Theorem htpyco2 24903

Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
htpyco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem htpyco2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyco2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		cntop1 23153	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		toptopon2 22831	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		htpyco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7		cnco 23179	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9		htpyco2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10		cnco 23179	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
11	9, 6, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
12	5, 1, 9	htpycn 24897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
13		htpyco2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
14	12, 13	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
15		cnco 23179	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
16	14, 6, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
17	5, 1, 9, 13	htpyi 24898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠)))
18	17	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠))
19	18	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
20		iitopon 24797	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
21		txtopon 23504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))))
22	5, 20, 21	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))))
23		cntop2 23154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
25		toptopon2 22831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
26	24, 25	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
27		cnf2 23162	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾)) → 𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾)
28	22, 26, 14, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑠 ∈ ∪ 𝐽)
30		0elunit 13366	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
31		opelxpi 5653	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
32	29, 30, 31	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
33		fvco3 6921	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
34	28, 32, 33	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
35		df-ov 7349	. . . 4 ⊢ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩)
36		df-ov 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑠𝐻0) = (𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)
37	36	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩))
38	34, 35, 37	3eqtr4g 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = (𝑃‘(𝑠𝐻0)))
39		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
40		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
41	39, 40	cnf 23159	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
42	1, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
43		fvco3 6921	. . . 4 ⊢ ((𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
44	42, 43	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
45	19, 38, 44	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠))
46	17	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠))
47	46	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
48		1elunit 13367	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
49		opelxpi 5653	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
50	29, 48, 49	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
51		fvco3 6921	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
52	28, 50, 51	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
53		df-ov 7349	. . . 4 ⊢ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩)
54		df-ov 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑠𝐻1) = (𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)
55	54	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩))
56	52, 53, 55	3eqtr4g 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = (𝑃‘(𝑠𝐻1)))
57	39, 40	cnf 23159	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
58	9, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
59		fvco3 6921	. . . 4 ⊢ ((𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
60	58, 59	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
61	47, 56, 60	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠))
62	5, 8, 11, 16, 45, 61	ishtpyd 24899	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4582  ∪ cuni 4859   × cxp 5614   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004  [,]cicc 13245  Topctop 22806  TopOnctopon 22823   Cn ccn 23137   ×_t ctx 23473  IIcii 24793   Htpy chtpy 24891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-icc 13249  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-topgen 17344  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-top 22807  df-topon 22824  df-bases 22859  df-cn 23140  df-tx 23475  df-ii 24795  df-htpy 24894

This theorem is referenced by:  phtpyco2  24914