Theorem cnima 23325

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23298	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 501	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 499	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6045	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2847	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3580	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 589	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∪ cuni 4865  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ⟶wf 6517  (class class class)co 7396  Topctop 22953   Cn ccn 23284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-map 8810  df-top 22954  df-topon 22971  df-cn 23287

This theorem is referenced by:  cnco  23326  cnclima  23328  cnntri  23331  cnss1  23336  cnss2  23337  cncnpi  23338  cnrest  23345  cnt0  23406  cnhaus  23414  cncmp  23452  cnconn  23482  2ndcomap  23518  kgencn3  23618  txcnmpt  23684  txdis1cn  23695  pthaus  23698  ptrescn  23699  txkgen  23712  xkoco2cn  23718  xkococnlem  23719  txconn  23749  imasnopn  23750  qtopkgen  23770  qtopss  23775  isr0  23797  kqreglem1  23801  kqreglem2  23802  kqnrmlem1  23803  kqnrmlem2  23804  hmeoima  23825  hmeoopn  23826  hmeoimaf1o  23830  reghmph  23853  nrmhmph  23854  tmdgsum2  24156  symgtgp  24166  ghmcnp  24175  tgpt0  24179  qustgpopn  24180  qustgplem  24181  nmhmcn  25182  mbfimaopnlem  25717  cncombf  25720  cnmbf  25721  dvloglem  26713  efopnlem2  26722  efopn  26723  atansopn  26997  cnmbfm  34560  cvmsss2  35624  cvmliftmolem2  35632  cvmliftlem15  35648  cvmlift2lem9a  35653  cvmlift2lem9  35661  cvmlift2lem10  35662  cvmlift3lem6  35674  cvmlift3lem8  35676  dvtanlem  38168  resuppsinopn  42972  rfcnpre1  45599  rfcnpre2  45611  icccncfext  46461