HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhshsslem1 30558
Description: Lemma for hhsssh 30560. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
hhsst.2 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
hhssp3.3 π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)
hhssp3.4 𝐻 βŠ† β„‹
Assertion
Ref Expression
hhshsslem1 𝐻 = (BaseSetβ€˜π‘Š)
Proof of Theorem hhshsslem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
2 eqid 2732 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
31, 2bafval 29895 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘Š) = ran ( +𝑣 β€˜π‘Š)
4 hhsst.1 . . . . . . 7 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
54hhnv 30456 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
6 hhssp3.3 . . . . . 6 π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2732 . . . . . . 7 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
87sspnv 30017 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
95, 6, 8mp2an 690 . . . . 5 π‘Š ∈ NrmCVec
102nvgrp 29908 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ ( +𝑣 β€˜π‘Š) ∈ GrpOp)
11 grporndm 29801 . . . . 5 (( +𝑣 β€˜π‘Š) ∈ GrpOp β†’ ran ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š))
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4 ran ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š)
13 hhsst.2 . . . . . . . . . 10 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
1413fveq2i 6894 . . . . . . . . 9 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
1615vafval 29894 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = (1st β€˜(1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩))
17 opex 5464 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩ ∈ V
18 normf 30414 . . . . . . . . . . . . . . 15 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
19 ax-hilex 30290 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‹ ∈ V
20 fex 7230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ β„‹ ∈ V) β†’ normβ„Ž ∈ V)
2118, 19, 20mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 normβ„Ž ∈ V
2221resex 6029 . . . . . . . . . . . . 13 (normβ„Ž β†Ύ 𝐻) ∈ V
2317, 22op1st 7985 . . . . . . . . . . . 12 (1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩
2423fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 (1st β€˜(1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)) = (1st β€˜βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩)
25 hilablo 30451 . . . . . . . . . . . . 13 +β„Ž ∈ AbelOp
26 resexg 6027 . . . . . . . . . . . . 13 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ V
28 hvmulex 30302 . . . . . . . . . . . . 13 Β·β„Ž ∈ V
2928resex 6029 . . . . . . . . . . . 12 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) ∈ V
3027, 29op1st 7985 . . . . . . . . . . 11 (1st β€˜βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3124, 30eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 (1st β€˜(1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3216, 31eqtri 2760 . . . . . . . . 9 ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3314, 32eqtri 2760 . . . . . . . 8 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3433dmeqi 5904 . . . . . . 7 dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
35 hhssp3.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 βŠ† β„‹
36 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 βŠ† β„‹ ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† ( β„‹ Γ— β„‹))
3735, 35, 36mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† ( β„‹ Γ— β„‹)
38 ax-hfvadd 30291 . . . . . . . . . 10 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
3938fdmi 6729 . . . . . . . . 9 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
4037, 39sseqtrri 4019 . . . . . . . 8 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† dom +β„Ž
41 ssdmres 6004 . . . . . . . 8 ((𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† dom +β„Ž ↔ dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = (𝐻 Γ— 𝐻))
4240, 41mpbi 229 . . . . . . 7 dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = (𝐻 Γ— 𝐻)
4334, 42eqtri 2760 . . . . . 6 dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = (𝐻 Γ— 𝐻)
4443dmeqi 5904 . . . . 5 dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom (𝐻 Γ— 𝐻)
45 dmxpid 5929 . . . . 5 dom (𝐻 Γ— 𝐻) = 𝐻
4644, 45eqtri 2760 . . . 4 dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = 𝐻
4712, 46eqtri 2760 . . 3 ran ( +𝑣 β€˜π‘Š) = 𝐻
483, 47eqtri 2760 . 2 (BaseSetβ€˜π‘Š) = 𝐻
4948eqcomi 2741 1 𝐻 = (BaseSetβ€˜π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  1st c1st 7975  β„‚cc 11110  β„cr 11111  GrpOpcgr 29780  AbelOpcablo 29835  NrmCVeccnv 29875   +𝑣 cpv 29876  BaseSetcba 29877  SubSpcss 30012   β„‹chba 30210   +β„Ž cva 30211   Β·β„Ž csm 30212  normβ„Žcno 30214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-nmcv 29891  df-ssp 30013  df-hnorm 30259  df-hvsub 30262
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  30559  hhssba  30562
  Copyright terms: Public domain W3C validator