Theorem htpycn 24879

Description: A homotopy is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishtpy.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
ishtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
ishtpy.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
htpycn	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))

Proof of Theorem htpycn

Dummy variables 𝑠 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishtpy.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		ishtpy.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		ishtpy.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4	1, 2, 3	ishtpy 24878	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ↔ (ℎ ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑋 ((𝑠ℎ0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠ℎ1) = (𝐺‘𝑠)))))
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((ℎ ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑋 ((𝑠ℎ0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠ℎ1) = (𝐺‘𝑠))) → ℎ ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
6	4, 5	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) → ℎ ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾)))
7	6	ssrdv 3955	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  TopOnctopon 22804   Cn ccn 23118   ×_t ctx 23454  IIcii 24775   Htpy chtpy 24873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8804  df-top 22788  df-topon 22805  df-cn 23121  df-htpy 24876

This theorem is referenced by:  htpycom  24882  htpyco1  24884  htpyco2  24885  htpycc  24886  phtpycn  24889