MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyco1 25010
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco1.n 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦))
htpyco1.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyco1.p (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.h (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
Assertion
Ref Expression
htpyco1 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐹𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyco1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco1.j . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 htpyco1.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpyco1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
4 cnco 23274 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐹𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
52, 3, 4syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
6 htpyco1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7 cnco 23274 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
82, 6, 7syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9 htpyco1.n . . 3 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦))
10 iitopon 24905 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
121, 11cnmpt1st 23676 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
131, 11, 12, 2cnmpt21f 23680 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑃𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
141, 11cnmpt2nd 23677 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn II))
15 cntop2 23249 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
162, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 toptopon2 22924 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1816, 17sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1918, 3, 6htpycn 25005 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺) ⊆ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
20 htpyco1.h . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
2119, 20sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
221, 11, 13, 14, 21cnmpt22f 23683 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
239, 22eqeltrid 2845 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
24 cnf2 23257 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑃:𝑋 𝐾)
251, 18, 2, 24syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑋 𝐾)
2625ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑃𝑠) ∈ 𝐾)
2718, 3, 6, 20htpyi 25006 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑠) ∈ 𝐾) → (((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)) ∧ ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠))))
2826, 27syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → (((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)) ∧ ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠))))
2928simpld 494 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
30 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
31 0elunit 13509 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
32 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑠 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑠))
33 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0)
3432, 33oveqan12d 7450 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((𝑃𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
35 ovex 7464 . . . . 5 ((𝑃𝑠)𝐻0) ∈ V
3634, 9, 35ovmpoa 7588 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
3730, 31, 36sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
38 fvco3 7008 . . . 4 ((𝑃:𝑋 𝐾𝑠𝑋) → ((𝐹𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
3925, 38sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝐹𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
4029, 37, 393eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝐹𝑃)‘𝑠))
4128simprd 495 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
42 1elunit 13510 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
43 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → 𝑦 = 1)
4432, 43oveqan12d 7450 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((𝑃𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
45 ovex 7464 . . . . 5 ((𝑃𝑠)𝐻1) ∈ V
4644, 9, 45ovmpoa 7588 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
4730, 42, 46sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
48 fvco3 7008 . . . 4 ((𝑃:𝑋 𝐾𝑠𝑋) → ((𝐺𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
4925, 48sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝐺𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
5041, 47, 493eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝐺𝑃)‘𝑠))
511, 5, 8, 23, 40, 50ishtpyd 25007 1 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐹𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   cuni 4907  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  0cc0 11155  1c1 11156  [,]cicc 13390  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232   ×t ctx 23568  IIcii 24901   Htpy chtpy 24999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-tx 23570  df-ii 24903  df-htpy 25002
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator