Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjorthcoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjorthcoi 29955
 Description: Composition of projections of orthogonal subspaces. Part (i)->(iia) of Theorem 27.4 of [Halmos] p. 45. (Contributed by NM, 6-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjorthcoi (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = 0hop )

Proof of Theorem pjorthcoi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . . 8 𝐻C
21pjcli 29203 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐻)
3 pjco.1 . . . . . . . . 9 𝐺C
43, 1chsscon2i 29249 . . . . . . . 8 (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ↔ 𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺))
5 ssel 3946 . . . . . . . 8 (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → (((proj𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((proj𝐻)‘𝑥) ∈ (⊥‘𝐺)))
64, 5sylbi 220 . . . . . . 7 (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (((proj𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((proj𝐻)‘𝑥) ∈ (⊥‘𝐺)))
72, 6syl5com 31 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((proj𝐻)‘𝑥) ∈ (⊥‘𝐺)))
81pjhcli 29204 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
9 pjoc2 29225 . . . . . . 7 ((𝐺C ∧ ((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((proj𝐻)‘𝑥) ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0))
103, 8, 9sylancr 590 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻)‘𝑥) ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0))
117, 10sylibd 242 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0))
1211impcom 411 . . . 4 ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0)
133, 1pjcoi 29944 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)))
1413adantl 485 . . . 4 ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝑥)))
15 ho0val 29536 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
1615adantl 485 . . . 4 ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ( 0hop𝑥) = 0)
1712, 14, 163eqtr4d 2869 . . 3 ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ( 0hop𝑥))
1817ralrimiva 3177 . 2 (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ( 0hop𝑥))
193pjfi 29490 . . . 4 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
201pjfi 29490 . . . 4 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
2119, 20hocofi 29552 . . 3 ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
22 ho0f 29537 . . 3 0hop : ℋ⟶ ℋ
2321, 22hoeqi 29547 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ( 0hop𝑥) ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = 0hop )
2418, 23sylib 221 1 (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = 0hop )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ⊆ wss 3919   ∘ ccom 5546  ‘cfv 6343   ℋchba 28705  0ℎc0v 28710   Cℋ cch 28715  ⊥cort 28716  projℎcpjh 28723   0hop ch0o 28729 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvmulass 28793  ax-hvdistr1 28794  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his2 28869  ax-his3 28870  ax-his4 28871  ax-hcompl 28988 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-lm 21837  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387  df-dip 28487  df-ssp 28508  df-ph 28599  df-cbn 28649  df-hnorm 28754  df-hba 28755  df-hvsub 28757  df-hlim 28758  df-hcau 28759  df-sh 28993  df-ch 29007  df-oc 29038  df-ch0 29039  df-shs 29094  df-pjh 29181  df-h0op 29534 This theorem is referenced by:  pjoccoi  29964  pjclem1  29981
 Copyright terms: Public domain W3C validator