Theorem htpyco2 25011

Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))

Assertion

Ref	Expression
htpyco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem htpyco2

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyco2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		cntop1 23248	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		toptopon2 22924	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		htpyco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7		cnco 23274	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9		htpyco2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10		cnco 23274	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
11	9, 6, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
12	5, 1, 9	htpycn 25005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ⊆ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
13		htpyco2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
14	12, 13	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
15		cnco 23274	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
16	14, 6, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐿))
17	5, 1, 9, 13	htpyi 25006	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠)))
18	17	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠))
19	18	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
20		iitopon 24905	. . . . . . 7 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
21		txtopon 23599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))))
22	5, 20, 21	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))))
23		cntop2 23249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
25		toptopon2 22924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
26	24, 25	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
27		cnf2 23257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ×t II) ∈ (TopOn‘(∪ 𝐽 × (0[,]1))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾)) → 𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾)
28	22, 26, 14, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑠 ∈ ∪ 𝐽)
30		0elunit 13509	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
31		opelxpi 5722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
32	29, 30, 31	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
33		fvco3 7008	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 0⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
34	28, 32, 33	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)))
35		df-ov 7434	. . . 4 ⊢ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 0⟩)
36		df-ov 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑠𝐻0) = (𝐻‘⟨𝑠, 0⟩)
37	36	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑠𝐻0)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 0⟩))
38	34, 35, 37	3eqtr4g 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = (𝑃‘(𝑠𝐻0)))
39		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
40		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
41	39, 40	cnf 23254	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
42	1, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
43		fvco3 7008	. . . 4 ⊢ ((𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
44	42, 43	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐹‘𝑠)))
45	19, 38, 44	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐹)‘𝑠))
46	17	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠))
47	46	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
48		1elunit 13510	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
49		opelxpi 5722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
50	29, 48, 49	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1)))
51		fvco3 7008	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:(∪ 𝐽 × (0[,]1))⟶∪ 𝐾 ∧ ⟨𝑠, 1⟩ ∈ (∪ 𝐽 × (0[,]1))) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
52	28, 50, 51	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)))
53		df-ov 7434	. . . 4 ⊢ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐻)‘⟨𝑠, 1⟩)
54		df-ov 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑠𝐻1) = (𝐻‘⟨𝑠, 1⟩)
55	54	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑠𝐻1)) = (𝑃‘(𝐻‘⟨𝑠, 1⟩))
56	52, 53, 55	3eqtr4g 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = (𝑃‘(𝑠𝐻1)))
57	39, 40	cnf 23254	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
58	9, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
59		fvco3 7008	. . . 4 ⊢ ((𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
60	58, 59	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠) = (𝑃‘(𝐺‘𝑠)))
61	47, 56, 60	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐺)‘𝑠))
62	5, 8, 11, 16, 45, 61	ishtpyd 25007	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632  ∪ cuni 4907   × cxp 5683   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  [,]cicc 13390  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232   ×_t ctx 23568  IIcii 24901   Htpy chtpy 24999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-tx 23570  df-ii 24903  df-htpy 25002

This theorem is referenced by:  phtpyco2  25022