Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpycc 23591
 Description: Concatenate two homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpycc.1 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))))
htpycc.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpycc.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycc.5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycc.6 (𝜑𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpycc.7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
htpycc.8 (𝜑𝑀 ∈ (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
Assertion
Ref Expression
htpycc (𝜑𝑁 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpycc
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpycc.2 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 htpycc.4 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpycc.6 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 htpycc.1 . . 3 𝑁 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))))
5 iitopon 23490 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7 eqid 2824 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
8 eqid 2824 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
9 eqid 2824 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
10 dfii2 23493 . . . . 5 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
11 0red 10642 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12 1red 10640 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13 halfre 11848 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
14 halfge0 11851 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 2)
15 1re 10639 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
16 halflt1 11852 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
1713, 15, 16ltleii 10761 . . . . . . 7 (1 / 2) ≤ 1
18 elicc01 12853 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
1913, 14, 17, 18mpbir3an 1338 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
21 htpycc.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22 htpycc.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
231, 2, 21, 22htpyi 23585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑠𝐿0) = (𝐹𝑠) ∧ (𝑠𝐿1) = (𝐺𝑠)))
2423simprd 499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐿1) = (𝐺𝑠))
25 htpycc.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
261, 21, 3, 25htpyi 23585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑋) → ((𝑠𝑀0) = (𝐺𝑠) ∧ (𝑠𝑀1) = (𝐻𝑠)))
2726simpld 498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑀0) = (𝐺𝑠))
2824, 27eqtr4d 2862 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0))
2928ralrimiva 3177 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑠𝑋 (𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0))
30 oveq1 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → (𝑠𝐿1) = (𝑥𝐿1))
31 oveq1 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → (𝑠𝑀0) = (𝑥𝑀0))
3230, 31eqeq12d 2840 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑥 → ((𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0) ↔ (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0)))
3332rspccva 3608 . . . . . . . 8 ((∀𝑠𝑋 (𝑠𝐿1) = (𝑠𝑀0) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0))
3429, 33sylan 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0))
3534adantrl 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝐿1) = (𝑥𝑀0))
36 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → 𝑦 = (1 / 2))
3736oveq2d 7165 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
38 2cn 11709 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
39 2ne0 11738 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
4038, 39recidi 11369 . . . . . . . 8 (2 · (1 / 2)) = 1
4137, 40syl6eq 2875 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (2 · 𝑦) = 1)
4241oveq2d 7165 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝐿(2 · 𝑦)) = (𝑥𝐿1))
4341oveq1d 7164 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
44 1m1e0 11706 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
4543, 44syl6eq 2875 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
4645oveq2d 7165 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)) = (𝑥𝑀0))
4735, 42, 463eqtr4d 2869 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑥𝐿(2 · 𝑦)) = (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))
48 retopon 23375 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
49 0re 10641 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
50 iccssre 12816 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
5149, 13, 50mp2an 691 . . . . . . . 8 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
52 resttopon 21772 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
5348, 51, 52mp2an 691 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
5554, 1cnmpt2nd 22280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5654, 1cnmpt1st 22279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
578iihalf1cn 23543 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
59 oveq2 7157 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (2 · 𝑧) = (2 · 𝑦))
6054, 1, 56, 54, 58, 59cnmpt21 22282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋 ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn II))
611, 2, 21htpycn 23584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
6261, 22sseldd 3954 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
6354, 1, 55, 60, 62cnmpt22f 22286 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐿(2 · 𝑦))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t 𝐽) Cn 𝐾))
64 iccssre 12816 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
6513, 15, 64mp2an 691 . . . . . . . 8 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
66 resttopon 21772 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
6748, 65, 66mp2an 691 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
6867a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
6968, 1cnmpt2nd 22280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
7068, 1cnmpt1st 22279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
719iihalf2cn 23545 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
7271a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
7359oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((2 · 𝑧) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
7468, 1, 70, 68, 72, 73cnmpt21 22282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋 ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn II))
751, 21, 3htpycn 23584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
7675, 25sseldd 3954 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
7768, 1, 69, 74, 76cnmpt22f 22286 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t 𝐽) Cn 𝐾))
787, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 1, 47, 63, 77cnmpopc 23539 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑥𝑋 ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((II ×t 𝐽) Cn 𝐾))
796, 1, 78cnmptcom 22289 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
804, 79eqeltrid 2920 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
81 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
82 0elunit 12856 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
83 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
8483, 14eqbrtrdi 5091 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 ≤ (1 / 2))
8584iftrued 4458 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑥𝐿(2 · 𝑦)))
86 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
8783oveq2d 7165 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (2 · 𝑦) = (2 · 0))
88 2t0e0 11803 . . . . . . . 8 (2 · 0) = 0
8987, 88syl6eq 2875 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (2 · 𝑦) = 0)
9086, 89oveq12d 7167 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑥𝐿(2 · 𝑦)) = (𝑠𝐿0))
9185, 90eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑠𝐿0))
92 ovex 7182 . . . . 5 (𝑠𝐿0) ∈ V
9391, 4, 92ovmpoa 7298 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁0) = (𝑠𝐿0))
9481, 82, 93sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = (𝑠𝐿0))
9523simpld 498 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐿0) = (𝐹𝑠))
9694, 95eqtrd 2859 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁0) = (𝐹𝑠))
97 1elunit 12857 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
9813, 15ltnlei 10759 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
9916, 98mpbi 233 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
100 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
101100breq1d 5062 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
10299, 101mtbiri 330 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2))
103102iffalsed 4461 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)))
104 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
105100oveq2d 7165 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (2 · 𝑦) = (2 · 1))
106 2t1e2 11797 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
107105, 106syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (2 · 𝑦) = 2)
108107oveq1d 7164 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑦) − 1) = (2 − 1))
109 2m1e1 11760 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
110108, 109syl6eq 2875 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑦) − 1) = 1)
111104, 110oveq12d 7167 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1)) = (𝑠𝑀1))
112103, 111eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝑥𝐿(2 · 𝑦)), (𝑥𝑀((2 · 𝑦) − 1))) = (𝑠𝑀1))
113 ovex 7182 . . . . 5 (𝑠𝑀1) ∈ V
114112, 4, 113ovmpoa 7298 . . . 4 ((𝑠𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑁1) = (𝑠𝑀1))
11581, 97, 114sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = (𝑠𝑀1))
11626simprd 499 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑀1) = (𝐻𝑠))
117115, 116eqtrd 2859 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝑁1) = (𝐻𝑠))
1181, 2, 3, 80, 96, 117ishtpyd 23586 1 (𝜑𝑁 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ⊆ wss 3919  ifcif 4450   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  ran crn 5543  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  ℝcr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   · cmul 10540   < clt 10673   ≤ cle 10674   − cmin 10868   / cdiv 11295  2c2 11689  (,)cioo 12735  [,]cicc 12738   ↾t crest 16694  topGenctg 16711  TopOnctopon 21521   Cn ccn 21835   ×t ctx 22171  IIcii 23486   Htpy chtpy 23578 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-cnfld 20099  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-ii 23488  df-htpy 23581 This theorem is referenced by:  phtpycc  23602
 Copyright terms: Public domain W3C validator