Theorem cnima 23243

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23216	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 6016	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3564	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∪ cuni 4851  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6489  (class class class)co 7361  Topctop 22871   Cn ccn 23202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8769  df-top 22872  df-topon 22889  df-cn 23205

This theorem is referenced by:  cnco  23244  cnclima  23246  cnntri  23249  cnss1  23254  cnss2  23255  cncnpi  23256  cnrest  23263  cnt0  23324  cnhaus  23332  cncmp  23370  cnconn  23400  2ndcomap  23436  kgencn3  23536  txcnmpt  23602  txdis1cn  23613  pthaus  23616  ptrescn  23617  txkgen  23630  xkoco2cn  23636  xkococnlem  23637  txconn  23667  imasnopn  23668  qtopkgen  23688  qtopss  23693  isr0  23715  kqreglem1  23719  kqreglem2  23720  kqnrmlem1  23721  kqnrmlem2  23722  hmeoima  23743  hmeoopn  23744  hmeoimaf1o  23748  reghmph  23771  nrmhmph  23772  tmdgsum2  24074  symgtgp  24084  ghmcnp  24093  tgpt0  24097  qustgpopn  24098  qustgplem  24099  nmhmcn  25100  mbfimaopnlem  25635  cncombf  25638  cnmbf  25639  dvloglem  26628  efopnlem2  26637  efopn  26638  atansopn  26912  cnmbfm  34426  cvmsss2  35475  cvmliftmolem2  35483  cvmliftlem15  35499  cvmlift2lem9a  35504  cvmlift2lem9  35512  cvmlift2lem10  35513  cvmlift3lem6  35525  cvmlift3lem8  35527  dvtanlem  38007  resuppsinopn  42812  rfcnpre1  45471  rfcnpre2  45483  icccncfext  46336