HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulex 28773
Description: The Hilbert space scalar product operation is a set. (Contributed by NM, 17-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulex · ∈ V

Proof of Theorem hvmulex
StepHypRef Expression
1 ax-hfvmul 28767 . 2 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
2 cnex 10596 . . 3 ℂ ∈ V
3 ax-hilex 28761 . . 3 ℋ ∈ V
42, 3xpex 7454 . 2 (ℂ × ℋ) ∈ V
5 fex 6965 . 2 (( · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ ∧ (ℂ × ℋ) ∈ V) → · ∈ V)
61, 4, 5mp2an 690 1 · ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2114  Vcvv 3473   × cxp 5529  wf 6327  cc 10513  chba 28681   · csm 28683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-hilex 28761  ax-hfvmul 28767
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339
This theorem is referenced by:  hhph  28940  hhssva  29019  hhsssm  29020  hhshsslem1  29029
  Copyright terms: Public domain W3C validator