Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhph 28888
 Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
Assertion
Ref Expression
hhph 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem hhph
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
21hhnv 28875 . 2 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3 normpar 28865 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2)) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
4 hvsubval 28726 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
54fveq2d 6673 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 𝑦)) = (norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦))))
65oveq1d 7165 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) = ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2))
76oveq2d 7166 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) = (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)))
8 hvaddcl 28722 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ)
9 normcl 28835 . . . . . . . . 9 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ ℝ)
1110recnd 10663 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ ℂ)
1211sqcld 13503 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
13 hvsubcl 28727 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) ∈ ℋ)
14 normcl 28835 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℝ)
1514recnd 10663 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝑦) ∈ ℋ → (norm‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℂ)
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℂ)
1716sqcld 13503 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
1812, 17addcomd 10836 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) = (((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2)))
197, 18eqtr3d 2863 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (((norm‘(𝑥 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2)))
20 normcl 28835 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2120recnd 10663 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
2221sqcld 13503 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) ∈ ℂ)
23 normcl 28835 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
2423recnd 10663 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℂ)
2524sqcld 13503 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦)↑2) ∈ ℂ)
26 2cn 11706 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
27 adddi 10620 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ ((norm𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((norm𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
2826, 27mp3an1 1441 . . . . 5 ((((norm𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((norm𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
2922, 25, 28syl2an 595 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))) = ((2 · ((norm𝑥)↑2)) + (2 · ((norm𝑦)↑2))))
303, 19, 293eqtr4d 2871 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))))
3130rgen2 3208 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2)))
32 hilablo 28870 . . . 4 + ∈ AbelOp
3332elexi 3519 . . 3 + ∈ V
34 hvmulex 28721 . . 3 · ∈ V
35 normf 28833 . . . 4 norm: ℋ⟶ℝ
36 ax-hilex 28709 . . . 4 ℋ ∈ V
37 fex 6986 . . . 4 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → norm ∈ V)
3835, 36, 37mp2an 688 . . 3 norm ∈ V
39 hhnv.1 . . . . 5 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
4039eleq1i 2908 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD)
41 ablogrpo 28257 . . . . . . 7 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
4232, 41ax-mp 5 . . . . . 6 + ∈ GrpOp
43 ax-hfvadd 28710 . . . . . . 7 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4443fdmi 6523 . . . . . 6 dom + = ( ℋ × ℋ)
4542, 44grporn 28231 . . . . 5 ℋ = ran +
4645isphg 28527 . . . 4 (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ norm ∈ V) → (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))))))
4740, 46syl5bb 284 . . 3 (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ norm ∈ V) → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2))))))
4833, 34, 38, 47mp3an 1454 . 2 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((norm‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((norm𝑥)↑2) + ((norm𝑦)↑2)))))
492, 31, 48mpbir2an 707 1 𝑈 ∈ CPreHilOLD
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  Vcvv 3500  ⟨cop 4570   × cxp 5552  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  -cneg 10865  2c2 11686  ↑cexp 13424  GrpOpcgr 28199  AbelOpcablo 28254  NrmCVeccnv 28294  CPreHilOLDccphlo 28522   ℋchba 28629   +ℎ cva 28630   ·ℎ csm 28631  normℎcno 28633   −ℎ cmv 28635 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-hilex 28709  ax-hfvadd 28710  ax-hvcom 28711  ax-hvass 28712  ax-hv0cl 28713  ax-hvaddid 28714  ax-hfvmul 28715  ax-hvmulid 28716  ax-hvmulass 28717  ax-hvdistr1 28718  ax-hvdistr2 28719  ax-hvmul0 28720  ax-hfi 28789  ax-his1 28792  ax-his2 28793  ax-his3 28794  ax-his4 28795 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-grpo 28203  df-gid 28204  df-ablo 28255  df-vc 28269  df-nv 28302  df-ph 28523  df-hnorm 28678  df-hvsub 28681 This theorem is referenced by:  bcsiHIL  28890  hhhl  28914  pjhthlem2  29102
 Copyright terms: Public domain W3C validator