Theorem htpyco2 25030

Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
htpyco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem htpyco2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyco2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		cntop1 23269	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		toptopon2 22945	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		htpyco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7		cnco 23295	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
8	1, 6, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9		htpyco2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10		cnco 23295	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
11	9, 6, 10	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
12	5, 1, 9	htpycn 25024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
13		htpyco2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
14	12, 13	sseldd 4009	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
15		cnco 23295	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
16	14, 6, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
17	5, 1, 9, 13	htpyi 25025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠)))
18	17	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠))
19	18	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
20		iitopon 24924	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
21		txtopon 23620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))))
22	5, 20, 21	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))))
23		cntop2 23270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
25		toptopon2 22945	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
26	24, 25	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
27		cnf2 23278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾)) → 𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾)
28	22, 26, 14, 27	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑠 ∈ ∪ 𝐽)
30		0elunit 13529	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
31		opelxpi 5737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
32	29, 30, 31	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
33		fvco3 7021	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
34	28, 32, 33	syl2an2r 684	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
35		df-ov 7451	. . . 4 ⊢ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩)
36		df-ov 7451	. . . . 5 ⊢ (𝑠𝐻0) = (𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)
37	36	fveq2i 6923	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩))
38	34, 35, 37	3eqtr4g 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = (𝑃‘(𝑠𝐻0)))
39		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
40		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
41	39, 40	cnf 23275	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
42	1, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
43		fvco3 7021	. . . 4 ⊢ ((𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
44	42, 43	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
45	19, 38, 44	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠))
46	17	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠))
47	46	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
48		1elunit 13530	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
49		opelxpi 5737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
50	29, 48, 49	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
51		fvco3 7021	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
52	28, 50, 51	syl2an2r 684	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
53		df-ov 7451	. . . 4 ⊢ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩)
54		df-ov 7451	. . . . 5 ⊢ (𝑠𝐻1) = (𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)
55	54	fveq2i 6923	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩))
56	52, 53, 55	3eqtr4g 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = (𝑃‘(𝑠𝐻1)))
57	39, 40	cnf 23275	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
58	9, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
59		fvco3 7021	. . . 4 ⊢ ((𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
60	58, 59	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
61	47, 56, 60	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠))
62	5, 8, 11, 16, 45, 61	ishtpyd 25026	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654  ∪ cuni 4931   × cxp 5698   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  [,]cicc 13410  Topctop 22920  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253   ×_t ctx 23589  IIcii 24920   Htpy chtpy 25018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cn 23256  df-tx 23591  df-ii 24922  df-htpy 25021

This theorem is referenced by:  phtpyco2  25041