HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhph 28491
Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
Assertion
Ref Expression
hhph 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem hhph
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . 3 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
21hhnv 28478 . 2 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3 normpar 28468 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2)) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
4 hvsubval 28329 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
54fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 𝑦)) = (norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦))))
65oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) = ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2))
76oveq2d 6858 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) = (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)))
8 hvaddcl 28325 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ)
9 normcl 28438 . . . . . . . . 9 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ ℝ)
1110recnd 10322 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ ℂ)
1211sqcld 13213 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
13 hvsubcl 28330 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) ∈ ℋ)
14 normcl 28438 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℝ)
1514recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℂ)
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℂ)
1716sqcld 13213 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
1812, 17addcomd 10492 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) = (((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2)))
197, 18eqtr3d 2801 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2)))
20 normcl 28438 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2120recnd 10322 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
2221sqcld 13213 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) ∈ ℂ)
23 normcl 28438 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
2423recnd 10322 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℂ)
2524sqcld 13213 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦)↑2) ∈ ℂ)
26 2cn 11347 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
27 adddi 10278 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ ((norm𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((norm𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
2826, 27mp3an1 1572 . . . . 5 ((((norm𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((norm𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
2922, 25, 28syl2an 589 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
303, 19, 293eqtr4d 2809 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))))
3130rgen2a 3124 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2)))
32 hilablo 28473 . . . 4 + ∈ AbelOp
3332elexi 3366 . . 3 + ∈ V
34 hvmulex 28324 . . 3 · ∈ V
35 normf 28436 . . . 4 norm: ℋ⟶ℝ
36 ax-hilex 28312 . . . 4 ℋ ∈ V
37 fex 6682 . . . 4 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → norm ∈ V)
3835, 36, 37mp2an 683 . . 3 norm ∈ V
39 hhnv.1 . . . . 5 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
4039eleq1i 2835 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD)
41 ablogrpo 27858 . . . . . . 7 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
4232, 41ax-mp 5 . . . . . 6 + ∈ GrpOp
43 ax-hfvadd 28313 . . . . . . 7 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4443fdmi 6233 . . . . . 6 dom + = ( ℋ × ℋ)
4542, 44grporn 27832 . . . . 5 ℋ = ran +
4645isphg 28128 . . . 4 (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ norm ∈ V) → (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))))))
4740, 46syl5bb 274 . . 3 (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ norm ∈ V) → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))))))
4833, 34, 38, 47mp3an 1585 . 2 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2)))))
492, 31, 48mpbir2an 702 1 𝑈 ∈ CPreHilOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  cop 4340   × cxp 5275  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  -cneg 10521  2c2 11327  cexp 13067  GrpOpcgr 27800  AbelOpcablo 27855  NrmCVeccnv 27895  CPreHilOLDccphlo 28123  chba 28232   + cva 28233   · csm 28234  normcno 28236   cmv 28238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-hilex 28312  ax-hfvadd 28313  ax-hvcom 28314  ax-hvass 28315  ax-hv0cl 28316  ax-hvaddid 28317  ax-hfvmul 28318  ax-hvmulid 28319  ax-hvmulass 28320  ax-hvdistr1 28321  ax-hvdistr2 28322  ax-hvmul0 28323  ax-hfi 28392  ax-his1 28395  ax-his2 28396  ax-his3 28397  ax-his4 28398
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-grpo 27804  df-gid 27805  df-ablo 27856  df-vc 27870  df-nv 27903  df-ph 28124  df-hnorm 28281  df-hvsub 28284
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  28493  hhhl  28517  hhssphOLD  28587  pjhthlem2  28707
  Copyright terms: Public domain W3C validator