleq1d 2824 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
87rspccva 3621 . 2 ((∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
95, 8sylan 580 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   cuni 4912  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  (class class class)co 7431  Topctop 22915   Cn ccn 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-top 22916  df-topon 22933  df-cn 23251
This theorem is referenced by:  cnco  23290  cnclima  23292  cnntri  23295  cnss1  23300  cnss2  23301  cncnpi  23302  cnrest  23309  cnt0  23370  cnhaus  23378  cncmp  23416  cnconn  23446  2ndcomap  23482  kgencn3  23582  txcnmpt  23648  txdis1cn  23659  pthaus  23662  ptrescn  23663  txkgen  23676  xkoco2cn  23682  xkococnlem  23683  txconn  23713  imasnopn  23714  qtopkgen  23734  qtopss  23739  isr0  23761  kqreglem1  23765  kqreglem2  23766  kqnrmlem1  23767  kqnrmlem2  23768  hmeoima  23789  hmeoopn  23790  hmeoimaf1o  23794  reghmph  23817  nrmhmph  23818  tmdgsum2  24120  symgtgp  24130  ghmcnp  24139  tgpt0  24143  qustgpopn  24144  qustgplem  24145  nmhmcn  25167  mbfimaopnlem  25704  cncombf  25707  cnmbf  25708  dvloglem  26705  efopnlem2  26714  efopn  26715  atansopn  26990  cnmbfm  34245  cvmsss2  35259  cvmliftmolem2  35267  cvmliftlem15  35283  cvmlift2lem9a  35288  cvmlift2lem9  35296  cvmlift2lem10  35297  cvmlift3lem6  35309  cvmlift3lem8  35311  dvtanlem  37656  rfcnpre1  44957  rfcnpre2  44969  icccncfext  45843
  Copyright terms: Public domain W3C validator