pjclem1 - Hilbert Space Explorer

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Theorem pjclem1 32528

Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ C_ℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ C_ℋ

**Assertion**
Ref	Expression
pjclem1	⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

**Proof of Theorem pjclem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ C_ℋ
2		pjclem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ C_ℋ
3	1, 2	cmbri 31923	. . . . 5 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
4		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
5	3, 4	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → (proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
6		inss2 4191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
7	1	choccli 31640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ C_ℋ
8	2, 7	chub2i 31803	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨_ℋ 𝐻)
9	1, 2	chdmm3i 31812	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨_ℋ 𝐻)
10	8, 9	sseqtrri 3987	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
11	6, 10	sstri 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
12	1, 2	chincli 31793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ C_ℋ
13	2	choccli 31640	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ C_ℋ
14	1, 13	chincli 31793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C_ℋ
15	12, 14	pjscji 32503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
16	11, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
17	16	eqeq2i 2776	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj_ℎ‘𝐺) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
18		coeq2 5846	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))))
19	12	pjfi 32037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
20	14	pjfi 32037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
21	2, 19, 20	pjsdii 32488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
22	12, 2	pjss1coi 32496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
23	6, 22	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
24	2, 14	pjorthcoi 32502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop )
25	10, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop
26	23, 25	oveq12i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op 0_hop )
27	19	hoaddridi 32119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op 0_hop ) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
28	21, 26, 27	3eqtri 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
29	28	eqeq2i 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
30		coeq2 5846	. . . . . . . 8 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))))
31		inss1 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺
32	12, 1	pjss1coi 32496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺 ↔ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
33	31, 32	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
34	30, 33	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
35	29, 34	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
36	18, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
37	17, 36	sylbi 220	. . . 4 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
38	5, 37	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
39	1, 2	cmcm3i 31927	. . . . 5 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) 𝐶_ℋ 𝐻)
40	7, 2	cmbri 31923	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
41	39, 40	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
42		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
43		inss2 4191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
44	2, 1	chub2i 31803	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ (𝐺 ∨_ℋ 𝐻)
45	1, 2	chdmm4i 31813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) = (𝐺 ∨_ℋ 𝐻)
46	44, 45	sseqtrri 3987	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
47	43, 46	sstri 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
48	7, 2	chincli 31793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C_ℋ
49	7, 13	chincli 31793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C_ℋ
50	48, 49	pjscji 32503	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
51	47, 50	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
52	51	eqeq2i 2776	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
53		coeq2 5846	. . . . . . 7 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))))
54	48	pjfi 32037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
55	49	pjfi 32037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
56	2, 54, 55	pjsdii 32488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
57	48, 2	pjss1coi 32496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
58	43, 57	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
59	2, 49	pjorthcoi 32502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop )
60	46, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop
61	58, 60	oveq12i 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op 0_hop )
62	54	hoaddridi 32119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op 0_hop ) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
63	56, 61, 62	3eqtri 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
64	63	eqeq2i 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
65		coeq2 5846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))))
66	1, 13	chub1i 31802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∨_ℋ (⊥‘𝐻))
67	1, 2	chdmm2i 31811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) = (𝐺 ∨_ℋ (⊥‘𝐻))
68	66, 67	sseqtrri 3987	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
69	1, 48	pjorthcoi 32502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0_hop )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0_hop
71	65, 70	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
72	64, 71	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
73	53, 72	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
74	52, 73	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
75	42, 74	syl 18	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
76	41, 75	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
77	38, 76	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → (((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) +_op ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op 0_hop ))
78		df-iop 32082	. . . . . . 7 ⊢ I_op = (proj_ℎ‘ ℋ)
79	78	coeq2i 5848	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ I_op ) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ))
80	2	pjfi 32037	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
81	80	hoid1i 32122	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ I_op ) = (proj_ℎ‘𝐻)
82	79, 81	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ)) = (proj_ℎ‘𝐻)
83	1	pjtoi 32512	. . . . . . 7 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) +_op (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘ ℋ)
84	83	coeq2i 5848	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘𝐺) +_op (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ))
85	1	pjfi 32037	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
86	7	pjfi 32037	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
87	2, 85, 86	pjsdii 32488	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘𝐺) +_op (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))
88	84, 87	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ)) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))
89	82, 88	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ (proj_ℎ‘𝐻) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))
90	89	coeq2i 5848	. . 3 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻)) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))))
91	80, 85	hocofi 32099	. . . 4 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
92	80, 86	hocofi 32099	. . . 4 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))): ℋ⟶ ℋ
93	1, 91, 92	pjsdii 32488	. . 3 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))) = (((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) +_op ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))))
94	90, 93	eqtr2i 2787	. 2 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) +_op ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻))
95	77, 94, 27	3eqtr3g 2821	1 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ∩ cin 3905 ⊆ wss 3906 class class class wbr 5110 ∘ ccom 5667 ‘cfv 6538 (class class class)co 7412 ℋchba 31252 C_ℋ cch 31262 ⊥cort 31263 ∨_ℋ chj 31266 𝐶_ℋ ccm 31269 proj_ℎcpjh 31270 +_op chos 31271 0_hop ch0o 31276 I_op chio 31277

