pjclem1 - Hilbert Space Explorer

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Theorem pjclem1 32790

Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ C_ℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ C_ℋ

**Assertion**
Ref	Expression
pjclem1	⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

**Proof of Theorem pjclem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ C_ℋ
2		pjclem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ C_ℋ
3	1, 2	cmbri 32185	. . . . 5 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
4		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
5	3, 4	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → (proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
6		inss2 4183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
7	1	choccli 31902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ C_ℋ
8	2, 7	chub2i 32065	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨_ℋ 𝐻)
9	1, 2	chdmm3i 32074	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨_ℋ 𝐻)
10	8, 9	sseqtrri 3980	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
11	6, 10	sstri 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
12	1, 2	chincli 32055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ C_ℋ
13	2	choccli 31902	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ C_ℋ
14	1, 13	chincli 32055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C_ℋ
15	12, 14	pjscji 32765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
16	11, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
17	16	eqeq2i 2774	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj_ℎ‘𝐺) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
18		coeq2 5836	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))))
19	12	pjfi 32299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
20	14	pjfi 32299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
21	2, 19, 20	pjsdii 32750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
22	12, 2	pjss1coi 32758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
23	6, 22	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
24	2, 14	pjorthcoi 32764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop )
25	10, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop
26	23, 25	oveq12i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op 0_hop )
27	19	hoaddridi 32381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op 0_hop ) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
28	21, 26, 27	3eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
29	28	eqeq2i 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
30		coeq2 5836	. . . . . . . 8 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))))
31		inss1 4182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺
32	12, 1	pjss1coi 32758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺 ↔ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
33	31, 32	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
34	30, 33	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
35	29, 34	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
36	18, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
37	17, 36	sylbi 220	. . . 4 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) = (proj_ℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨_ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
38	5, 37	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
39	1, 2	cmcm3i 32189	. . . . 5 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) 𝐶_ℋ 𝐻)
40	7, 2	cmbri 32185	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
41	39, 40	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
42		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
43		inss2 4183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
44	2, 1	chub2i 32065	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ (𝐺 ∨_ℋ 𝐻)
45	1, 2	chdmm4i 32075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) = (𝐺 ∨_ℋ 𝐻)
46	44, 45	sseqtrri 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
47	43, 46	sstri 3940	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
48	7, 2	chincli 32055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C_ℋ
49	7, 13	chincli 32055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C_ℋ
50	48, 49	pjscji 32765	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
51	47, 50	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
52	51	eqeq2i 2774	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
53		coeq2 5836	. . . . . . 7 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))))
54	48	pjfi 32299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
55	49	pjfi 32299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
56	2, 54, 55	pjsdii 32750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
57	48, 2	pjss1coi 32758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
58	43, 57	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
59	2, 49	pjorthcoi 32764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop )
60	46, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0_hop
61	58, 60	oveq12i 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op 0_hop )
62	54	hoaddridi 32381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op 0_hop ) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
63	56, 61, 62	3eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
64	63	eqeq2i 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
65		coeq2 5836	. . . . . . . . 9 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))))
66	1, 13	chub1i 32064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∨_ℋ (⊥‘𝐻))
67	1, 2	chdmm2i 32073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) = (𝐺 ∨_ℋ (⊥‘𝐻))
68	66, 67	sseqtrri 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
69	1, 48	pjorthcoi 32764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0_hop )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0_hop
71	65, 70	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
72	64, 71	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
73	53, 72	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +_op (proj_ℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
74	52, 73	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)) = (proj_ℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
75	42, 74	syl 18	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨_ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
76	41, 75	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0_hop )
77	38, 76	oveq12d 7436	. 2 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → (((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) +_op ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +_op 0_hop ))
78		df-iop 32344	. . . . . . 7 ⊢ I_op = (proj_ℎ‘ ℋ)
79	78	coeq2i 5838	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ I_op ) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ))
80	2	pjfi 32299	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
81	80	hoid1i 32384	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ I_op ) = (proj_ℎ‘𝐻)
82	79, 81	eqtr3i 2786	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ)) = (proj_ℎ‘𝐻)
83	1	pjtoi 32774	. . . . . . 7 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) +_op (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))) = (proj_ℎ‘ ℋ)
84	83	coeq2i 5838	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘𝐺) +_op (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ))
85	1	pjfi 32299	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
86	7	pjfi 32299	. . . . . . 7 ⊢ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
87	2, 85, 86	pjsdii 32750	. . . . . 6 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ ((proj_ℎ‘𝐺) +_op (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))
88	84, 87	eqtr3i 2786	. . . . 5 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘ ℋ)) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))
89	82, 88	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ (proj_ℎ‘𝐻) = (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))
90	89	coeq2i 5838	. . 3 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻)) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))))
91	80, 85	hocofi 32361	. . . 4 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
92	80, 86	hocofi 32361	. . . 4 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))): ℋ⟶ ℋ
93	1, 91, 92	pjsdii 32750	. . 3 ⊢ ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺)) +_op ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))) = (((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) +_op ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺)))))
94	90, 93	eqtr2i 2785	. 2 ⊢ (((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘𝐺))) +_op ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ ((proj_ℎ‘𝐻) ∘ (proj_ℎ‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻))
95	77, 94, 27	3eqtr3g 2819	1 ⊢ (𝐺 𝐶_ℋ 𝐻 → ((proj_ℎ‘𝐺) ∘ (proj_ℎ‘𝐻)) = (proj_ℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ∩ cin 3898 ⊆ wss 3899 class class class wbr 5103 ∘ ccom 5655 ‘cfv 6537 (class class class)co 7418 ℋchba 31514 C_ℋ cch 31524 ⊥cort 31525 ∨_ℋ chj 31528 𝐶_ℋ ccm 31531 proj_ℎcpjh 31532 +_op chos 31533 0_hop ch0o 31538 I_op chio 31539

