Theorem cnima 23583

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23556	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6048	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3576	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 592	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  Topctop 23211   Cn ccn 23542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-top 23212  df-topon 23229  df-cn 23545

This theorem is used by:  cnco  23584  cnclima  23586  cnntri  23589  cnss1  23594  cnss2  23595  cncnpi  23596  cnrest  23603  cnt0  23664  cnhaus  23672  cncmp  23710  cnconn  23740  2ndcomap  23777  kgencn3  23877  txcnmpt  23943  txdis1cn  23954  pthaus  23957  ptrescn  23958  txkgen  23971  xkoco2cn  23977  xkococnlem  23978  txconn  24008  imasnopn  24009  qtopkgen  24029  qtopss  24034  isr0  24056  kqreglem1  24060  kqreglem2  24061  kqnrmlem1  24062  kqnrmlem2  24063  hmeoima  24084  hmeoopn  24085  hmeoimaf1o  24089  reghmph  24112  nrmhmph  24113  tmdgsum2  24415  symgtgp  24425  ghmcnp  24434  tgpt0  24438  qustgpopn  24439  qustgplem  24440  nmhmcn  25441  mbfimaopnlem  25976  cncombf  25979  cnmbf  25980  dvloglem  26976  efopnlem2  26985  efopn  26986  atansopn  27260  cnmbfm  34895  cvmsss2  36039  cvmliftmolem2  36047  cvmliftlem15  36063  cvmlift2lem9a  36068  cvmlift2lem9  36076  cvmlift2lem10  36077  cvmlift3lem6  36089  cvmlift3lem8  36091  dvtanlem  38587  resuppsinopn  43414  rfcnpre1  46035  rfcnpre2  46047  icccncfext  46896  dvsec  50855  dvcsc  50856  dvcot  50857