HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulex 30841
Description: The Hilbert space scalar product operation is a set. (Contributed by NM, 17-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulex · ∈ V

Proof of Theorem hvmulex
StepHypRef Expression
1 ax-hfvmul 30835 . 2 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2 cnex 11227 . . 3 ℂ ∈ V
3 ax-hilex 30829 . . 3 ℋ ∈ V
42, 3xpex 7761 . 2 (ℂ × ℋ) ∈ V
5 fex 7244 . 2 (( · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ ∧ (ℂ × ℋ) ∈ V) → · ∈ V)
61, 4, 5mp2an 690 1 · ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  Vcvv 3473   × cxp 5680  wf 6549  cc 11144  chba 30749   · csm 30751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-hilex 30829  ax-hfvmul 30835
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561
This theorem is referenced by:  hhph  31008  hhssva  31087  hhsssm  31088  hhshsslem1  31097
  Copyright terms: Public domain W3C validator