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Theorem pjclem1 29579
Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1 𝐺C
pjclem1.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjclem1 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))

Proof of Theorem pjclem1
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . . . 6 𝐺C
2 pjclem1.2 . . . . . 6 𝐻C
31, 2cmbri 28974 . . . . 5 (𝐺 𝐶 𝐻𝐺 = ((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
4 fveq2 6411 . . . . 5 (𝐺 = ((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
53, 4sylbi 209 . . . 4 (𝐺 𝐶 𝐻 → (proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
6 inss2 4029 . . . . . . . 8 (𝐺𝐻) ⊆ 𝐻
71choccli 28691 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐺) ∈ C
82, 7chub2i 28854 . . . . . . . . 9 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ 𝐻)
91, 2chdmm3i 28863 . . . . . . . . 9 (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨ 𝐻)
108, 9sseqtr4i 3834 . . . . . . . 8 𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
116, 10sstri 3807 . . . . . . 7 (𝐺𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
121, 2chincli 28844 . . . . . . . 8 (𝐺𝐻) ∈ C
132choccli 28691 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝐻) ∈ C
141, 13chincli 28844 . . . . . . . 8 (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C
1512, 14pjscji 29554 . . . . . . 7 ((𝐺𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
1611, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
1716eqeq2i 2811 . . . . 5 ((proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj𝐺) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
18 coeq2 5484 . . . . . 6 ((proj𝐺) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))))
1912pjfi 29088 . . . . . . . . . 10 (proj‘(𝐺𝐻)): ℋ⟶ ℋ
2014pjfi 29088 . . . . . . . . . 10 (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
212, 19, 20pjsdii 29539 . . . . . . . . 9 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
2212, 2pjss1coi 29547 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
236, 22mpbi 222 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻))
242, 14pjorthcoi 29553 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop )
2510, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop
2623, 25oveq12i 6890 . . . . . . . . 9 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op 0hop )
2719hoaddid1i 29170 . . . . . . . . 9 ((proj‘(𝐺𝐻)) +op 0hop ) = (proj‘(𝐺𝐻))
2821, 26, 273eqtri 2825 . . . . . . . 8 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj‘(𝐺𝐻))
2928eqeq2i 2811 . . . . . . 7 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj‘(𝐺𝐻)))
30 coeq2 5484 . . . . . . . 8 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj‘(𝐺𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = ((proj𝐺) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))))
31 inss1 4028 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐻) ⊆ 𝐺
3212, 1pjss1coi 29547 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝐻) ⊆ 𝐺 ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3331, 32mpbi 222 . . . . . . . 8 ((proj𝐺) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻))
3430, 33syl6eq 2849 . . . . . . 7 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj‘(𝐺𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3529, 34sylbi 209 . . . . . 6 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3618, 35syl 17 . . . . 5 ((proj𝐺) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3717, 36sylbi 209 . . . 4 ((proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
385, 37syl 17 . . 3 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
391, 2cmcm3i 28978 . . . . 5 (𝐺 𝐶 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) 𝐶 𝐻)
407, 2cmbri 28974 . . . . 5 ((⊥‘𝐺) 𝐶 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
4139, 40bitri 267 . . . 4 (𝐺 𝐶 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
42 fveq2 6411 . . . . 5 ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj‘(⊥‘𝐺)) = (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
43 inss2 4029 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
442, 1chub2i 28854 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ (𝐺 𝐻)
451, 2chdmm4i 28864 . . . . . . . . . 10 (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) = (𝐺 𝐻)
4644, 45sseqtr4i 3834 . . . . . . . . 9 𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
4743, 46sstri 3807 . . . . . . . 8 ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
487, 2chincli 28844 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C
497, 13chincli 28844 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C
5048, 49pjscji 29554 . . . . . . . 8 (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . 7 (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
5251eqeq2i 2811 . . . . . 6 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj‘(⊥‘𝐺)) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
53 coeq2 5484 . . . . . . 7 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))))
5448pjfi 29088 . . . . . . . . . . 11 (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
5549pjfi 29088 . . . . . . . . . . 11 (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
562, 54, 55pjsdii 29539 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
