MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyco2 24486
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco2.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
Assertion
Ref Expression
htpyco2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem htpyco2
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 cntop1 22735 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 toptopon2 22411 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
53, 4sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
6 htpyco2.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7 cnco 22761 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) β†’ (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
81, 6, 7syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9 htpyco2.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10 cnco 22761 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) β†’ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
119, 6, 10syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
125, 1, 9htpycn 24480 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) βŠ† ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾))
13 htpyco2.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
1412, 13sseldd 3982 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾))
15 cnco 22761 . . 3 ((𝐻 ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐿))
1614, 6, 15syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐿))
175, 1, 9, 13htpyi 24481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑠𝐻0) = (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (𝑠𝐻1) = (πΊβ€˜π‘ )))
1817simpld 495 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠𝐻0) = (πΉβ€˜π‘ ))
1918fveq2d 6892 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻0)) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜π‘ )))
20 iitopon 24386 . . . . . . 7 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
21 txtopon 23086 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))) β†’ (𝐽 Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))))
225, 20, 21sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))))
23 cntop2 22736 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
241, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
25 toptopon2 22411 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
2624, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
27 cnf2 22744 . . . . . 6 (((𝐽 Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾)) β†’ 𝐻:(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐾)
2822, 26, 14, 27syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐾)
29 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽)
30 0elunit 13442 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
31 opelxpi 5712 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ βŸ¨π‘ , 0⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1)))
3229, 30, 31sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βŸ¨π‘ , 0⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1)))
33 fvco3 6987 . . . . 5 ((𝐻:(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βŸ¨π‘ , 0⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩)))
3428, 32, 33syl2an2r 683 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩)))
35 df-ov 7408 . . . 4 (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩)
36 df-ov 7408 . . . . 5 (𝑠𝐻0) = (π»β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩)
3736fveq2i 6891 . . . 4 (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻0)) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩))
3834, 35, 373eqtr4g 2797 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻0)))
39 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
40 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
4139, 40cnf 22741 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
421, 41syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
43 fvco3 6987 . . . 4 ((𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜π‘ ) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜π‘ )))
4442, 43sylan 580 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜π‘ ) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜π‘ )))
4519, 38, 443eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜π‘ ))
4617simprd 496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠𝐻1) = (πΊβ€˜π‘ ))
4746fveq2d 6892 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻1)) = (π‘ƒβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
48 1elunit 13443 . . . . . 6 1 ∈ (0[,]1)
49 opelxpi 5712 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ βŸ¨π‘ , 1⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1)))
5029, 48, 49sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βŸ¨π‘ , 1⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1)))
51 fvco3 6987 . . . . 5 ((𝐻:(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βŸ¨π‘ , 1⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩)))
5228, 50, 51syl2an2r 683 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩)))
53 df-ov 7408 . . . 4 (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩)
54 df-ov 7408 . . . . 5 (𝑠𝐻1) = (π»β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩)
5554fveq2i 6891 . . . 4 (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻1)) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩))
5652, 53, 553eqtr4g 2797 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻1)))
5739, 40cnf 22741 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐺:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
589, 57syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
59 fvco3 6987 . . . 4 ((𝐺:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ) = (π‘ƒβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
6058, 59sylan 580 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ) = (π‘ƒβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
6147, 56, 603eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ))
625, 8, 11, 16, 45, 61ishtpyd 24482 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  [,]cicc 13323  Topctop 22386  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719   Γ—t ctx 23055  IIcii 24382   Htpy chtpy 24474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cn 22722  df-tx 23057  df-ii 24384  df-htpy 24477
This theorem is referenced by:  phtpyco2  24497
  Copyright terms: Public domain W3C validator