Theorem hhshsslem1 31299

Description: Lemma for hhsssh 31301. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssp3.3	⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem1	⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Proof of Theorem hhshsslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
3	1, 2	bafval 30636	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = ran ( +𝑣 ‘𝑊)
4		hhsst.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
5	4	hhnv 31197	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
6		hhssp3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
7		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
8	7	sspnv 30758	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
9	5, 6, 8	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
10	2	nvgrp 30649	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑊) ∈ GrpOp)
11		grporndm 30542	. . . . 5 ⊢ (( +𝑣 ‘𝑊) ∈ GrpOp → ran ( +𝑣 ‘𝑊) = dom dom ( +𝑣 ‘𝑊))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ran ( +𝑣 ‘𝑊) = dom dom ( +𝑣 ‘𝑊)
13		hhsst.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
14	13	fveq2i 6923	. . . . . . . . 9 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
15		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
16	15	vafval 30635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩))
17		opex 5484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
18		normf 31155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
19		ax-hilex 31031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℋ ∈ V
20		fex 7263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
21	18, 19, 20	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ normℎ ∈ V
22	21	resex 6058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ∈ V
23	17, 22	op1st 8038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
24	23	fveq2i 6923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)) = (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
25		hilablo 31192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
26		resexg 6056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
28		hvmulex 31043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ·ℎ ∈ V
29	28	resex 6058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
30	27, 29	op1st 8038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
31	24, 30	eqtri 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
32	16, 31	eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
33	14, 32	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
34	33	dmeqi 5929	. . . . . . 7 ⊢ dom ( +𝑣 ‘𝑊) = dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
35		hhssp3.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
36		xpss12 5715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
37	35, 35, 36	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
38		ax-hfvadd 31032	. . . . . . . . . 10 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
39	38	fdmi 6758	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
40	37, 39	sseqtrri 4046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ
41		ssdmres 6042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ ↔ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
42	40, 41	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
43	34, 42	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ dom ( +𝑣 ‘𝑊) = (𝐻 × 𝐻)
44	43	dmeqi 5929	. . . . 5 ⊢ dom dom ( +𝑣 ‘𝑊) = dom (𝐻 × 𝐻)
45		dmxpid 5955	. . . . 5 ⊢ dom (𝐻 × 𝐻) = 𝐻
46	44, 45	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ dom dom ( +𝑣 ‘𝑊) = 𝐻
47	12, 46	eqtri 2768	. . 3 ⊢ ran ( +𝑣 ‘𝑊) = 𝐻
48	3, 47	eqtri 2768	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = 𝐻
49	48	eqcomi 2749	1 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ⟨cop 4654   × cxp 5698  dom cdm 5700  ran crn 5701   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  1^st c1st 8028  ℂcc 11182  ℝcr 11183  GrpOpcgr 30521  AbelOpcablo 30576  NrmCVeccnv 30616   +_𝑣 cpv 30617  BaseSetcba 30618  SubSpcss 30753   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953  norm_ℎcno 30955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-nmcv 30632  df-ssp 30754  df-hnorm 31000  df-hvsub 31003

This theorem is referenced by:  hhshsslem2  31300  hhssba  31303