Theorem pjorthcoi 30527

Description: Composition of projections of orthogonal subspaces. Part (i)->(iia) of Theorem 27.4 of [Halmos] p. 45. (Contributed by NM, 6-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjorthcoi	⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = 0hop )

Proof of Theorem pjorthcoi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjcli 29775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐻)
3		pjco.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
4	3, 1	chsscon2i 29821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ↔ 𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺))
5		ssel 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ (⊥‘𝐺)))
6	4, 5	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ (⊥‘𝐺)))
7	2, 6	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ (⊥‘𝐺)))
8	1	pjhcli 29776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
9		pjoc2 29797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0ℎ))
10	3, 8, 9	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0ℎ))
11	7, 10	sylibd 238	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0ℎ))
12	11	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0ℎ)
13	3, 1	pjcoi 30516	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
14	13	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
15		ho0val 30108	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
16	15	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
17	12, 14, 16	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
18	17	ralrimiva 3110	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
19	3	pjfi 30062	. . . 4 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
20	1	pjfi 30062	. . . 4 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
21	19, 20	hocofi 30124	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
22		ho0f 30109	. . 3 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
23	21, 22	hoeqi 30119	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = 0hop )
24	18, 23	sylib 217	1 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = 0hop )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066   ⊆ wss 3892   ∘ ccom 5594  ‘cfv 6432   ℋchba 29277  0_ℎc0v 29282   C_ℋ cch 29287  ⊥cort 29288  proj_ℎcpjh 29295   0_hop ch0o 29301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cc 10192  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952  ax-hilex 29357  ax-hfvadd 29358  ax-hvcom 29359  ax-hvass 29360  ax-hv0cl 29361  ax-hvaddid 29362  ax-hfvmul 29363  ax-hvmulid 29364  ax-hvmulass 29365  ax-hvdistr1 29366  ax-hvdistr2 29367  ax-hvmul0 29368  ax-hfi 29437  ax-his1 29440  ax-his2 29441  ax-his3 29442  ax-his4 29443  ax-hcompl 29560

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-omul 8293  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-acn 9701  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-lm 22378  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cfil 24417  df-cau 24418  df-cmet 24419  df-grpo 28851  df-gid 28852  df-ginv 28853  df-gdiv 28854  df-ablo 28903  df-vc 28917  df-nv 28950  df-va 28953  df-ba 28954  df-sm 28955  df-0v 28956  df-vs 28957  df-nmcv 28958  df-ims 28959  df-dip 29059  df-ssp 29080  df-ph 29171  df-cbn 29221  df-hnorm 29326  df-hba 29327  df-hvsub 29329  df-hlim 29330  df-hcau 29331  df-sh 29565  df-ch 29579  df-oc 29610  df-ch0 29611  df-shs 29666  df-pjh 29753  df-h0op 30106

This theorem is referenced by:  pjoccoi  30536  pjclem1  30553