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7749 ax-inf2 9635 ax-cc 10506 ax-cnex 11249 ax-resscn 11250 ax-1cn 11251 ax-icn 11252 ax-addcl 11253 ax-addrcl 11254 ax-mulcl 11255 ax-mulrcl 11256 ax-mulcom 11257 ax-addass 11258 ax-mulass 11259 ax-distr 11260 ax-i2m1 11261 ax-1ne0 11262 ax-1rid 11263 ax-rnegex 11264 ax-rrecex 11265 ax-cnre 11266 ax-pre-lttri 11267 ax-pre-lttrn 11268 ax-pre-ltadd 11269 ax-pre-mulgt0 11270 ax-pre-sup 11271 ax-addf 11272 ax-mulf 11273 ax-hilex 31594 ax-hfvadd 31595 ax-hvcom 31596 ax-hvass 31597 ax-hv0cl 31598 ax-hvaddid 31599 ax-hfvmul 31600 ax-hvmulid 31601 ax-hvmulass 31602 ax-hvdistr1 31603 ax-hvdistr2 31604 ax-hvmul0 31605 ax-hfi 31674 ax-his1 31677 ax-his2 31678 ax-his3 31679 ax-his4 31680 ax-hcompl 31797

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7375 df-ov 7421 df-oprab 7422 df-mpo 7423 df-of 7691 df-om 7876 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8171 df-frecs 8292 df-wrecs 8323 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8469 df-2o 8470 df-oadd 8473 df-omul 8474 df-er 8710 df-map 8842 df-pm 8843 df-ixp 8919 df-en 8967 df-dom 8968 df-sdom 8969 df-fin 8970 df-fsupp 9347 df-fi 9396 df-sup 9427 df-inf 9428 df-oi 9497 df-card 10013 df-acn 10016 df-pnf 11338 df-mnf 11339 df-xr 11340 df-ltxr 11341 df-le 11342 df-sub 11536 df-neg 11537 df-div 11967 df-nn 12329 df-2 12398 df-3 12399 df-4 12400 df-5 12401 df-6 12402 df-7 12403 df-8 12404 df-9 12405 df-n0 12600 df-z 12687 df-dec 12808 df-uz 12959 df-q 13069 df-rp 13114 df-xneg 13234 df-xadd 13235 df-xmul 13236 df-ioo 13473 df-ico 13475 df-icc 13476 df-fz 13633 df-fzo 13782 df-fl 13925 df-seq 14138 df-exp 14198 df-hash 14468 df-cj 15259 df-re 15260 df-im 15261 df-sqrt 15395 df-abs 15396 df-clim 15648 df-rlim 15649 df-sum 15847 df-struct 17318 df-sets 17335 df-slot 17353 df-ndx 17365 df-base 17381 df-ress 17402 df-plusg 17434 df-mulr 17435 df-starv 17436 df-sca 17437 df-vsca 17438 df-ip 17439 df-tset 17440 df-ple 17441 df-ds 17443 df-unif 17444 df-hom 17445 df-cco 17446 df-rest 17586 df-topn 17587 df-0g 17605 df-gsum 17606 df-topgen 17607 df-pt 17608 df-prds 17611 df-xrs 17667 df-qtop 17672 df-imas 17673 df-xps 17675 df-mre 17749 df-mrc 17750 df-acs 17752 df-mgm 18809 df-sgrp 18901 df-mnd 18917 df-submnd 18972 df-mulg 19271 df-cntz 19524 df-cmn 19989 df-psmet 21663 df-xmet 21664 df-met 21665 df-bl 21666 df-mopn 21667 df-fbas 21668 df-fg 21669 df-cnfld 21672 df-top 23205 df-topon 23222 df-topsp 23244 df-bases 23257 df-cld 23330 df-ntr 23331 df-cls 23332 df-nei 23409 df-cn 23538 df-cnp 23539 df-lm 23540 df-haus 23626 df-tx 23874 df-hmeo 24067 df-fil 24158 df-fm 24250 df-flim 24251 df-flf 24252 df-xms 24632 df-ms 24633 df-tms 24634 df-cfil 25569 df-cau 25570 df-cmet 25571 df-grpo 31088 df-gid 31089 df-ginv 31090 df-gdiv 31091 df-ablo 31140 df-vc 31154 df-nv 31187 df-va 31190 df-ba 31191 df-sm 31192 df-0v 31193 df-vs 31194 df-nmcv 31195 df-ims 31196 df-dip 31296 df-ssp 31317 df-ph 31408 df-cbn 31458 df-hnorm 31563 df-hba 31564 df-hvsub 31566 df-hlim 31567 df-hcau 31568 df-sh 31802 df-ch 31816 df-oc 31847 df-ch0 31848 df-shs 31903 df-chj 31905 df-pjh 31990 df-cm 32178 df-hosum 32325 df-h0op 32343 df-iop 32344

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