Theorem hvmulex 30768

Description: The Hilbert space scalar product operation is a set. (Contributed by NM, 17-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulex	⊢ ·ℎ ∈ V

Proof of Theorem hvmulex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 30762	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2		cnex 11190	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
3		ax-hilex 30756	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
4	2, 3	xpex 7736	. 2 ⊢ (ℂ × ℋ) ∈ V
5		fex 7222	. 2 ⊢ (( ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ ∧ (ℂ × ℋ) ∈ V) → ·ℎ ∈ V)
6	1, 4, 5	mp2an 689	1 ⊢ ·ℎ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   × cxp 5667  ⟶wf 6532  ℂcc 11107   ℋchba 30676   ·_ℎ csm 30678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-hilex 30756  ax-hfvmul 30762

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  hhph  30935  hhssva  31014  hhsssm  31015  hhshsslem1  31024