HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhph 29906
Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhph π‘ˆ ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem hhph
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
21hhnv 29893 . 2 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
3 normpar 29883 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
4 hvsubval 29744 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) = (π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
54fveq2d 6842 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦))))
65oveq1d 7365 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) = ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2))
76oveq2d 7366 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))
8 hvaddcl 29740 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
9 normcl 29853 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
1110recnd 11117 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1211sqcld 13976 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) ∈ β„‚)
13 hvsubcl 29745 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
14 normcl 29853 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
1514recnd 11117 . . . . . . . 8 ((π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1716sqcld 13976 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) ∈ β„‚)
1812, 17addcomd 11291 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)))
197, 18eqtr3d 2780 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)))
20 normcl 29853 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2120recnd 11117 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2221sqcld 13976 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
23 normcl 29853 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2423recnd 11117 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2524sqcld 13976 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚)
26 2cn 12162 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
27 adddi 11074 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
2826, 27mp3an1 1449 . . . . 5 ((((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
2922, 25, 28syl2an 597 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
303, 19, 293eqtr4d 2788 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
3130rgen2 3193 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2)))
32 hilablo 29888 . . . 4 +β„Ž ∈ AbelOp
3332elexi 3463 . . 3 +β„Ž ∈ V
34 hvmulex 29739 . . 3 Β·β„Ž ∈ V
35 normf 29851 . . . 4 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
36 ax-hilex 29727 . . . 4 β„‹ ∈ V
37 fex 7171 . . . 4 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ β„‹ ∈ V) β†’ normβ„Ž ∈ V)
3835, 36, 37mp2an 691 . . 3 normβ„Ž ∈ V
39 hhnv.1 . . . . 5 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
4039eleq1i 2829 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD)
41 ablogrpo 29275 . . . . . . 7 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
4232, 41ax-mp 5 . . . . . 6 +β„Ž ∈ GrpOp
43 ax-hfvadd 29728 . . . . . . 7 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
4443fdmi 6676 . . . . . 6 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
4542, 44grporn 29249 . . . . 5 β„‹ = ran +β„Ž
4645isphg 29545 . . . 4 (( +β„Ž ∈ V ∧ Β·β„Ž ∈ V ∧ normβ„Ž ∈ V) β†’ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))))
4740, 46bitrid 283 . . 3 (( +β„Ž ∈ V ∧ Β·β„Ž ∈ V ∧ normβ„Ž ∈ V) β†’ (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))))
4833, 34, 38, 47mp3an 1462 . 2 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2)))))
492, 31, 48mpbir2an 710 1 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444  βŸ¨cop 4591   Γ— cxp 5629  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  β„‚cc 10983  β„cr 10984  1c1 10986   + caddc 10988   Β· cmul 10990  -cneg 11320  2c2 12142  β†‘cexp 13896  GrpOpcgr 29217  AbelOpcablo 29272  NrmCVeccnv 29312  CPreHilOLDccphlo 29540   β„‹chba 29647   +β„Ž cva 29648   Β·β„Ž csm 29649  normβ„Žcno 29651   βˆ’β„Ž cmv 29653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-hilex 29727  ax-hfvadd 29728  ax-hvcom 29729  ax-hvass 29730  ax-hv0cl 29731  ax-hvaddid 29732  ax-hfvmul 29733  ax-hvmulid 29734  ax-hvmulass 29735  ax-hvdistr1 29736  ax-hvdistr2 29737  ax-hvmul0 29738  ax-hfi 29807  ax-his1 29810  ax-his2 29811  ax-his3 29812  ax-his4 29813
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-grpo 29221  df-gid 29222  df-ablo 29273  df-vc 29287  df-nv 29320  df-ph 29541  df-hnorm 29696  df-hvsub 29699
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  29908  hhhl  29932  pjhthlem2  30120
  Copyright terms: Public domain W3C validator