Theorem bdopcoi 32079

Description: The composition of two bounded linear operators is bounded. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdopcoi	⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdopcoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 31842	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 31842	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnopcoi 31984	. 2 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp
8	3	lnopfi 31950	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
9	6	lnopfi 31950	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
10	8, 9	hocofi 31747	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
11		nmopxr 31847	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ*)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ*
13		nmopre 31851	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
15		nmopre 31851	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
17	14, 16	remulcli 11251	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
18		nmopgtmnf 31849	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)))
19	10, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ -∞ < (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇))
20	1, 4	nmopcoi 32076	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))
21		xrre 13185	. . 3 ⊢ ((((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∧ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
22	12, 17, 19, 20, 21	mp4an 693	. 2 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
23		elbdop2 31852	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ))
24	7, 22, 23	mpbir2an 711	1 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   · cmul 11134  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   ℋchba 30900  norm_opcnop 30926  LinOpclo 30928  BndLinOpcbo 30929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hvcom 30982  ax-hvass 30983  ax-hv0cl 30984  ax-hvaddid 30985  ax-hfvmul 30986  ax-hvmulid 30987  ax-hvmulass 30988  ax-hvdistr1 30989  ax-hvdistr2 30990  ax-hvmul0 30991  ax-hfi 31060  ax-his1 31063  ax-his2 31064  ax-his3 31065  ax-his4 31066  ax-hcompl 31183

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-lm 23167  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cfil 25207  df-cau 25208  df-cmet 25209  df-grpo 30474  df-gid 30475  df-ginv 30476  df-gdiv 30477  df-ablo 30526  df-vc 30540  df-nv 30573  df-va 30576  df-ba 30577  df-sm 30578  df-0v 30579  df-vs 30580  df-nmcv 30581  df-ims 30582  df-dip 30682  df-ssp 30703  df-lno 30725  df-nmoo 30726  df-0o 30728  df-ph 30794  df-cbn 30844  df-hnorm 30949  df-hba 30950  df-hvsub 30952  df-hlim 30953  df-hcau 30954  df-sh 31188  df-ch 31202  df-oc 31233  df-ch0 31234  df-shs 31289  df-pjh 31376  df-h0op 31729  df-nmop 31820  df-lnop 31822  df-bdop 31823  df-hmop 31825

This theorem is referenced by:  adjcoi  32081  nmopcoadji  32082  unierri  32085