Theorem hvmulex 30993

Description: The Hilbert space scalar product operation is a set. (Contributed by NM, 17-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulex	⊢ ·ℎ ∈ V

Proof of Theorem hvmulex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 30987	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2		cnex 11094	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
3		ax-hilex 30981	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
4	2, 3	xpex 7692	. 2 ⊢ (ℂ × ℋ) ∈ V
5		fex 7166	. 2 ⊢ (( ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ ∧ (ℂ × ℋ) ∈ V) → ·ℎ ∈ V)
6	1, 4, 5	mp2an 692	1 ⊢ ·ℎ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   × cxp 5617  ⟶wf 6482  ℂcc 11011   ℋchba 30901   ·_ℎ csm 30903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-hilex 30981  ax-hfvmul 30987

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  hhph  31160  hhssva  31239  hhsssm  31240  hhshsslem1  31249