Theorem hhph 31237

Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhph	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem hhph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2	1	hhnv 31224	. 2 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
3		normpar 31214	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
4		hvsubval 31075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
5	4	fveq2d 6833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) = (normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))))
6	5	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) = ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2))
7	6	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)))
8		hvaddcl 31071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
9		normcl 31184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
12	11	sqcld 14095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
13		hvsubcl 31076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
14		normcl 31184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcomd 11337	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)))
19	7, 18	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)))
20		normcl 31184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
22	21	sqcld 14095	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
23		normcl 31184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
25	24	sqcld 14095	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ)
26		2cn 12245	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		adddi 11116	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
28	26, 27	mp3an1 1451	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
29	22, 25, 28	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
30	3, 19, 29	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))
31	30	rgen2 3175	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2)))
32		hilablo 31219	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
33	32	elexi 3450	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ V
34		hvmulex 31070	. . 3 ⊢ ·ℎ ∈ V
35		normf 31182	. . . 4 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
36		ax-hilex 31058	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
37		fex 7170	. . . 4 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
38	35, 36, 37	mp2an 693	. . 3 ⊢ normℎ ∈ V
39		hhnv.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
40	39	eleq1i 2826	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD)
41		ablogrpo 30606	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
42	32, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
43		ax-hfvadd 31059	. . . . . . 7 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
44	43	fdmi 6668	. . . . . 6 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
45	42, 44	grporn 30580	. . . . 5 ⊢ ℋ = ran +ℎ
46	45	isphg 30876	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ∈ V ∧ ·ℎ ∈ V ∧ normℎ ∈ V) → (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))))
47	40, 46	bitrid 283	. . 3 ⊢ (( +ℎ ∈ V ∧ ·ℎ ∈ V ∧ normℎ ∈ V) → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))))
48	33, 34, 38, 47	mp3an 1464	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2)))))
49	2, 31, 48	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  Vcvv 3427  ⟨cop 4563   × cxp 5618  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  ℝcr 11026  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  -cneg 11367  2c2 12225  ↑cexp 14012  GrpOpcgr 30548  AbelOpcablo 30603  NrmCVeccnv 30643  CPreHil_OLDccphlo 30871   ℋchba 30978   +_ℎ cva 30979   ·_ℎ csm 30980  norm_ℎcno 30982   −_ℎ cmv 30984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-hilex 31058  ax-hfvadd 31059  ax-hvcom 31060  ax-hvass 31061  ax-hv0cl 31062  ax-hvaddid 31063  ax-hfvmul 31064  ax-hvmulid 31065  ax-hvmulass 31066  ax-hvdistr1 31067  ax-hvdistr2 31068  ax-hvmul0 31069  ax-hfi 31138  ax-his1 31141  ax-his2 31142  ax-his3 31143  ax-his4 31144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30552  df-gid 30553  df-ablo 30604  df-vc 30618  df-nv 30651  df-ph 30872  df-hnorm 31027  df-hvsub 31030

This theorem is referenced by:  bcsiHIL  31239  hhhl  31263  pjhthlem2  31451