5748, 2pjss1coi 29547 . . . . . . . . . . . 12 (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
5843, 57mpbi 222 . . . . . . . . . . 11 ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
592, 49pjorthcoi 29553 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop )
6046, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop
6158, 60oveq12i 6890 . . . . . . . . . 10 (((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op 0hop )
6254hoaddid1i 29170 . . . . . . . . . 10 ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op 0hop ) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
6356, 61, 623eqtri 2825 . . . . . . . . 9 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
6463eqeq2i 2811 . . . . . . . 8 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
65 coeq2 5484 . . . . . . . . 9 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj𝐺) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))))
661, 13chub1i 28853 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ⊆ (𝐺 (⊥‘𝐻))
671, 2chdmm2i 28862 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) = (𝐺 (⊥‘𝐻))
6866, 67sseqtr4i 3834 . . . . . . . . . 10 𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
691, 48pjorthcoi 29553 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0hop )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((proj𝐺) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0hop
7165, 70syl6eq 2849 . . . . . . . 8 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7264, 71sylbi 209 . . . . . . 7 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7353, 72syl 17 . . . . . 6 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7452, 73sylbi 209 . . . . 5 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7542, 74syl 17 . . . 4 ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7641, 75sylbi 209 . . 3 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7738, 76oveq12d 6896 . 2 (𝐺 𝐶 𝐻 → (((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) +op ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op 0hop ))
78 df-iop 29133 . . . . . . 7 Iop = (proj‘ ℋ)
7978coeq2i 5486 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ Iop ) = ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ))
802pjfi 29088 . . . . . . 7 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
8180hoid1i 29173 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ Iop ) = (proj𝐻)
8279, 81eqtr3i 2823 . . . . 5 ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ)) = (proj𝐻)
831pjtoi 29563 . . . . . . 7 ((proj𝐺) +op (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘ ℋ)
8483coeq2i 5486 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ ((proj𝐺) +op (proj‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ))
851pjfi 29088 . . . . . . 7 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
867pjfi 29088 . . . . . . 7 (proj‘(⊥‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
872, 85, 86pjsdii 29539 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ ((proj𝐺) +op (proj‘(⊥‘𝐺)))) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))
8884, 87eqtr3i 2823 . . . . 5 ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))
8982, 88eqtr3i 2823 . . . 4 (proj𝐻) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))
9089coeq2i 5486 . . 3 ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐺) ∘ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))))
9180, 85hocofi 29150 . . . 4 ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
9280, 86hocofi 29150 . . . 4 ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))): ℋ⟶ ℋ
931, 91, 92pjsdii 29539 . . 3 ((proj𝐺) ∘ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))) = (((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) +op ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))))
9490, 93eqtr2i 2822 . 2 (((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) +op ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))
9577, 94, 273eqtr3g 2856 1 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  cin 3768  wss 3769   class class class wbr 4843  ccom 5316  cfv 6101  (class class class)co 6878  chba 28301   C cch 28311  cort 28312   chj 28315   𝐶 ccm 28318  projcpjh 28319   +op chos 28320   0hop ch0o 28325   Iop chio 28326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304  ax-hilex 28381  ax-hfvadd 28382  ax-hvcom 28383  ax-hvass 28384  ax-hv0cl 28385  ax-hvaddid 28386  ax-hfvmul 28387  ax-hvmulid 28388  ax-hvmulass 28389  ax-hvdistr1 28390  ax-hvdistr2 28391  ax-hvmul0 28392  ax-hfi 28461  ax-his1 28464  ax-his2 28465  ax-his3 28466  ax-his4 28467  ax-hcompl 28584
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-lm 21362  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cfil 23381  df-cau 23382  df-cmet 23383  df-grpo 27873  df-gid 27874  df-ginv 27875  df-gdiv 27876  df-ablo 27925  df-vc 27939  df-nv 27972  df-va 27975  df-ba 27976  df-sm 27977  df-0v 27978  df-vs 27979  df-nmcv 27980  df-ims 27981  df-dip 28081  df-ssp 28102  df-ph 28193  df-cbn 28244  df-hnorm 28350  df-hba 28351  df-hvsub 28353  df-hlim 28354  df-hcau 28355  df-sh 28589  df-ch 28603  df-oc 28634  df-ch0 28635  df-shs 28692  df-chj 28694  df-pjh 28779  df-cm 28967  df-hosum 29114  df-h0op 29132  df-iop 29133
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