MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpycc 24955
Description: Concatenate two homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpycc.1 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))))
htpycc.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpycc.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycc.5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycc.6 (𝜑𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycc.7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
htpycc.8 (𝜑𝑀 ∈ (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
Assertion
Ref Expression
htpycc (𝜑𝑁 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpycc
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpycc.2 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 htpycc.4 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpycc.6 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 htpycc.1 . . 3 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))))
5 iitopon 24848 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7 eqid 2725 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
8 eqid 2725 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
9 eqid 2725 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
10 dfii2 24851 . . . . 5 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
11 0red 11254 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12 1red 11252 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13 halfre 12464 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
14 halfge0 12467 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 2)
15 1re 11251 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
16 halflt1 12468 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
1713, 15, 16ltleii 11374 . . . . . . 7 (1 / 2) ≤ 1
18 elicc01 13483 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
1913, 14, 17, 18mpbir3an 1338 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
21 htpycc.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22 htpycc.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
231, 2, 21, 22htpyi 24949 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑠𝐿0) = (𝐹𝑠) ∧ (𝑠𝐿1) = (𝐺𝑠)))
2423simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐿1) = (𝐺𝑠))
25 htpycc.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
261, 21, 3, 25htpyi 24949 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑠𝑀0) = (𝐺𝑠) ∧ (𝑠𝑀1) = (𝐻𝑠)))
2726simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑀0) = (𝐺𝑠))
2824, 27eqtr4d 2768 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0))
2928ralrimiva 3135 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑠𝑋 (𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0))
30 oveq1 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → (𝑠𝐿1) = (𝑥𝐿1))
31 oveq1 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → (𝑠𝑀0) = (𝑥𝑀0))
3230, 31eqeq12d 2741 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑥 → ((𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0) ↔ (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0)))
3332rspccva 3605 . . . . . . . 8 ((∀𝑠𝑋 (𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0))
3429, 33sylan 578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0))
3534adantrl 714 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0))
36 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → 𝑦 = (1 / 2))
3736oveq2d 7435 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
38 2cn 12325 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
39 2ne0 12354 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
4038, 39recidi 11983 . . . . . . . 8 (2 · (1 / 2)) = 1
4137, 40eqtrdi 2781 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (2 · 𝑦) = 1)
4241oveq2d 7435 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝐿(2 · 𝑦)) = (𝑥𝐿1))
4341oveq1d 7434 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
44 1m1e0 12322 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
4543, 44eqtrdi 2781 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
4645oveq2d 7435 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)) = (𝑥𝑀0))
4735, 42, 463eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝐿(2 · 𝑦)) = (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))
48 retopon 24729 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
49 0re 11253 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
50 iccssre 13446 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
5149, 13, 50mp2an 690 . . . . . . . 8 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
52 resttopon 23114 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
5348, 51, 52mp2an 690 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
5554, 1cnmpt2nd 23622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5654, 1cnmpt1st 23621 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
578iihalf1cn 24902 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
59 oveq2 7427 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (2 · 𝑧) = (2 · 𝑦))
6054, 1, 56, 54, 58, 59cnmpt21 23624 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋 ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn II))
611, 2, 21htpycn 24948 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
6261, 22sseldd 3977 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
6354, 1, 55, 60, 62cnmpt22f 23628 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐿(2 · 𝑦))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn 𝐾))
64 iccssre 13446 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
6513, 15, 64mp2an 690 . . . . . . . 8 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
66 resttopon 23114 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
6748, 65, 66mp2an 690 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
6867a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
6968, 1cnmpt2nd 23622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
7068, 1cnmpt1st 23621 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
719iihalf2cn 24905 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
7271a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
7359oveq1d 7434 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((2 · 𝑧) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
7468, 1, 70, 68, 72, 73cnmpt21 23624 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋 ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn II))
751, 21, 3htpycn 24948 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
7675, 25sseldd 3977 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
7768, 1, 69, 74, 76cnmpt22f 23628 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn 𝐾))
787, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 1, 47, 63, 77cnmpopc 24898 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑥𝑋 ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((II ×t 𝐽) Cn 𝐾))
796, 1, 78cnmptcom 23631 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
804, 79eqeltrid 2829 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
81 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
82 0elunit 13486 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
83 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
8483, 14eqbrtrdi 5188 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 ≤ (1 / 2))
8584iftrued 4538 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑥𝐿(2 · 𝑦)))
86 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
8783oveq2d 7435 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (2 · 𝑦) = (2 · 0))
88 2t0e0 12419 . . . . . . . 8 (2 · 0) = 0
8987, 88eqtrdi 2781 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (2 · 𝑦) = 0)
9086, 89oveq12d 7437 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑥𝐿(2 · 𝑦)) = (𝑠𝐿0))
9185, 90eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑠𝐿0))
92 ovex 7452 . . . . 5 (𝑠𝐿0) ∈ V
9391, 4, 92ovmpoa 7576 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁0) = (𝑠𝐿0))
9481, 82, 93sylancl 584 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = (𝑠𝐿0))
9523simpld 493 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐿0) = (𝐹𝑠))
9694, 95eqtrd 2765 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = (𝐹𝑠))
97 1elunit 13487 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
9813, 15ltnlei 11372 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
9916, 98mpbi 229 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
100 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
101100breq1d 5159 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
10299, 101mtbiri 326 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2))
103102iffalsed 4541 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))
104 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
105100oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (2 · 𝑦) = (2 · 1))
106 2t1e2 12413 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
107105, 106eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (2 · 𝑦) = 2)
108107oveq1d 7434 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑦) − 1) = (2 − 1))
109 2m1e1 12376 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
110108, 109eqtrdi 2781 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑦) − 1) = 1)
111104, 110oveq12d 7437 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)) = (𝑠𝑀1))
112103, 111eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑠𝑀1))
113 ovex 7452 . . . . 5 (𝑠𝑀1) ∈ V
114112, 4, 113ovmpoa 7576 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁1) = (𝑠𝑀1))
11581, 97, 114sylancl 584 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = (𝑠𝑀1))
11626simprd 494 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑀1) = (𝐻𝑠))
117115, 116eqtrd 2765 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = (𝐻𝑠))
1181, 2, 3, 80, 96, 117ishtpyd 24950 1 (𝜑𝑁 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wss 3944  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  cr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   · cmul 11150   < clt 11285  cle 11286  cmin 11481   / cdiv 11908  2c2 12305  (,)cioo 13364  [,]cicc 13367  t crest 17410  topGenctg 17427  TopOnctopon 22861   Cn ccn 23177   ×t ctx 23513  IIcii 24844   Htpy chtpy 24942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-hom 17265  df-cco 17266  df-rest 17412  df-topn 17413  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-topgen 17433  df-pt 17434  df-prds 17437  df-xrs 17492  df-qtop 17497  df-imas 17498  df-xps 17500  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-mulg 19037  df-cntz 19285  df-cmn 19754  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-cnfld 21302  df-top 22845  df-topon 22862  df-topsp 22884  df-bases 22898  df-cld 22972  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-ii 24846  df-htpy 24945
This theorem is referenced by:  phtpycc  24966
  Copyright terms: Public domain W3C validator