HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhph 30975
Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhph π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Proof of Theorem hhph
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . 3 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
21hhnv 30962 . 2 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
3 normpar 30952 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
4 hvsubval 30813 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) = (π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
54fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦))))
65oveq1d 7429 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) = ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2))
76oveq2d 7430 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))
8 hvaddcl 30809 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
9 normcl 30922 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
1110recnd 11264 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1211sqcld 14132 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) ∈ β„‚)
13 hvsubcl 30814 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
14 normcl 30922 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ ℝ)
1514recnd 11264 . . . . . . . 8 ((π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ β„‚)
1716sqcld 14132 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) ∈ β„‚)
1812, 17addcomd 11438 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)))
197, 18eqtr3d 2769 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2)))
20 normcl 30922 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2120recnd 11264 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2221sqcld 14132 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
23 normcl 30922 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2423recnd 11264 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2524sqcld 14132 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚)
26 2cn 12309 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
27 adddi 11219 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
2826, 27mp3an1 1445 . . . . 5 ((((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
2922, 25, 28syl2an 595 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))) = ((2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2)) + (2 Β· ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
303, 19, 293eqtr4d 2777 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))
3130rgen2 3192 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2)))
32 hilablo 30957 . . . 4 +β„Ž ∈ AbelOp
3332elexi 3489 . . 3 +β„Ž ∈ V
34 hvmulex 30808 . . 3 Β·β„Ž ∈ V
35 normf 30920 . . . 4 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
36 ax-hilex 30796 . . . 4 β„‹ ∈ V
37 fex 7232 . . . 4 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ β„‹ ∈ V) β†’ normβ„Ž ∈ V)
3835, 36, 37mp2an 691 . . 3 normβ„Ž ∈ V
39 hhnv.1 . . . . 5 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
4039eleq1i 2819 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD)
41 ablogrpo 30344 . . . . . . 7 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
4232, 41ax-mp 5 . . . . . 6 +β„Ž ∈ GrpOp
43 ax-hfvadd 30797 . . . . . . 7 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
4443fdmi 6728 . . . . . 6 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
4542, 44grporn 30318 . . . . 5 β„‹ = ran +β„Ž
4645isphg 30614 . . . 4 (( +β„Ž ∈ V ∧ Β·β„Ž ∈ V ∧ normβ„Ž ∈ V) β†’ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))))
4740, 46bitrid 283 . . 3 (( +β„Ž ∈ V ∧ Β·β„Ž ∈ V ∧ normβ„Ž ∈ V) β†’ (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2))))))
4833, 34, 38, 47mp3an 1458 . 2 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) + ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((normβ„Žβ€˜π‘₯)↑2) + ((normβ„Žβ€˜π‘¦)↑2)))))
492, 31, 48mpbir2an 710 1 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  -cneg 11467  2c2 12289  β†‘cexp 14050  GrpOpcgr 30286  AbelOpcablo 30341  NrmCVeccnv 30381  CPreHilOLDccphlo 30609   β„‹chba 30716   +β„Ž cva 30717   Β·β„Ž csm 30718  normβ„Žcno 30720   βˆ’β„Ž cmv 30722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-hilex 30796  ax-hfvadd 30797  ax-hvcom 30798  ax-hvass 30799  ax-hv0cl 30800  ax-hvaddid 30801  ax-hfvmul 30802  ax-hvmulid 30803  ax-hvmulass 30804  ax-hvdistr1 30805  ax-hvdistr2 30806  ax-hvmul0 30807  ax-hfi 30876  ax-his1 30879  ax-his2 30880  ax-his3 30881  ax-his4 30882
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-grpo 30290  df-gid 30291  df-ablo 30342  df-vc 30356  df-nv 30389  df-ph 30610  df-hnorm 30765  df-hvsub 30768
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  30977  hhhl  31001  pjhthlem2  31189
  Copyright terms: Public domain W3C validator