Theorem hhph 28961

Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhph	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem hhph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2	1	hhnv 28948	. 2 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
3		normpar 28938	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
4		hvsubval 28799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
5	4	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) = (normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))))
6	5	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) = ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2))
7	6	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)))
8		hvaddcl 28795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
9		normcl 28908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
12	11	sqcld 13504	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
13		hvsubcl 28800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
14		normcl 28908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 13504	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcomd 10831	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)))
19	7, 18	eqtr3d 2835	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)))
20		normcl 28908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
21	20	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
22	21	sqcld 13504	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
23		normcl 28908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
24	23	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
25	24	sqcld 13504	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ)
26		2cn 11700	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		adddi 10615	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
28	26, 27	mp3an1 1445	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
29	22, 25, 28	syl2an 598	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
30	3, 19, 29	3eqtr4d 2843	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))
31	30	rgen2 3168	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2)))
32		hilablo 28943	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
33	32	elexi 3460	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ V
34		hvmulex 28794	. . 3 ⊢ ·ℎ ∈ V
35		normf 28906	. . . 4 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
36		ax-hilex 28782	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
37		fex 6966	. . . 4 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
38	35, 36, 37	mp2an 691	. . 3 ⊢ normℎ ∈ V
39		hhnv.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
40	39	eleq1i 2880	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD)
41		ablogrpo 28330	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
42	32, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
43		ax-hfvadd 28783	. . . . . . 7 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
44	43	fdmi 6498	. . . . . 6 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
45	42, 44	grporn 28304	. . . . 5 ⊢ ℋ = ran +ℎ
46	45	isphg 28600	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ∈ V ∧ ·ℎ ∈ V ∧ normℎ ∈ V) → (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))))
47	40, 46	syl5bb 286	. . 3 ⊢ (( +ℎ ∈ V ∧ ·ℎ ∈ V ∧ normℎ ∈ V) → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))))
48	33, 34, 38, 47	mp3an 1458	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2)))))
49	2, 31, 48	mpbir2an 710	1 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441  ⟨cop 4531   × cxp 5517  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  -cneg 10860  2c2 11680  ↑cexp 13425  GrpOpcgr 28272  AbelOpcablo 28327  NrmCVeccnv 28367  CPreHil_OLDccphlo 28595   ℋchba 28702   +_ℎ cva 28703   ·_ℎ csm 28704  norm_ℎcno 28706   −_ℎ cmv 28708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-hilex 28782  ax-hfvadd 28783  ax-hvcom 28784  ax-hvass 28785  ax-hv0cl 28786  ax-hvaddid 28787  ax-hfvmul 28788  ax-hvmulid 28789  ax-hvmulass 28790  ax-hvdistr1 28791  ax-hvdistr2 28792  ax-hvmul0 28793  ax-hfi 28862  ax-his1 28865  ax-his2 28866  ax-his3 28867  ax-his4 28868

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-ph 28596  df-hnorm 28751  df-hvsub 28754

This theorem is referenced by:  bcsiHIL  28963  hhhl  28987  pjhthlem2  29175