HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhshsslem1 28971
Description: Lemma for hhsssh 28973. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhsst.2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssp3.3 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4 𝐻 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
hhshsslem1 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Proof of Theorem hhshsslem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . 4 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
2 eqid 2818 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
31, 2bafval 28308 . . 3 (BaseSet‘𝑊) = ran ( +𝑣𝑊)
4 hhsst.1 . . . . . . 7 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
54hhnv 28869 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
6 hhssp3.3 . . . . . 6 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
7 eqid 2818 . . . . . . 7 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
87sspnv 28430 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
95, 6, 8mp2an 688 . . . . 5 𝑊 ∈ NrmCVec
102nvgrp 28321 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑊) ∈ GrpOp)
11 grporndm 28214 . . . . 5 (( +𝑣𝑊) ∈ GrpOp → ran ( +𝑣𝑊) = dom dom ( +𝑣𝑊))
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4 ran ( +𝑣𝑊) = dom dom ( +𝑣𝑊)
13 hhsst.2 . . . . . . . . . 10 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
1413fveq2i 6666 . . . . . . . . 9 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
15 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
1615vafval 28307 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = (1st ‘(1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩))
17 opex 5347 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
18 normf 28827 . . . . . . . . . . . . . . 15 norm: ℋ⟶ℝ
19 ax-hilex 28703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℋ ∈ V
20 fex 6980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → norm ∈ V)
2118, 19, 20mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 norm ∈ V
2221resex 5892 . . . . . . . . . . . . 13 (norm𝐻) ∈ V
2317, 22op1st 7686 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
2423fveq2i 6666 . . . . . . . . . . 11 (1st ‘(1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)) = (1st ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
25 hilablo 28864 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ AbelOp
26 resexg 5891 . . . . . . . . . . . . 13 ( + ∈ AbelOp → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
28 hvmulex 28715 . . . . . . . . . . . . 13 · ∈ V
2928resex 5892 . . . . . . . . . . . 12 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
3027, 29op1st 7686 . . . . . . . . . . 11 (1st ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3124, 30eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 (1st ‘(1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3216, 31eqtri 2841 . . . . . . . . 9 ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3314, 32eqtri 2841 . . . . . . . 8 ( +𝑣𝑊) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3433dmeqi 5766 . . . . . . 7 dom ( +𝑣𝑊) = dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
35 hhssp3.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ ℋ
36 xpss12 5563 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
3735, 35, 36mp2an 688 . . . . . . . . 9 (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
38 ax-hfvadd 28704 . . . . . . . . . 10 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3938fdmi 6517 . . . . . . . . 9 dom + = ( ℋ × ℋ)
4037, 39sseqtrri 4001 . . . . . . . 8 (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +
41 ssdmres 5869 . . . . . . . 8 ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom + ↔ dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
4240, 41mpbi 231 . . . . . . 7 dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
4334, 42eqtri 2841 . . . . . 6 dom ( +𝑣𝑊) = (𝐻 × 𝐻)
4443dmeqi 5766 . . . . 5 dom dom ( +𝑣𝑊) = dom (𝐻 × 𝐻)
45 dmxpid 5793 . . . . 5 dom (𝐻 × 𝐻) = 𝐻
4644, 45eqtri 2841 . . . 4 dom dom ( +𝑣𝑊) = 𝐻
4712, 46eqtri 2841 . . 3 ran ( +𝑣𝑊) = 𝐻
483, 47eqtri 2841 . 2 (BaseSet‘𝑊) = 𝐻
4948eqcomi 2827 1 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933  cop 4563   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  1st c1st 7676  cc 10523  cr 10524  GrpOpcgr 28193  AbelOpcablo 28248  NrmCVeccnv 28288   +𝑣 cpv 28289  BaseSetcba 28290  SubSpcss 28425  chba 28623   + cva 28624   · csm 28625  normcno 28627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-nmcv 28304  df-ssp 28426  df-hnorm 28672  df-hvsub 28675
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  28972  hhssba  28975
  Copyright terms: Public domain W3C validator