HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhshsslem1 28675
Description: Lemma for hhsssh 28677. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhsst.2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssp3.3 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4 𝐻 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
hhshsslem1 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Proof of Theorem hhshsslem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . 4 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
2 eqid 2825 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
31, 2bafval 28010 . . 3 (BaseSet‘𝑊) = ran ( +𝑣𝑊)
4 hhsst.1 . . . . . . 7 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
54hhnv 28573 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
6 hhssp3.3 . . . . . 6 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
7 eqid 2825 . . . . . . 7 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
87sspnv 28132 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
95, 6, 8mp2an 683 . . . . 5 𝑊 ∈ NrmCVec
102nvgrp 28023 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑊) ∈ GrpOp)
11 grporndm 27916 . . . . 5 (( +𝑣𝑊) ∈ GrpOp → ran ( +𝑣𝑊) = dom dom ( +𝑣𝑊))
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4 ran ( +𝑣𝑊) = dom dom ( +𝑣𝑊)
13 hhsst.2 . . . . . . . . . 10 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
1413fveq2i 6440 . . . . . . . . 9 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
15 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
1615vafval 28009 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = (1st ‘(1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩))
17 opex 5155 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
18 normf 28531 . . . . . . . . . . . . . . 15 norm: ℋ⟶ℝ
19 ax-hilex 28407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℋ ∈ V
20 fex 6750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → norm ∈ V)
2118, 19, 20mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . 14 norm ∈ V
2221resex 5684 . . . . . . . . . . . . 13 (norm𝐻) ∈ V
2317, 22op1st 7441 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
2423fveq2i 6440 . . . . . . . . . . 11 (1st ‘(1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)) = (1st ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
25 hilablo 28568 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ AbelOp
26 resexg 5683 . . . . . . . . . . . . 13 ( + ∈ AbelOp → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
28 hvmulex 28419 . . . . . . . . . . . . 13 · ∈ V
2928resex 5684 . . . . . . . . . . . 12 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
3027, 29op1st 7441 . . . . . . . . . . 11 (1st ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3124, 30eqtri 2849 . . . . . . . . . 10 (1st ‘(1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3216, 31eqtri 2849 . . . . . . . . 9 ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3314, 32eqtri 2849 . . . . . . . 8 ( +𝑣𝑊) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3433dmeqi 5561 . . . . . . 7 dom ( +𝑣𝑊) = dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
35 hhssp3.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ ℋ
36 xpss12 5361 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
3735, 35, 36mp2an 683 . . . . . . . . 9 (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
38 ax-hfvadd 28408 . . . . . . . . . 10 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3938fdmi 6292 . . . . . . . . 9 dom + = ( ℋ × ℋ)
4037, 39sseqtr4i 3863 . . . . . . . 8 (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +
41 ssdmres 5660 . . . . . . . 8 ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom + ↔ dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
4240, 41mpbi 222 . . . . . . 7 dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
4334, 42eqtri 2849 . . . . . 6 dom ( +𝑣𝑊) = (𝐻 × 𝐻)
4443dmeqi 5561 . . . . 5 dom dom ( +𝑣𝑊) = dom (𝐻 × 𝐻)
45 dmxpid 5581 . . . . 5 dom (𝐻 × 𝐻) = 𝐻
4644, 45eqtri 2849 . . . 4 dom dom ( +𝑣𝑊) = 𝐻
4712, 46eqtri 2849 . . 3 ran ( +𝑣𝑊) = 𝐻
483, 47eqtri 2849 . 2 (BaseSet‘𝑊) = 𝐻
4948eqcomi 2834 1 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1656  wcel 2164  Vcvv 3414  wss 3798  cop 4405   × cxp 5344  dom cdm 5346  ran crn 5347  cres 5348  wf 6123  cfv 6127  1st c1st 7431  cc 10257  cr 10258  GrpOpcgr 27895  AbelOpcablo 27950  NrmCVeccnv 27990   +𝑣 cpv 27991  BaseSetcba 27992  SubSpcss 28127  chba 28327   + cva 28328   · csm 28329  normcno 28331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvmulass 28415  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-grpo 27899  df-gid 27900  df-ablo 27951  df-vc 27965  df-nv 27998  df-va 28001  df-ba 28002  df-sm 28003  df-0v 28004  df-nmcv 28006  df-ssp 28128  df-hnorm 28376  df-hvsub 28379
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  28676  hhssba  28679
  Copyright terms: Public domain W3C validator