Theorem htpyco2 25305

Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
htpyco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem htpyco2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyco2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		cntop1 23563	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		toptopon2 23241	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		htpyco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7		cnco 23589	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
8	1, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9		htpyco2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10		cnco 23589	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
11	9, 6, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
12	5, 1, 9	htpycn 25299	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
13		htpyco2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
14	12, 13	sseldd 3909	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
15		cnco 23589	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
16	14, 6, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
17	5, 1, 9, 13	htpyi 25300	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠)))
18	17	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠))
19	18	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
20		iitopon 25205	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
21		txtopon 23915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))))
22	5, 20, 21	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))))
23		cntop2 23564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
24	1, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
25		toptopon2 23241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
26	24, 25	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
27		cnf2 23572	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾)) → 𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾)
28	22, 26, 14, 27	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾)
29		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑠 ∈ ∪ 𝐽)
30		0elunit 13603	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
31		opelxpi 5687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
32	29, 30, 31	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
33		fvco3 6985	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
34	28, 32, 33	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
35		df-ov 7423	. . . 4 ⊢ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩)
36		df-ov 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑠𝐻0) = (𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)
37	36	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩))
38	34, 35, 37	3eqtr4g 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = (𝑃‘(𝑠𝐻0)))
39		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
40		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
41	39, 40	cnf 23569	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
42	1, 41	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
43		fvco3 6985	. . . 4 ⊢ ((𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
44	42, 43	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
45	19, 38, 44	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠))
46	17	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠))
47	46	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
48		1elunit 13604	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
49		opelxpi 5687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
50	29, 48, 49	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
51		fvco3 6985	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
52	28, 50, 51	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
53		df-ov 7423	. . . 4 ⊢ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩)
54		df-ov 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑠𝐻1) = (𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)
55	54	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩))
56	52, 53, 55	3eqtr4g 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = (𝑃‘(𝑠𝐻1)))
57	39, 40	cnf 23569	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
58	9, 57	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
59		fvco3 6985	. . . 4 ⊢ ((𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
60	58, 59	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
61	47, 56, 60	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠))
62	5, 8, 11, 16, 45, 61	ishtpyd 25301	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834  ∪ cuni 4866   × cxp 5648   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204  [,]cicc 13482  Topctop 23216  TopOnctopon 23233   Cn ccn 23547   ×_t ctx 23884  IIcii 25201   Htpy chtpy 25293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-icc 13486  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-topgen 17619  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-cn 23550  df-tx 23886  df-ii 25203  df-htpy 25296

This theorem is used by:  phtpyco2  25316