Theorem hhph 31249

Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhph	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem hhph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2	1	hhnv 31236	. 2 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
3		normpar 31226	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
4		hvsubval 31087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
5	4	fveq2d 6845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) = (normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))))
6	5	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) = ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2))
7	6	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)))
8		hvaddcl 31083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
9		normcl 31196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
12	11	sqcld 14106	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
13		hvsubcl 31088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
14		normcl 31196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14106	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcomd 11348	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)))
19	7, 18	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)))
20		normcl 31196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
22	21	sqcld 14106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
23		normcl 31196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
25	24	sqcld 14106	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ)
26		2cn 12256	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		adddi 11127	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
28	26, 27	mp3an1 1451	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
29	22, 25, 28	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
30	3, 19, 29	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))
31	30	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2)))
32		hilablo 31231	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
33	32	elexi 3453	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ V
34		hvmulex 31082	. . 3 ⊢ ·ℎ ∈ V
35		normf 31194	. . . 4 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
36		ax-hilex 31070	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
37		fex 7181	. . . 4 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
38	35, 36, 37	mp2an 693	. . 3 ⊢ normℎ ∈ V
39		hhnv.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
40	39	eleq1i 2828	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD)
41		ablogrpo 30618	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
42	32, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
43		ax-hfvadd 31071	. . . . . . 7 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
44	43	fdmi 6680	. . . . . 6 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
45	42, 44	grporn 30592	. . . . 5 ⊢ ℋ = ran +ℎ
46	45	isphg 30888	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ∈ V ∧ ·ℎ ∈ V ∧ normℎ ∈ V) → (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))))
47	40, 46	bitrid 283	. . 3 ⊢ (( +ℎ ∈ V ∧ ·ℎ ∈ V ∧ normℎ ∈ V) → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))))
48	33, 34, 38, 47	mp3an 1464	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2)))))
49	2, 31, 48	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  ⟨cop 4574   × cxp 5629  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  -cneg 11378  2c2 12236  ↑cexp 14023  GrpOpcgr 30560  AbelOpcablo 30615  NrmCVeccnv 30655  CPreHil_OLDccphlo 30883   ℋchba 30990   +_ℎ cva 30991   ·_ℎ csm 30992  norm_ℎcno 30994   −_ℎ cmv 30996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-ph 30884  df-hnorm 31039  df-hvsub 31042

This theorem is referenced by:  bcsiHIL  31251  hhhl  31275  pjhthlem2  31463