pjclem1 - Hilbert Space Explorer

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Theorem pjclem1 32281

Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ C_ℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ C_ℋ

**Assertion**
Ref	Expression
pjclem1	⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

**Proof of Theorem pjclem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ C_ℋ
2		pjclem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ C_ℋ
3	1, 2	cmbri 31676	. . . . 5 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
4		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
5	3, 4	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → (proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
6		inss2 4179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
7	1	choccli 31393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ C_ℋ
8	2, 7	chub2i 31556	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨_ℋ 𝐻)
9	1, 2	chdmm3i 31565	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨_ℋ 𝐻)
10	8, 9	sseqtrri 3972	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
11	6, 10	sstri 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
12	1, 2	chincli 31546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ C_ℋ
13	2	choccli 31393	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ C_ℋ
14	1, 13	chincli 31546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C_ℋ
15	12, 14	pjscji 32256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
16	11, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
17	16	eqeq2i 2750	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj_ℎ‘𝐺) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
18		coeq2 5807	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))))
19	12	pjfi 31790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
20	14	pjfi 31790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
21	2, 19, 20	pjsdii 32241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
22	12, 2	pjss1coi 32249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
23	6, 22	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
24	2, 14	pjorthcoi 32255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop )
25	10, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop
26	23, 25	oveq12i 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op 0_hop )
27	19	hoaddridi 31872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op 0_hop ) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
28	21, 26, 27	3eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
29	28	eqeq2i 2750	. . . . . . 7 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
30		coeq2 5807	. . . . . . . 8 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))))
31		inss1 4178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺
32	12, 1	pjss1coi 32249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺 ↔ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
33	31, 32	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
34	30, 33	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
35	29, 34	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
36	18, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
37	17, 36	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
38	5, 37	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
39	1, 2	cmcm3i 31680	. . . . 5 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) 𝐶_ℋ 𝐻)
40	7, 2	cmbri 31676	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
41	39, 40	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
42		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
43		inss2 4179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
44	2, 1	chub2i 31556	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ (𝐺 ∨_ℋ 𝐻)
45	1, 2	chdmm4i 31566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) = (𝐺 ∨_ℋ 𝐻)
46	44, 45	sseqtrri 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
47	43, 46	sstri 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
48	7, 2	chincli 31546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C_ℋ
49	7, 13	chincli 31546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C_ℋ
50	48, 49	pjscji 32256	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
51	47, 50	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
52	51	eqeq2i 2750	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
53		coeq2 5807	. . . . . . 7 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))))
54	48	pjfi 31790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
55	49	pjfi 31790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
56	2, 54, 55	pjsdii 32241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
57	48, 2	pjss1coi 32249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
58	43, 57	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
59	2, 49	pjorthcoi 32255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop )
60	46, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop
61	58, 60	oveq12i 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op 0_hop )
62	54	hoaddridi 31872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op 0_hop ) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
63	56, 61, 62	3eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
64	63	eqeq2i 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
65		coeq2 5807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))))
66	1, 13	chub1i 31555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∨_ℋ (⊥‘𝐻))
67	1, 2	chdmm2i 31564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) = (𝐺 ∨_ℋ (⊥‘𝐻))
68	66, 67	sseqtrri 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
69	1, 48	pjorthcoi 32255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0_hop )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0_hop
71	65, 70	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
72	64, 71	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
73	53, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
74	52, 73	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
75	42, 74	syl 17	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
76	41, 75	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
77	38, 76	oveq12d 7378	. 2 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → (((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) +_op ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op 0_hop ))
78		df-iop 31835	. . . . . . 7 ⊢ I_op = (proj_ℎ‘ ℋ)
79	78	coeq2i 5809	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ I_op ) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ))
80	2	pjfi 31790	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
81	80	hoid1i 31875	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ I_op ) = (proj_ℎ‘𝐻)
82	79, 81	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ)) = (proj_ℎ‘𝐻)
83	1	pjtoi 32265	. . . . . . 7 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) +_op (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘ ℋ)
84	83	coeq2i 5809	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘𝐺) +_op (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ))
85	1	pjfi 31790	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
86	7	pjfi 31790	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
87	2, 85, 86	pjsdii 32241	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘𝐺) +_op (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))
88	84, 87	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ)) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))
89	82, 88	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ (proj_ℎ‘𝐻) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))
90	89	coeq2i 5809	. . 3 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻)) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))))
91	80, 85	hocofi 31852	. . . 4 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
92	80, 86	hocofi 31852	. . . 4 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))): ℋ⟶ ℋ
93	1, 91, 92	pjsdii 32241	. . 3 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))) = (((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) +_op ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))))
94	90, 93	eqtr2i 2761	. 2 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) +_op ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻))
95	77, 94, 27	3eqtr3g 2795	1 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ∩ cin 3889 ⊆ wss 3890 class class class wbr 5086 ∘ ccom 5628 ‘cfv 6492 (class class class)co 7360 ℋchba 31005 C_ℋ cch 31015 ⊥cort 31016 ∨_ℋ chj 31019 𝐶_ℋ ccm 31022 proj_ℎcpjh 31023 +_op chos 31024 0_hop ch0o 31029 I_op chio 31030

