Theorem cnima 23207

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23180	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6013	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3573	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∪ cuni 4861  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ⟶wf 6486  (class class class)co 7356  Topctop 22835   Cn ccn 23166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8763  df-top 22836  df-topon 22853  df-cn 23169

This theorem is referenced by:  cnco  23208  cnclima  23210  cnntri  23213  cnss1  23218  cnss2  23219  cncnpi  23220  cnrest  23227  cnt0  23288  cnhaus  23296  cncmp  23334  cnconn  23364  2ndcomap  23400  kgencn3  23500  txcnmpt  23566  txdis1cn  23577  pthaus  23580  ptrescn  23581  txkgen  23594  xkoco2cn  23600  xkococnlem  23601  txconn  23631  imasnopn  23632  qtopkgen  23652  qtopss  23657  isr0  23679  kqreglem1  23683  kqreglem2  23684  kqnrmlem1  23685  kqnrmlem2  23686  hmeoima  23707  hmeoopn  23708  hmeoimaf1o  23712  reghmph  23735  nrmhmph  23736  tmdgsum2  24038  symgtgp  24048  ghmcnp  24057  tgpt0  24061  qustgpopn  24062  qustgplem  24063  nmhmcn  25074  mbfimaopnlem  25610  cncombf  25613  cnmbf  25614  dvloglem  26611  efopnlem2  26620  efopn  26621  atansopn  26896  cnmbfm  34369  cvmsss2  35417  cvmliftmolem2  35425  cvmliftlem15  35441  cvmlift2lem9a  35446  cvmlift2lem9  35454  cvmlift2lem10  35455  cvmlift3lem6  35467  cvmlift3lem8  35469  dvtanlem  37809  resuppsinopn  42560  rfcnpre1  45206  rfcnpre2  45218  icccncfext  46073