HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhph 29918
Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhph π‘ˆ ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem hhph
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
21hhnv 29905 . 2 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
3 normpar 29895 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
4 hvsubval 29756 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) = (π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
54fveq2d 6841 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦))))
65oveq1d 7364 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) = ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2))
76oveq2d 7365 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))
8 hvaddcl 29752 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
9 normcl 29865 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
1110recnd 11116 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1211sqcld 13975 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) ∈ β„‚)
13 hvsubcl 29757 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
14 normcl 29865 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
1514recnd 11116 . . . . . . . 8 ((π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1716sqcld 13975 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) ∈ β„‚)
1812, 17addcomd 11290 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)))
197, 18eqtr3d 2779 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)))
20 normcl 29865 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2120recnd 11116 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2221sqcld 13975 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
23 normcl 29865 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2423recnd 11116 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2524sqcld 13975 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚)
26 2cn 12161 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
27 adddi 11073 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
2826, 27mp3an1 1448 . . . . 5 ((((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
2922, 25, 28syl2an 596 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
303, 19, 293eqtr4d 2787 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
3130rgen2 3192 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2)))
32 hilablo 29900 . . . 4 +β„Ž ∈ AbelOp
3332elexi 3462 . . 3 +β„Ž ∈ V
34 hvmulex 29751 . . 3 Β·β„Ž ∈ V
35 normf 29863 . . . 4 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
36 ax-hilex 29739 . . . 4 β„‹ ∈ V
37 fex 7170 . . . 4 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ β„‹ ∈ V) β†’ normβ„Ž ∈ V)
3835, 36, 37mp2an 690 . . 3 normβ„Ž ∈ V
39 hhnv.1 . . . . 5 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
4039eleq1i 2828 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD)
41 ablogrpo 29287 . . . . . . 7 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
4232, 41ax-mp 5 . . . . . 6 +β„Ž ∈ GrpOp
43 ax-hfvadd 29740 . . . . . . 7 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
4443fdmi 6675 . . . . . 6 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
4542, 44grporn 29261 . . . . 5 β„‹ = ran +β„Ž
4645isphg 29557 . . . 4 (( +β„Ž ∈ V ∧ Β·β„Ž ∈ V ∧ normβ„Ž ∈ V) β†’ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))))
4740, 46bitrid 282 . . 3 (( +β„Ž ∈ V ∧ Β·β„Ž ∈ V ∧ normβ„Ž ∈ V) β†’ (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))))
4833, 34, 38, 47mp3an 1461 . 2 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2)))))
492, 31, 48mpbir2an 709 1 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062  Vcvv 3443  βŸ¨cop 4590   Γ— cxp 5628  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  β„‚cc 10982  β„cr 10983  1c1 10985   + caddc 10987   Β· cmul 10989  -cneg 11319  2c2 12141  β†‘cexp 13895  GrpOpcgr 29229  AbelOpcablo 29284  NrmCVeccnv 29324  CPreHilOLDccphlo 29552   β„‹chba 29659   +β„Ž cva 29660   Β·β„Ž csm 29661  normβ„Žcno 29663   βˆ’β„Ž cmv 29665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-hilex 29739  ax-hfvadd 29740  ax-hvcom 29741  ax-hvass 29742  ax-hv0cl 29743  ax-hvaddid 29744  ax-hfvmul 29745  ax-hvmulid 29746  ax-hvmulass 29747  ax-hvdistr1 29748  ax-hvdistr2 29749  ax-hvmul0 29750  ax-hfi 29819  ax-his1 29822  ax-his2 29823  ax-his3 29824  ax-his4 29825
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-seq 13835  df-exp 13896  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-grpo 29233  df-gid 29234  df-ablo 29285  df-vc 29299  df-nv 29332  df-ph 29553  df-hnorm 29708  df-hvsub 29711
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  29920  hhhl  29944  pjhthlem2  30132
  Copyright terms: Public domain W3C validator