Theorem htpycom 24723

Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishtpy.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
ishtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
ishtpy.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycom.6	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
htpycom.7	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
htpycom	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpycom

Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishtpy.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		ishtpy.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		ishtpy.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		htpycom.6	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
5		iitopon 24620	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7	1, 6	cnmpt1st 23393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
8	1, 6	cnmpt2nd 23394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn II))
9		iirevcn 24672	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II))
11		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
12	1, 6, 8, 6, 10, 11	cnmpt21 23396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn II))
13	1, 3, 2	htpycn 24720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
14		htpycom.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
15	13, 14	sseldd 3983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
16	1, 6, 7, 12, 15	cnmpt22f 23400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
17	4, 16	eqeltrid 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
18		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝑋)
19		0elunit 13451	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
20		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (𝑡𝐻(1 − 𝑦)))
21		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (1 − 𝑦) = (1 − 0))
22		1m0e1 12338	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (1 − 𝑦) = 1)
24	23	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑡𝐻(1 − 𝑦)) = (𝑡𝐻1))
25		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑡𝐻1) ∈ V
26	20, 24, 4, 25	ovmpo 7571	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑡𝑀0) = (𝑡𝐻1))
27	18, 19, 26	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑋) → (𝑡𝑀0) = (𝑡𝐻1))
28	1, 3, 2, 14	htpyi 24721	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑋) → ((𝑡𝐻0) = (𝐹‘𝑡) ∧ (𝑡𝐻1) = (𝐺‘𝑡)))
29	28	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑋) → (𝑡𝐻1) = (𝐺‘𝑡))
30	27, 29	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑋) → (𝑡𝑀0) = (𝐺‘𝑡))
31		1elunit 13452	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
32		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (1 − 𝑦) = (1 − 1))
33		1m1e0 12289	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
34	32, 33	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (1 − 𝑦) = 0)
35	34	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑡𝐻(1 − 𝑦)) = (𝑡𝐻0))
36		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑡𝐻0) ∈ V
37	20, 35, 4, 36	ovmpo 7571	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑡𝑀1) = (𝑡𝐻0))
38	18, 31, 37	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑋) → (𝑡𝑀1) = (𝑡𝐻0))
39	28	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑋) → (𝑡𝐻0) = (𝐹‘𝑡))
40	38, 39	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑋) → (𝑡𝑀1) = (𝐹‘𝑡))
41	1, 2, 3, 17, 30, 40	ishtpyd 24722	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11113  1c1 11114   − cmin 11449  [,]cicc 13332  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949   ×_t ctx 23285  IIcii 24616   Htpy chtpy 24714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-ii 24618  df-htpy 24717

This theorem is referenced by:  phtpycom  24735