Theorem bdopcoi 32042

Description: The composition of two bounded linear operators is bounded. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdopcoi	⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdopcoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 31805	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 31805	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnopcoi 31947	. 2 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp
8	3	lnopfi 31913	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
9	6	lnopfi 31913	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
10	8, 9	hocofi 31710	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
11		nmopxr 31810	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ*)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ*
13		nmopre 31814	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
15		nmopre 31814	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
17	14, 16	remulcli 11131	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
18		nmopgtmnf 31812	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)))
19	10, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ -∞ < (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇))
20	1, 4	nmopcoi 32039	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))
21		xrre 13071	. . 3 ⊢ ((((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∧ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
22	12, 17, 19, 20, 21	mp4an 693	. 2 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
23		elbdop2 31815	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ))
24	7, 22, 23	mpbir2an 711	1 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   · cmul 11014  -∞cmnf 11147  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150   ℋchba 30863  norm_opcnop 30889  LinOpclo 30891  BndLinOpcbo 30892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 30943  ax-hfvadd 30944  ax-hvcom 30945  ax-hvass 30946  ax-hv0cl 30947  ax-hvaddid 30948  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulid 30950  ax-hvmulass 30951  ax-hvdistr1 30952  ax-hvdistr2 30953  ax-hvmul0 30954  ax-hfi 31023  ax-his1 31026  ax-his2 31027  ax-his3 31028  ax-his4 31029  ax-hcompl 31146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-lm 23114  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cfil 25153  df-cau 25154  df-cmet 25155  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-gdiv 30440  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-vs 30543  df-nmcv 30544  df-ims 30545  df-dip 30645  df-ssp 30666  df-lno 30688  df-nmoo 30689  df-0o 30691  df-ph 30757  df-cbn 30807  df-hnorm 30912  df-hba 30913  df-hvsub 30915  df-hlim 30916  df-hcau 30917  df-sh 31151  df-ch 31165  df-oc 31196  df-ch0 31197  df-shs 31252  df-pjh 31339  df-h0op 31692  df-nmop 31783  df-lnop 31785  df-bdop 31786  df-hmop 31788

This theorem is referenced by:  adjcoi  32044  nmopcoadji  32045  unierri  32048