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Theorem pjclem1 32214
Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1 𝐺C
pjclem1.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjclem1 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))

Proof of Theorem pjclem1
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . . . 6 𝐺C
2 pjclem1.2 . . . . . 6 𝐻C
31, 2cmbri 31609 . . . . 5 (𝐺 𝐶 𝐻𝐺 = ((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
4 fveq2 6906 . . . . 5 (𝐺 = ((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
53, 4sylbi 217 . . . 4 (𝐺 𝐶 𝐻 → (proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
6 inss2 4238 . . . . . . . 8 (𝐺𝐻) ⊆ 𝐻
71choccli 31326 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐺) ∈ C
82, 7chub2i 31489 . . . . . . . . 9 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ 𝐻)
91, 2chdmm3i 31498 . . . . . . . . 9 (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨ 𝐻)
108, 9sseqtrri 4033 . . . . . . . 8 𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
116, 10sstri 3993 . . . . . . 7 (𝐺𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
121, 2chincli 31479 . . . . . . . 8 (𝐺𝐻) ∈ C
132choccli 31326 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝐻) ∈ C
141, 13chincli 31479 . . . . . . . 8 (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C
1512, 14pjscji 32189 . . . . . . 7 ((𝐺𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
1611, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
1716eqeq2i 2750 . . . . 5 ((proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj𝐺) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
18 coeq2 5869 . . . . . 6 ((proj𝐺) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))))
1912pjfi 31723 . . . . . . . . . 10 (proj‘(𝐺𝐻)): ℋ⟶ ℋ
2014pjfi 31723 . . . . . . . . . 10 (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
212, 19, 20pjsdii 32174 . . . . . . . . 9 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
2212, 2pjss1coi 32182 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
236, 22mpbi 230 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻))
242, 14pjorthcoi 32188 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop )
2510, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop
2623, 25oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op 0hop )
2719hoaddridi 31805 . . . . . . . . 9 ((proj‘(𝐺𝐻)) +op 0hop ) = (proj‘(𝐺𝐻))
2821, 26, 273eqtri 2769 . . . . . . . 8 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj‘(𝐺𝐻))
2928eqeq2i 2750 . . . . . . 7 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj‘(𝐺𝐻)))
30 coeq2 5869 . . . . . . . 8 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj‘(𝐺𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = ((proj𝐺) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))))
31 inss1 4237 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐻) ⊆ 𝐺
3212, 1pjss1coi 32182 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝐻) ⊆ 𝐺 ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3331, 32mpbi 230 . . . . . . . 8 ((proj𝐺) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻))
3430, 33eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj‘(𝐺𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3529, 34sylbi 217 . . . . . 6 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3618, 35syl 17 . . . . 5 ((proj𝐺) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3717, 36sylbi 217 . . . 4 ((proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
385, 37syl 17 . . 3 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
391, 2cmcm3i 31613 . . . . 5 (𝐺 𝐶 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) 𝐶 𝐻)
407, 2cmbri 31609 . . . . 5 ((⊥‘𝐺) 𝐶 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
4139, 40bitri 275 . . . 4 (𝐺 𝐶 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
42 fveq2 6906 . . . . 5 ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj‘(⊥‘𝐺)) = (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
43 inss2 4238 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
442, 1chub2i 31489 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ (𝐺 𝐻)
451, 2chdmm4i 31499 . . . . . . . . . 10 (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) = (𝐺 𝐻)
4644, 45sseqtrri 4033 . . . . . . . . 9 𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
4743, 46sstri 3993 . . . . . . . 8 ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
487, 2chincli 31479 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C
497, 13chincli 31479 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C
5048, 49pjscji 32189 . . . . . . . 8 (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . 7 (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
5251eqeq2i 2750 . . . . . 6 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj‘(⊥‘𝐺)) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
53 coeq2 5869 . . . . . . 7 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))))
5448pjfi 31723 . . . . . . . . . . 11 (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
5549pjfi 31723 . . . . . . . . . . 11 (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
562, 54, 55pjsdii 32174 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
5748, 2pjss1coi 32182 . . . . . . . . . . . 12 (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
5843, 57mpbi 230 . . . . . . . . . . 11 ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
592, 49pjorthcoi 32188 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop )
6046, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop
6158, 60oveq12i 7443 . . . . . . . . . 10 (((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op 0hop )
6254hoaddridi 31805 . . . . . . . . . 10 ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op 0hop ) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
6356, 61, 623eqtri 2769 . . . . . . . . 9 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
6463eqeq2i 2750 . . . . . . . 8 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
65 coeq2 5869 . . . . . . . . 9 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj𝐺) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))))
661, 13chub1i 31488 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ⊆ (𝐺 (⊥‘𝐻))
671, 2chdmm2i 31497 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) = (𝐺 (⊥‘𝐻))
6866, 67sseqtrri 4033 . . . . . . . . . 10 𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
691, 48pjorthcoi 32188 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0hop )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((proj𝐺) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0hop
7165, 70eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7264, 71sylbi 217 . . . . . . 7 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7353, 72syl 17 . . . . . 6 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7452, 73sylbi 217 . . . . 5 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7542, 74syl 17 . . . 4 ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7641, 75sylbi 217 . . 3 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7738, 76oveq12d 7449 . 2 (𝐺 𝐶 𝐻 → (((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) +op ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op 0hop ))
78 df-iop 31768 . . . . . . 7 Iop = (proj‘ ℋ)
7978coeq2i 5871 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ Iop ) = ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ))
802pjfi 31723 . . . . . . 7 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
8180hoid1i 31808 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ Iop ) = (proj𝐻)
8279, 81eqtr3i 2767 . . . . 5 ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ)) = (proj𝐻)
831pjtoi 32198 . . . . . . 7 ((proj𝐺) +op (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘ ℋ)
8483coeq2i 5871 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ ((proj𝐺) +op (proj‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ))
851pjfi 31723 . . . . . . 7 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
867pjfi 31723 . . . . . . 7 (proj‘(⊥‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
872, 85, 86pjsdii 32174 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ ((proj𝐺) +op (proj‘(⊥‘𝐺)))) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))
8884, 87eqtr3i 2767 . . . . 5 ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))
8982, 88eqtr3i 2767 . . . 4 (proj𝐻) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))
9089coeq2i 5871 . . 3 ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐺) ∘ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))))
9180, 85hocofi 31785 . . . 4 ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
9280, 86hocofi 31785 . . . 4 ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))): ℋ⟶ ℋ
931, 91, 92pjsdii 32174 . . 3 ((proj𝐺) ∘ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))) = (((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) +op ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))))
9490, 93eqtr2i 2766 . 2 (((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) +op ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))
9577, 94, 273eqtr3g 2800 1 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  chba 30938   C cch 30948  cort 30949   chj 30952   𝐶 ccm 30955  projcpjh 30956   +op chos 30957   0hop ch0o 30962   Iop chio 30963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-chj 31329  df-pjh 31414  df-cm 31602  df-hosum 31749  df-h0op 31767  df-iop 31768
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