MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyco2 24925
Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
htpyco2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
htpyco2.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
Assertion
Ref Expression
htpyco2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem htpyco2
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 cntop1 23164 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 toptopon2 22840 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
53, 4sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
6 htpyco2.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
7 cnco 23190 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) β†’ (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
81, 6, 7syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
9 htpyco2.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
10 cnco 23190 . . 3 ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) β†’ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
119, 6, 10syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
125, 1, 9htpycn 24919 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) βŠ† ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾))
13 htpyco2.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))
1412, 13sseldd 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾))
15 cnco 23190 . . 3 ((𝐻 ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐿))
1614, 6, 15syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐿))
175, 1, 9, 13htpyi 24920 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑠𝐻0) = (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (𝑠𝐻1) = (πΊβ€˜π‘ )))
1817simpld 493 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠𝐻0) = (πΉβ€˜π‘ ))
1918fveq2d 6906 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻0)) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜π‘ )))
20 iitopon 24819 . . . . . . 7 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
21 txtopon 23515 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))) β†’ (𝐽 Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))))
225, 20, 21sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))))
23 cntop2 23165 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
241, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
25 toptopon2 22840 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
2624, 25sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
27 cnf2 23173 . . . . . 6 (((𝐽 Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾)) β†’ 𝐻:(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐾)
2822, 26, 14, 27syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐾)
29 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽)
30 0elunit 13486 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
31 opelxpi 5719 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ βŸ¨π‘ , 0⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1)))
3229, 30, 31sylancl 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βŸ¨π‘ , 0⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1)))
33 fvco3 7002 . . . . 5 ((𝐻:(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βŸ¨π‘ , 0⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩)))
3428, 32, 33syl2an2r 683 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩)))
35 df-ov 7429 . . . 4 (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩)
36 df-ov 7429 . . . . 5 (𝑠𝐻0) = (π»β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩)
3736fveq2i 6905 . . . 4 (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻0)) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 0⟩))
3834, 35, 373eqtr4g 2793 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻0)))
39 eqid 2728 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
40 eqid 2728 . . . . . 6 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
4139, 40cnf 23170 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
421, 41syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
43 fvco3 7002 . . . 4 ((𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜π‘ ) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜π‘ )))
4442, 43sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜π‘ ) = (π‘ƒβ€˜(πΉβ€˜π‘ )))
4519, 38, 443eqtr4d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)0) = ((𝑃 ∘ 𝐹)β€˜π‘ ))
4617simprd 494 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠𝐻1) = (πΊβ€˜π‘ ))
4746fveq2d 6906 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻1)) = (π‘ƒβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
48 1elunit 13487 . . . . . 6 1 ∈ (0[,]1)
49 opelxpi 5719 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ βŸ¨π‘ , 1⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1)))
5029, 48, 49sylancl 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βŸ¨π‘ , 1⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1)))
51 fvco3 7002 . . . . 5 ((𝐻:(βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βŸ¨π‘ , 1⟩ ∈ (βˆͺ 𝐽 Γ— (0[,]1))) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩)))
5228, 50, 51syl2an2r 683 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩)))
53 df-ov 7429 . . . 4 (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐻)β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩)
54 df-ov 7429 . . . . 5 (𝑠𝐻1) = (π»β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩)
5554fveq2i 6905 . . . 4 (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻1)) = (π‘ƒβ€˜(π»β€˜βŸ¨π‘ , 1⟩))
5652, 53, 553eqtr4g 2793 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = (π‘ƒβ€˜(𝑠𝐻1)))
5739, 40cnf 23170 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐺:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
589, 57syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
59 fvco3 7002 . . . 4 ((𝐺:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ) = (π‘ƒβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
6058, 59sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ) = (π‘ƒβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
6147, 56, 603eqtr4d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑠(𝑃 ∘ 𝐻)1) = ((𝑃 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ))
625, 8, 11, 16, 45, 61ishtpyd 24921 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ 𝐻) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(𝐽 Htpy 𝐿)(𝑃 ∘ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4638  βˆͺ cuni 4912   Γ— cxp 5680   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147  [,]cicc 13367  Topctop 22815  TopOnctopon 22832   Cn ccn 23148   Γ—t ctx 23484  IIcii 24815   Htpy chtpy 24913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13371  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cn 23151  df-tx 23486  df-ii 24817  df-htpy 24916
This theorem is referenced by:  phtpyco2  24936
  Copyright terms: Public domain W3C validator