Theorem hvmulex 31344

Description: The Hilbert space scalar product operation is a set. (Contributed by NM, 17-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulex	⊢ ·ℎ ∈ V

Proof of Theorem hvmulex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfvmul 31338	. 2 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2		cnex 11182	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
3		ax-hilex 31332	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
4	2, 3	xpex 7753	. 2 ⊢ (ℂ × ℋ) ∈ V
5		fex 7226	. 2 ⊢ (( ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ ∧ (ℂ × ℋ) ∈ V) → ·ℎ ∈ V)
6	1, 4, 5	mp2an 704	1 ⊢ ·ℎ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   × cxp 5661  ⟶wf 6534  ℂcc 11099   ℋchba 31252   ·_ℎ csm 31254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-hilex 31332  ax-hfvmul 31338

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is referenced by:  hhph  31511  hhssva  31590  hhsssm  31591  hhshsslem1  31600