Theorem htpyco2 24996

Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
htpyco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem htpyco2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyco2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		cntop1 23235	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		toptopon2 22911	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		htpyco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7		cnco 23261	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
8	1, 6, 7	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9		htpyco2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10		cnco 23261	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
11	9, 6, 10	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
12	5, 1, 9	htpycn 24990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
13		htpyco2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
14	12, 13	sseldd 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
15		cnco 23261	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
16	14, 6, 15	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
17	5, 1, 9, 13	htpyi 24991	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠)))
18	17	simpld 493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠))
19	18	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
20		iitopon 24890	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
21		txtopon 23586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))))
22	5, 20, 21	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))))
23		cntop2 23236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
25		toptopon2 22911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
26	24, 25	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
27		cnf2 23244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾)) → 𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾)
28	22, 26, 14, 27	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾)
29		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑠 ∈ ∪ 𝐽)
30		0elunit 13500	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
31		opelxpi 5719	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
32	29, 30, 31	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
33		fvco3 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
34	28, 32, 33	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
35		df-ov 7427	. . . 4 ⊢ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩)
36		df-ov 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑠𝐻0) = (𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)
37	36	fveq2i 6904	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩))
38	34, 35, 37	3eqtr4g 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = (𝑃‘(𝑠𝐻0)))
39		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
40		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
41	39, 40	cnf 23241	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
42	1, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
43		fvco3 7001	. . . 4 ⊢ ((𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
44	42, 43	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
45	19, 38, 44	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠))
46	17	simprd 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠))
47	46	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
48		1elunit 13501	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
49		opelxpi 5719	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
50	29, 48, 49	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
51		fvco3 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
52	28, 50, 51	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
53		df-ov 7427	. . . 4 ⊢ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩)
54		df-ov 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑠𝐻1) = (𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)
55	54	fveq2i 6904	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩))
56	52, 53, 55	3eqtr4g 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = (𝑃‘(𝑠𝐻1)))
57	39, 40	cnf 23241	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
58	9, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
59		fvco3 7001	. . . 4 ⊢ ((𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
60	58, 59	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
61	47, 56, 60	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠))
62	5, 8, 11, 16, 45, 61	ishtpyd 24992	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4639  ∪ cuni 4913   × cxp 5680   ∘ ccom 5686  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159  [,]cicc 13381  Topctop 22886  TopOnctopon 22903   Cn ccn 23219   ×_t ctx 23555  IIcii 24886   Htpy chtpy 24984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-icc 13385  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cn 23222  df-tx 23557  df-ii 24888  df-htpy 24987

This theorem is referenced by:  phtpyco2  25007