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5239 ax-sep 5258 ax-nul 5270 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7734 ax-inf2 9611 ax-cc 10420 ax-cnex 11157 ax-resscn 11158 ax-1cn 11159 ax-icn 11160 ax-addcl 11161 ax-addrcl 11162 ax-mulcl 11163 ax-mulrcl 11164 ax-mulcom 11165 ax-addass 11166 ax-mulass 11167 ax-distr 11168 ax-i2m1 11169 ax-1ne0 11170 ax-1rid 11171 ax-rnegex 11172 ax-rrecex 11173 ax-cnre 11174 ax-pre-lttri 11175 ax-pre-lttrn 11176 ax-pre-ltadd 11177 ax-pre-mulgt0 11178 ax-pre-sup 11179 ax-addf 11180 ax-mulf 11181 ax-hilex 31332 ax-hfvadd 31333 ax-hvcom 31334 ax-hvass 31335 ax-hv0cl 31336 ax-hvaddid 31337 ax-hfvmul 31338 ax-hvmulid 31339 ax-hvmulass 31340 ax-hvdistr1 31341 ax-hvdistr2 31342 ax-hvmul0 31343 ax-hfi 31412 ax-his1 31415 ax-his2 31416 ax-his3 31417 ax-his4 31418 ax-hcompl 31535

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4591 df-pr 4593 df-tp 4595 df-op 4597 df-uni 4874 df-int 4914 df-iun 4959 df-iin 4960 df-br 5111 df-opab 5175 df-mpt 5194 df-tr 5220 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-isom 6547 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-of 7676 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8158 df-frecs 8279 df-wrecs 8310 df-recs 8359 df-rdg 8398 df-1o 8454 df-2o 8455 df-oadd 8458 df-omul 8459 df-er 8695 df-map 8827 df-pm 8828 df-ixp 8897 df-en 8945 df-dom 8946 df-sdom 8947 df-fin 8948 df-fsupp 9323 df-fi 9372 df-sup 9403 df-inf 9404 df-oi 9473 df-card 9926 df-acn 9929 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11873 df-nn 12235 df-2 12304 df-3 12305 df-4 12306 df-5 12307 df-6 12308 df-7 12309 df-8 12310 df-9 12311 df-n0 12506 df-z 12593 df-dec 12713 df-uz 12864 df-q 12974 df-rp 13018 df-xneg 13138 df-xadd 13139 df-xmul 13140 df-ioo 13377 df-ico 13379 df-icc 13380 df-fz 13537 df-fzo 13685 df-fl 13827 df-seq 14040 df-exp 14100 df-hash 14369 df-cj 15152 df-re 15153 df-im 15154 df-sqrt 15288 df-abs 15289 df-clim 15541 df-rlim 15542 df-sum 15740 df-struct 17208 df-sets 17225 df-slot 17243 df-ndx 17255 df-base 17271 df-ress 17292 df-plusg 17324 df-mulr 17325 df-starv 17326 df-sca 17327 df-vsca 17328 df-ip 17329 df-tset 17330 df-ple 17331 df-ds 17333 df-unif 17334 df-hom 17335 df-cco 17336 df-rest 17476 df-topn 17477 df-0g 17495 df-gsum 17496 df-topgen 17497 df-pt 17498 df-prds 17501 df-xrs 17557 df-qtop 17562 df-imas 17563 df-xps 17565 df-mre 17639 df-mrc 17640 df-acs 17642 df-mgm 18699 df-sgrp 18778 df-mnd 18794 df-submnd 18843 df-mulg 19135 df-cntz 19388 df-cmn 19853 df-psmet 21495 df-xmet 21496 df-met 21497 df-bl 21498 df-mopn 21499 df-fbas 21500 df-fg 21501 df-cnfld 21504 df-top 23032 df-topon 23049 df-topsp 23071 df-bases 23084 df-cld 23157 df-ntr 23158 df-cls 23159 df-nei 23236 df-cn 23365 df-cnp 23366 df-lm 23367 df-haus 23453 df-tx 23700 df-hmeo 23893 df-fil 23984 df-fm 24076 df-flim 24077 df-flf 24078 df-xms 24458 df-ms 24459 df-tms 24460 df-cfil 25395 df-cau 25396 df-cmet 25397 df-grpo 30826 df-gid 30827 df-ginv 30828 df-gdiv 30829 df-ablo 30878 df-vc 30892 df-nv 30925 df-va 30928 df-ba 30929 df-sm 30930 df-0v 30931 df-vs 30932 df-nmcv 30933 df-ims 30934 df-dip 31034 df-ssp 31055 df-ph 31146 df-cbn 31196 df-hnorm 31301 df-hba 31302 df-hvsub 31304 df-hlim 31305 df-hcau 31306 df-sh 31540 df-ch 31554 df-oc 31585 df-ch0 31586 df-shs 31641 df-chj 31643 df-pjh 31728 df-cm 31916 df-hosum 32063 df-h0op 32081 df-iop 32082

This theorem is referenced by: pjclem2 32529

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