Theorem cnima 23159

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23132	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6030	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3590	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∪ cuni 4874  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ⟶wf 6510  (class class class)co 7390  Topctop 22787   Cn ccn 23118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-top 22788  df-topon 22805  df-cn 23121

This theorem is referenced by:  cnco  23160  cnclima  23162  cnntri  23165  cnss1  23170  cnss2  23171  cncnpi  23172  cnrest  23179  cnt0  23240  cnhaus  23248  cncmp  23286  cnconn  23316  2ndcomap  23352  kgencn3  23452  txcnmpt  23518  txdis1cn  23529  pthaus  23532  ptrescn  23533  txkgen  23546  xkoco2cn  23552  xkococnlem  23553  txconn  23583  imasnopn  23584  qtopkgen  23604  qtopss  23609  isr0  23631  kqreglem1  23635  kqreglem2  23636  kqnrmlem1  23637  kqnrmlem2  23638  hmeoima  23659  hmeoopn  23660  hmeoimaf1o  23664  reghmph  23687  nrmhmph  23688  tmdgsum2  23990  symgtgp  24000  ghmcnp  24009  tgpt0  24013  qustgpopn  24014  qustgplem  24015  nmhmcn  25027  mbfimaopnlem  25563  cncombf  25566  cnmbf  25567  dvloglem  26564  efopnlem2  26573  efopn  26574  atansopn  26849  cnmbfm  34261  cvmsss2  35268  cvmliftmolem2  35276  cvmliftlem15  35292  cvmlift2lem9a  35297  cvmlift2lem9  35305  cvmlift2lem10  35306  cvmlift3lem6  35318  cvmlift3lem8  35320  dvtanlem  37670  resuppsinopn  42358  rfcnpre1  45020  rfcnpre2  45032  icccncfext  45892