Theorem hhshsslem1 31619

Description: Lemma for hhsssh 31621. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssp3.3	⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem1	⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Proof of Theorem hhshsslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
3	1, 2	bafval 30956	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = ran ( +𝑣 ‘𝑊)
4		hhsst.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
5	4	hhnv 31517	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
6		hhssp3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
8	7	sspnv 31078	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
9	5, 6, 8	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
10	2	nvgrp 30969	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑊) ∈ GrpOp)
11		grporndm 30862	. . . . 5 ⊢ (( +𝑣 ‘𝑊) ∈ GrpOp → ran ( +𝑣 ‘𝑊) = dom dom ( +𝑣 ‘𝑊))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ran ( +𝑣 ‘𝑊) = dom dom ( +𝑣 ‘𝑊)
13		hhsst.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
14	13	fveq2i 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
15		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
16	15	vafval 30955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩))
17		opex 5445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
18		normf 31475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
19		ax-hilex 31351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℋ ∈ V
20		fex 7224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
21	18, 19, 20	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ normℎ ∈ V
22	21	resex 6028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ∈ V
23	17, 22	op1st 7990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
24	23	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)) = (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
25		hilablo 31512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
26		resexg 6026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
28		hvmulex 31363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ·ℎ ∈ V
29	28	resex 6028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
30	27, 29	op1st 7990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
31	24, 30	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
32	16, 31	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
33	14, 32	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
34	33	dmeqi 5894	. . . . . . 7 ⊢ dom ( +𝑣 ‘𝑊) = dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
35		hhssp3.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
36		xpss12 5676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
37	35, 35, 36	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
38		ax-hfvadd 31352	. . . . . . . . . 10 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
39	38	fdmi 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
40	37, 39	sseqtrri 3986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ
41		ssdmres 6012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ ↔ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
42	40, 41	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
43	34, 42	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ dom ( +𝑣 ‘𝑊) = (𝐻 × 𝐻)
44	43	dmeqi 5894	. . . . 5 ⊢ dom dom ( +𝑣 ‘𝑊) = dom (𝐻 × 𝐻)
45		dmxpid 5920	. . . . 5 ⊢ dom (𝐻 × 𝐻) = 𝐻
46	44, 45	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ dom dom ( +𝑣 ‘𝑊) = 𝐻
47	12, 46	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ran ( +𝑣 ‘𝑊) = 𝐻
48	3, 47	eqtri 2786	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = 𝐻
49	48	eqcomi 2772	1 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ⟨cop 4595   × cxp 5659  dom cdm 5661  ran crn 5662   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  1^st c1st 7980  ℂcc 11093  ℝcr 11094  GrpOpcgr 30841  AbelOpcablo 30896  NrmCVeccnv 30936   +_𝑣 cpv 30937  BaseSetcba 30938  SubSpcss 31073   ℋchba 31271   +_ℎ cva 31272   ·_ℎ csm 31273  norm_ℎcno 31275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hvcom 31353  ax-hvass 31354  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358  ax-hvmulass 31359  ax-hvdistr1 31360  ax-hvdistr2 31361  ax-hvmul0 31362  ax-hfi 31431  ax-his1 31434  ax-his2 31435  ax-his3 31436  ax-his4 31437

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-nmcv 30952  df-ssp 31074  df-hnorm 31320  df-hvsub 31323

This theorem is referenced by:  hhshsslem2  31620  hhssba  31623