Theorem bdopcoi 31103

Description: The composition of two bounded linear operators is bounded. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdopcoi	⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdopcoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 30866	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 30866	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnopcoi 31008	. 2 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp
8	3	lnopfi 30974	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
9	6	lnopfi 30974	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
10	8, 9	hocofi 30771	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
11		nmopxr 30871	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ*)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ*
13		nmopre 30875	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
15		nmopre 30875	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
17	14, 16	remulcli 11180	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
18		nmopgtmnf 30873	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)))
19	10, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ -∞ < (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇))
20	1, 4	nmopcoi 31100	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))
21		xrre 13098	. . 3 ⊢ ((((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∧ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ)
22	12, 17, 19, 20, 21	mp4an 691	. 2 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ
23		elbdop2 30876	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ ℝ))
24	7, 22, 23	mpbir2an 709	1 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℝcr 11059   · cmul 11065  -∞cmnf 11196  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   ≤ cle 11199   ℋchba 29924  norm_opcnop 29950  LinOpclo 29952  BndLinOpcbo 29953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cc 10380  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140  ax-hilex 30004  ax-hfvadd 30005  ax-hvcom 30006  ax-hvass 30007  ax-hv0cl 30008  ax-hvaddid 30009  ax-hfvmul 30010  ax-hvmulid 30011  ax-hvmulass 30012  ax-hvdistr1 30013  ax-hvdistr2 30014  ax-hvmul0 30015  ax-hfi 30084  ax-his1 30087  ax-his2 30088  ax-his3 30089  ax-his4 30090  ax-hcompl 30207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-acn 9887  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-lm 22617  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cfil 24656  df-cau 24657  df-cmet 24658  df-grpo 29498  df-gid 29499  df-ginv 29500  df-gdiv 29501  df-ablo 29550  df-vc 29564  df-nv 29597  df-va 29600  df-ba 29601  df-sm 29602  df-0v 29603  df-vs 29604  df-nmcv 29605  df-ims 29606  df-dip 29706  df-ssp 29727  df-lno 29749  df-nmoo 29750  df-0o 29752  df-ph 29818  df-cbn 29868  df-hnorm 29973  df-hba 29974  df-hvsub 29976  df-hlim 29977  df-hcau 29978  df-sh 30212  df-ch 30226  df-oc 30257  df-ch0 30258  df-shs 30313  df-pjh 30400  df-h0op 30753  df-nmop 30844  df-lnop 30846  df-bdop 30847  df-hmop 30849

This theorem is referenced by:  adjcoi  31105  nmopcoadji  31106  unierri  31109