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-inf2 9553 ax-cc 10348 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107 ax-addf 11108 ax-mulf 11109 ax-hilex 31085 ax-hfvadd 31086 ax-hvcom 31087 ax-hvass 31088 ax-hv0cl 31089 ax-hvaddid 31090 ax-hfvmul 31091 ax-hvmulid 31092 ax-hvmulass 31093 ax-hvdistr1 31094 ax-hvdistr2 31095 ax-hvmul0 31096 ax-hfi 31165 ax-his1 31168 ax-his2 31169 ax-his3 31170 ax-his4 31171 ax-hcompl 31288

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-iin 4937 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-of 7624 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-supp 8104 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-1o 8398 df-2o 8399 df-oadd 8402 df-omul 8403 df-er 8636 df-map 8768 df-pm 8769 df-ixp 8839 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fsupp 9268 df-fi 9317 df-sup 9348 df-inf 9349 df-oi 9418 df-card 9854 df-acn 9857 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-5 12238 df-6 12239 df-7 12240 df-8 12241 df-9 12242 df-n0 12429 df-z 12516 df-dec 12636 df-uz 12780 df-q 12890 df-rp 12934 df-xneg 13054 df-xadd 13055 df-xmul 13056 df-ioo 13293 df-ico 13295 df-icc 13296 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-fl 13742 df-seq 13955 df-exp 14015 df-hash 14284 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-clim 15441 df-rlim 15442 df-sum 15640 df-struct 17108 df-sets 17125 df-slot 17143 df-ndx 17155 df-base 17171 df-ress 17192 df-plusg 17224 df-mulr 17225 df-starv 17226 df-sca 17227 df-vsca 17228 df-ip 17229 df-tset 17230 df-ple 17231 df-ds 17233 df-unif 17234 df-hom 17235 df-cco 17236 df-rest 17376 df-topn 17377 df-0g 17395 df-gsum 17396 df-topgen 17397 df-pt 17398 df-prds 17401 df-xrs 17457 df-qtop 17462 df-imas 17463 df-xps 17465 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-submnd 18743 df-mulg 19035 df-cntz 19283 df-cmn 19748 df-psmet 21336 df-xmet 21337 df-met 21338 df-bl 21339 df-mopn 21340 df-fbas 21341 df-fg 21342 df-cnfld 21345 df-top 22869 df-topon 22886 df-topsp 22908 df-bases 22921 df-cld 22994 df-ntr 22995 df-cls 22996 df-nei 23073 df-cn 23202 df-cnp 23203 df-lm 23204 df-haus 23290 df-tx 23537 df-hmeo 23730 df-fil 23821 df-fm 23913 df-flim 23914 df-flf 23915 df-xms 24295 df-ms 24296 df-tms 24297 df-cfil 25232 df-cau 25233 df-cmet 25234 df-grpo 30579 df-gid 30580 df-ginv 30581 df-gdiv 30582 df-ablo 30631 df-vc 30645 df-nv 30678 df-va 30681 df-ba 30682 df-sm 30683 df-0v 30684 df-vs 30685 df-nmcv 30686 df-ims 30687 df-dip 30787 df-ssp 30808 df-ph 30899 df-cbn 30949 df-hnorm 31054 df-hba 31055 df-hvsub 31057 df-hlim 31058 df-hcau 31059 df-sh 31293 df-ch 31307 df-oc 31338 df-ch0 31339 df-shs 31394 df-chj 31396 df-pjh 31481 df-cm 31669 df-hosum 31816 df-h0op 31834 df-iop 31835

This theorem is referenced by: pjclem2 32282

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