MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyco1 24948
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco1.n 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦))
htpyco1.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyco1.p (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.h (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
Assertion
Ref Expression
htpyco1 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐹𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyco1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco1.j . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 htpyco1.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpyco1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
4 cnco 23214 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐹𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
52, 3, 4syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
6 htpyco1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7 cnco 23214 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
82, 6, 7syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9 htpyco1.n . . 3 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦))
10 iitopon 24843 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
121, 11cnmpt1st 23616 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
131, 11, 12, 2cnmpt21f 23620 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑃𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
141, 11cnmpt2nd 23617 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn II))
15 cntop2 23189 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
162, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 toptopon2 22864 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1816, 17sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1918, 3, 6htpycn 24943 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺) ⊆ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
20 htpyco1.h . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
2119, 20sseldd 3977 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
221, 11, 13, 14, 21cnmpt22f 23623 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
239, 22eqeltrid 2829 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
24 cnf2 23197 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑃:𝑋 𝐾)
251, 18, 2, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑋 𝐾)
2625ffvelcdmda 7093 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑃𝑠) ∈ 𝐾)
2718, 3, 6, 20htpyi 24944 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑠) ∈ 𝐾) → (((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)) ∧ ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠))))
2826, 27syldan 589 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → (((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)) ∧ ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠))))
2928simpld 493 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
30 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
31 0elunit 13481 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
32 fveq2 6896 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑠 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑠))
33 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0)
3432, 33oveqan12d 7438 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((𝑃𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
35 ovex 7452 . . . . 5 ((𝑃𝑠)𝐻0) ∈ V
3634, 9, 35ovmpoa 7576 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
3730, 31, 36sylancl 584 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
38 fvco3 6996 . . . 4 ((𝑃:𝑋 𝐾𝑠𝑋) → ((𝐹𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
3925, 38sylan 578 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝐹𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
4029, 37, 393eqtr4d 2775 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝐹𝑃)‘𝑠))
4128simprd 494 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
42 1elunit 13482 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
43 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → 𝑦 = 1)
4432, 43oveqan12d 7438 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((𝑃𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
45 ovex 7452 . . . . 5 ((𝑃𝑠)𝐻1) ∈ V
4644, 9, 45ovmpoa 7576 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
4730, 42, 46sylancl 584 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
48 fvco3 6996 . . . 4 ((𝑃:𝑋 𝐾𝑠𝑋) → ((𝐺𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
4925, 48sylan 578 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝐺𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
5041, 47, 493eqtr4d 2775 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝐺𝑃)‘𝑠))
511, 5, 8, 23, 40, 50ishtpyd 24945 1 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐹𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   cuni 4909  ccom 5682  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  0cc0 11140  1c1 11141  [,]cicc 13362  Topctop 22839  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23172   ×t ctx 23508  IIcii 24839   Htpy chtpy 24937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-icc 13366  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cn 23175  df-tx 23510  df-ii 24841  df-htpy 24940
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator