Theorem cnima 23213

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23186	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 495	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 494	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6060	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2810	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3605	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 578	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∪ cuni 4909  ^◡ccnv 5677   “ cima 5681  ⟶wf 6545  (class class class)co 7419  Topctop 22839   Cn ccn 23172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8847  df-top 22840  df-topon 22857  df-cn 23175

This theorem is referenced by:  cnco  23214  cnclima  23216  cnntri  23219  cnss1  23224  cnss2  23225  cncnpi  23226  cnrest  23233  cnt0  23294  cnhaus  23302  cncmp  23340  cnconn  23370  2ndcomap  23406  kgencn3  23506  txcnmpt  23572  txdis1cn  23583  pthaus  23586  ptrescn  23587  txkgen  23600  xkoco2cn  23606  xkococnlem  23607  txconn  23637  imasnopn  23638  qtopkgen  23658  qtopss  23663  isr0  23685  kqreglem1  23689  kqreglem2  23690  kqnrmlem1  23691  kqnrmlem2  23692  hmeoima  23713  hmeoopn  23714  hmeoimaf1o  23718  reghmph  23741  nrmhmph  23742  tmdgsum2  24044  symgtgp  24054  ghmcnp  24063  tgpt0  24067  qustgpopn  24068  qustgplem  24069  nmhmcn  25091  mbfimaopnlem  25628  cncombf  25631  cnmbf  25632  dvloglem  26627  efopnlem2  26636  efopn  26637  atansopn  26909  cnmbfm  34014  cvmsss2  35015  cvmliftmolem2  35023  cvmliftlem15  35039  cvmlift2lem9a  35044  cvmlift2lem9  35052  cvmlift2lem10  35053  cvmlift3lem6  35065  cvmlift3lem8  35067  dvtanlem  37273  rfcnpre1  44523  rfcnpre2  44535  icccncfext  45413