Theorem pjclem1 29966

Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjclem1	⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

Proof of Theorem pjclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjclem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	cmbri 29361	. . . . 5 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
4		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
5	3, 4	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
6		inss2 4205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
7	1	choccli 29078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
8	2, 7	chub2i 29241	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
9	1, 2	chdmm3i 29250	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
10	8, 9	sseqtrri 4003	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
11	6, 10	sstri 3975	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
12	1, 2	chincli 29231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
13	2	choccli 29078	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
14	1, 13	chincli 29231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ Cℋ
15	12, 14	pjscji 29941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
16	11, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
17	16	eqeq2i 2834	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (projℎ‘𝐺) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
18		coeq2 5723	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))))
19	12	pjfi 29475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
20	14	pjfi 29475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
21	2, 19, 20	pjsdii 29926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
22	12, 2	pjss1coi 29934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
23	6, 22	mpbi 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
24	2, 14	pjorthcoi 29940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop )
25	10, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop
26	23, 25	oveq12i 7162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op 0hop )
27	19	hoaddid1i 29557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op 0hop ) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
28	21, 26, 27	3eqtri 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
29	28	eqeq2i 2834	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
30		coeq2 5723	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))))
31		inss1 4204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺
32	12, 1	pjss1coi 29934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
33	31, 32	mpbi 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
34	30, 33	syl6eq 2872	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
35	29, 34	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
36	18, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
37	17, 36	sylbi 219	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
38	5, 37	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
39	1, 2	cmcm3i 29365	. . . . 5 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) 𝐶ℋ 𝐻)
40	7, 2	cmbri 29361	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) 𝐶ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
41	39, 40	bitri 277	. . . 4 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
42		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘(⊥‘𝐺)) = (projℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
43		inss2 4205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
44	2, 1	chub2i 29241	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)
45	1, 2	chdmm4i 29251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) = (𝐺 ∨ℋ 𝐻)
46	44, 45	sseqtrri 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
47	43, 46	sstri 3975	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
48	7, 2	chincli 29231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
49	7, 13	chincli 29231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ Cℋ
50	48, 49	pjscji 29941	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
51	47, 50	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
52	51	eqeq2i 2834	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺)) = (projℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (projℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
53		coeq2 5723	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))))
54	48	pjfi 29475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
55	49	pjfi 29475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
56	2, 54, 55	pjsdii 29926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
57	48, 2	pjss1coi 29934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
58	43, 57	mpbi 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
59	2, 49	pjorthcoi 29940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop )
60	46, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop
61	58, 60	oveq12i 7162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op 0hop )
62	54	hoaddid1i 29557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op 0hop ) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
63	56, 61, 62	3eqtri 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
64	63	eqeq2i 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
65		coeq2 5723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))))
66	1, 13	chub1i 29240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∨ℋ (⊥‘𝐻))
67	1, 2	chdmm2i 29249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) = (𝐺 ∨ℋ (⊥‘𝐻))
68	66, 67	sseqtrri 4003	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
69	1, 48	pjorthcoi 29940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0hop )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0hop
71	65, 70	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
72	64, 71	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
73	53, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
74	52, 73	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺)) = (projℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
75	42, 74	syl 17	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
76	41, 75	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
77	38, 76	oveq12d 7168	. 2 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → (((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op 0hop ))
78		df-iop 29520	. . . . . . 7 ⊢ Iop = (projℎ‘ ℋ)
79	78	coeq2i 5725	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ Iop ) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘ ℋ))
80	2	pjfi 29475	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
81	80	hoid1i 29560	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ Iop ) = (projℎ‘𝐻)
82	79, 81	eqtr3i 2846	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (projℎ‘𝐻)
83	1	pjtoi 29950	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = (projℎ‘ ℋ)
84	83	coeq2i 5725	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘ ℋ))
85	1	pjfi 29475	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
86	7	pjfi 29475	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘(⊥‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
87	2, 85, 86	pjsdii 29926	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))
88	84, 87	eqtr3i 2846	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))
89	82, 88	eqtr3i 2846	. . . 4 ⊢ (projℎ‘𝐻) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))
90	89	coeq2i 5725	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))))
91	80, 85	hocofi 29537	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
92	80, 86	hocofi 29537	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))): ℋ⟶ ℋ
93	1, 91, 92	pjsdii 29926	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))) = (((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))))
94	90, 93	eqtr2i 2845	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))
95	77, 94, 27	3eqtr3g 2879	1 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058   ∘ ccom 5553  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ℋchba 28690   C_ℋ cch 28700  ⊥cort 28701   ∨_ℋ chj 28704   𝐶_ℋ ccm 28707  proj_ℎcpjh 28708   +_op chos 28709   0_hop ch0o 28714   I_op chio 28715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611  ax-hilex 28770  ax-hfvadd 28771  ax-hvcom 28772  ax-hvass 28773  ax-hv0cl 28774  ax-hvaddid 28775  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulid 28777  ax-hvmulass 28778  ax-hvdistr1 28779  ax-hvdistr2 28780  ax-hvmul0 28781  ax-hfi 28850  ax-his1 28853  ax-his2 28854  ax-his3 28855  ax-his4 28856  ax-hcompl 28973

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-lm 21831  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cfil 23852  df-cau 23853  df-cmet 23854  df-grpo 28264  df-gid 28265  df-ginv 28266  df-gdiv 28267  df-ablo 28316  df-vc 28330  df-nv 28363  df-va 28366  df-ba 28367  df-sm 28368  df-0v 28369  df-vs 28370  df-nmcv 28371  df-ims 28372  df-dip 28472  df-ssp 28493  df-ph 28584  df-cbn 28634  df-hnorm 28739  df-hba 28740  df-hvsub 28742  df-hlim 28743  df-hcau 28744  df-sh 28978  df-ch 28992  df-oc 29023  df-ch0 29024  df-shs 29079  df-chj 29081  df-pjh 29166  df-cm 29354  df-hosum 29501  df-h0op 29519  df-iop 29520

This theorem is referenced by:  pjclem2  29967