Theorem htpycn 25024

Description: A homotopy is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishtpy.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
ishtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
ishtpy.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
htpycn	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))

Proof of Theorem htpycn

Dummy variables 𝑠 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishtpy.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		ishtpy.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		ishtpy.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4	1, 2, 3	ishtpy 25023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ↔ (ℎ ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑋 ((𝑠ℎ0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠ℎ1) = (𝐺‘𝑠)))))
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((ℎ ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑋 ((𝑠ℎ0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠ℎ1) = (𝐺‘𝑠))) → ℎ ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
6	4, 5	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) → ℎ ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾)))
7	6	ssrdv 4014	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253   ×_t ctx 23589  IIcii 24920   Htpy chtpy 25018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886  df-top 22921  df-topon 22938  df-cn 23256  df-htpy 25021

This theorem is referenced by:  htpycom  25027  htpyco1  25029  htpyco2  25030  htpycc  25031  phtpycn  25034