HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhph 30469
Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhph π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Proof of Theorem hhph
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
21hhnv 30456 . 2 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
3 normpar 30446 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
4 hvsubval 30307 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) = (π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
54fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦))))
65oveq1d 7426 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) = ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2))
76oveq2d 7427 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))
8 hvaddcl 30303 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
9 normcl 30416 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
1110recnd 11244 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1211sqcld 14111 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) ∈ β„‚)
13 hvsubcl 30308 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
14 normcl 30416 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
1514recnd 11244 . . . . . . . 8 ((π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1716sqcld 14111 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) ∈ β„‚)
1812, 17addcomd 11418 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)))
197, 18eqtr3d 2774 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)))
20 normcl 30416 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2120recnd 11244 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2221sqcld 14111 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
23 normcl 30416 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2423recnd 11244 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2524sqcld 14111 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚)
26 2cn 12289 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
27 adddi 11201 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
2826, 27mp3an1 1448 . . . . 5 ((((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
2922, 25, 28syl2an 596 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
303, 19, 293eqtr4d 2782 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
3130rgen2 3197 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2)))
32 hilablo 30451 . . . 4 +β„Ž ∈ AbelOp
3332elexi 3493 . . 3 +β„Ž ∈ V
34 hvmulex 30302 . . 3 Β·β„Ž ∈ V
35 normf 30414 . . . 4 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
36 ax-hilex 30290 . . . 4 β„‹ ∈ V
37 fex 7230 . . . 4 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ β„‹ ∈ V) β†’ normβ„Ž ∈ V)
3835, 36, 37mp2an 690 . . 3 normβ„Ž ∈ V
39 hhnv.1 . . . . 5 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
4039eleq1i 2824 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD)
41 ablogrpo 29838 . . . . . . 7 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
4232, 41ax-mp 5 . . . . . 6 +β„Ž ∈ GrpOp
43 ax-hfvadd 30291 . . . . . . 7 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
4443fdmi 6729 . . . . . 6 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
4542, 44grporn 29812 . . . . 5 β„‹ = ran +β„Ž
4645isphg 30108 . . . 4 (( +β„Ž ∈ V ∧ Β·β„Ž ∈ V ∧ normβ„Ž ∈ V) β†’ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))))
4740, 46bitrid 282 . . 3 (( +β„Ž ∈ V ∧ Β·β„Ž ∈ V ∧ normβ„Ž ∈ V) β†’ (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))))
4833, 34, 38, 47mp3an 1461 . 2 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2)))))
492, 31, 48mpbir2an 709 1 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  -cneg 11447  2c2 12269  β†‘cexp 14029  GrpOpcgr 29780  AbelOpcablo 29835  NrmCVeccnv 29875  CPreHilOLDccphlo 30103   β„‹chba 30210   +β„Ž cva 30211   Β·β„Ž csm 30212  normβ„Žcno 30214   βˆ’β„Ž cmv 30216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-ph 30104  df-hnorm 30259  df-hvsub 30262
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  30471  hhhl  30495  pjhthlem2  30683
  Copyright terms: Public domain W3C validator