MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyco1 25024
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco1.n 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦))
htpyco1.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyco1.p (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco1.h (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
Assertion
Ref Expression
htpyco1 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐹𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyco1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco1.j . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 htpyco1.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpyco1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
4 cnco 23290 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐹𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
52, 3, 4syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
6 htpyco1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7 cnco 23290 . . 3 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
82, 6, 7syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9 htpyco1.n . . 3 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦))
10 iitopon 24919 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
121, 11cnmpt1st 23692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
131, 11, 12, 2cnmpt21f 23696 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑃𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
141, 11cnmpt2nd 23693 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn II))
15 cntop2 23265 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
162, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 toptopon2 22940 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1816, 17sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1918, 3, 6htpycn 25019 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺) ⊆ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
20 htpyco1.h . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(𝐾 Htpy 𝐿)𝐺))
2119, 20sseldd 3996 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐾 ×t II) Cn 𝐿))
221, 11, 13, 14, 21cnmpt22f 23699 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑃𝑥)𝐻𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
239, 22eqeltrid 2843 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
24 cnf2 23273 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑃:𝑋 𝐾)
251, 18, 2, 24syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑋 𝐾)
2625ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑃𝑠) ∈ 𝐾)
2718, 3, 6, 20htpyi 25020 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑠) ∈ 𝐾) → (((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)) ∧ ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠))))
2826, 27syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → (((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)) ∧ ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠))))
2928simpld 494 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑃𝑠)𝐻0) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
30 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
31 0elunit 13506 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
32 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑠 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑠))
33 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0)
3432, 33oveqan12d 7450 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((𝑃𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
35 ovex 7464 . . . . 5 ((𝑃𝑠)𝐻0) ∈ V
3634, 9, 35ovmpoa 7588 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
3730, 31, 36sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝑃𝑠)𝐻0))
38 fvco3 7008 . . . 4 ((𝑃:𝑋 𝐾𝑠𝑋) → ((𝐹𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
3925, 38sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝐹𝑃)‘𝑠) = (𝐹‘(𝑃𝑠)))
4029, 37, 393eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = ((𝐹𝑃)‘𝑠))
4128simprd 495 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑃𝑠)𝐻1) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
42 1elunit 13507 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
43 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → 𝑦 = 1)
4432, 43oveqan12d 7450 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((𝑃𝑥)𝐻𝑦) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
45 ovex 7464 . . . . 5 ((𝑃𝑠)𝐻1) ∈ V
4644, 9, 45ovmpoa 7588 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
4730, 42, 46sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝑃𝑠)𝐻1))
48 fvco3 7008 . . . 4 ((𝑃:𝑋 𝐾𝑠𝑋) → ((𝐺𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
4925, 48sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝐺𝑃)‘𝑠) = (𝐺‘(𝑃𝑠)))
5041, 47, 493eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = ((𝐺𝑃)‘𝑠))
511, 5, 8, 23, 40, 50ishtpyd 25021 1 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐹𝑃)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   cuni 4912  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  0cc0 11153  1c1 11154  [,]cicc 13387  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584  IIcii 24915   Htpy chtpy 25013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-tx 23586  df-ii 24917  df-htpy 25016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator