HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhph 31044
Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhph π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Proof of Theorem hhph
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
21hhnv 31031 . 2 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
3 normpar 31021 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
4 hvsubval 30882 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) = (π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
54fveq2d 6898 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦))))
65oveq1d 7432 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) = ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2))
76oveq2d 7433 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))
8 hvaddcl 30878 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
9 normcl 30991 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
1110recnd 11272 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1211sqcld 14140 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) ∈ β„‚)
13 hvsubcl 30883 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
14 normcl 30991 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
1514recnd 11272 . . . . . . . 8 ((π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1716sqcld 14140 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) ∈ β„‚)
1812, 17addcomd 11446 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)))
197, 18eqtr3d 2767 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)))
20 normcl 30991 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2120recnd 11272 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2221sqcld 14140 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
23 normcl 30991 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2423recnd 11272 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2524sqcld 14140 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚)
26 2cn 12317 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
27 adddi 11227 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
2826, 27mp3an1 1444 . . . . 5 ((((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
2922, 25, 28syl2an 594 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
303, 19, 293eqtr4d 2775 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
3130rgen2 3188 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2)))
32 hilablo 31026 . . . 4 +β„Ž ∈ AbelOp
3332elexi 3484 . . 3 +β„Ž ∈ V
34 hvmulex 30877 . . 3 Β·β„Ž ∈ V
35 normf 30989 . . . 4 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
36 ax-hilex 30865 . . . 4 β„‹ ∈ V
37 fex 7236 . . . 4 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ β„‹ ∈ V) β†’ normβ„Ž ∈ V)
3835, 36, 37mp2an 690 . . 3 normβ„Ž ∈ V
39 hhnv.1 . . . . 5 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
4039eleq1i 2816 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD)
41 ablogrpo 30413 . . . . . . 7 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
4232, 41ax-mp 5 . . . . . 6 +β„Ž ∈ GrpOp
43 ax-hfvadd 30866 . . . . . . 7 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
4443fdmi 6732 . . . . . 6 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
4542, 44grporn 30387 . . . . 5 β„‹ = ran +β„Ž
4645isphg 30683 . . . 4 (( +β„Ž ∈ V ∧ Β·β„Ž ∈ V ∧ normβ„Ž ∈ V) β†’ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))))
4740, 46bitrid 282 . . 3 (( +β„Ž ∈ V ∧ Β·β„Ž ∈ V ∧ normβ„Ž ∈ V) β†’ (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))))
4833, 34, 38, 47mp3an 1457 . 2 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2)))))
492, 31, 48mpbir2an 709 1 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  β„‚cc 11136  β„cr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  -cneg 11475  2c2 12297  β†‘cexp 14058  GrpOpcgr 30355  AbelOpcablo 30410  NrmCVeccnv 30450  CPreHilOLDccphlo 30678   β„‹chba 30785   +β„Ž cva 30786   Β·β„Ž csm 30787  normβ„Žcno 30789   βˆ’β„Ž cmv 30791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-hilex 30865  ax-hfvadd 30866  ax-hvcom 30867  ax-hvass 30868  ax-hv0cl 30869  ax-hvaddid 30870  ax-hfvmul 30871  ax-hvmulid 30872  ax-hvmulass 30873  ax-hvdistr1 30874  ax-hvdistr2 30875  ax-hvmul0 30876  ax-hfi 30945  ax-his1 30948  ax-his2 30949  ax-his3 30950  ax-his4 30951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-grpo 30359  df-gid 30360  df-ablo 30411  df-vc 30425  df-nv 30458  df-ph 30679  df-hnorm 30834  df-hvsub 30837
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  31046  hhhl  31070  pjhthlem2  31258
  Copyright terms: Public domain W3C validator