HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhshsslem1 30520
Description: Lemma for hhsssh 30522. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
hhsst.2 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
hhssp3.3 π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)
hhssp3.4 𝐻 βŠ† β„‹
Assertion
Ref Expression
hhshsslem1 𝐻 = (BaseSetβ€˜π‘Š)
Proof of Theorem hhshsslem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
2 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
31, 2bafval 29857 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘Š) = ran ( +𝑣 β€˜π‘Š)
4 hhsst.1 . . . . . . 7 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
54hhnv 30418 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
6 hhssp3.3 . . . . . 6 π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
87sspnv 29979 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
95, 6, 8mp2an 691 . . . . 5 π‘Š ∈ NrmCVec
102nvgrp 29870 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ ( +𝑣 β€˜π‘Š) ∈ GrpOp)
11 grporndm 29763 . . . . 5 (( +𝑣 β€˜π‘Š) ∈ GrpOp β†’ ran ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š))
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4 ran ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š)
13 hhsst.2 . . . . . . . . . 10 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
1413fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
1615vafval 29856 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = (1st β€˜(1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩))
17 opex 5465 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩ ∈ V
18 normf 30376 . . . . . . . . . . . . . . 15 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
19 ax-hilex 30252 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‹ ∈ V
20 fex 7228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ β„‹ ∈ V) β†’ normβ„Ž ∈ V)
2118, 19, 20mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 normβ„Ž ∈ V
2221resex 6030 . . . . . . . . . . . . 13 (normβ„Ž β†Ύ 𝐻) ∈ V
2317, 22op1st 7983 . . . . . . . . . . . 12 (1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩
2423fveq2i 6895 . . . . . . . . . . 11 (1st β€˜(1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)) = (1st β€˜βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩)
25 hilablo 30413 . . . . . . . . . . . . 13 +β„Ž ∈ AbelOp
26 resexg 6028 . . . . . . . . . . . . 13 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ V
28 hvmulex 30264 . . . . . . . . . . . . 13 Β·β„Ž ∈ V
2928resex 6030 . . . . . . . . . . . 12 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) ∈ V
3027, 29op1st 7983 . . . . . . . . . . 11 (1st β€˜βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3124, 30eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (1st β€˜(1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3216, 31eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3314, 32eqtri 2761 . . . . . . . 8 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3433dmeqi 5905 . . . . . . 7 dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
35 hhssp3.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 βŠ† β„‹
36 xpss12 5692 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 βŠ† β„‹ ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† ( β„‹ Γ— β„‹))
3735, 35, 36mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† ( β„‹ Γ— β„‹)
38 ax-hfvadd 30253 . . . . . . . . . 10 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
3938fdmi 6730 . . . . . . . . 9 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
4037, 39sseqtrri 4020 . . . . . . . 8 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† dom +β„Ž
41 ssdmres 6005 . . . . . . . 8 ((𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† dom +β„Ž ↔ dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = (𝐻 Γ— 𝐻))
4240, 41mpbi 229 . . . . . . 7 dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = (𝐻 Γ— 𝐻)
4334, 42eqtri 2761 . . . . . 6 dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = (𝐻 Γ— 𝐻)
4443dmeqi 5905 . . . . 5 dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom (𝐻 Γ— 𝐻)
45 dmxpid 5930 . . . . 5 dom (𝐻 Γ— 𝐻) = 𝐻
4644, 45eqtri 2761 . . . 4 dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = 𝐻
4712, 46eqtri 2761 . . 3 ran ( +𝑣 β€˜π‘Š) = 𝐻
483, 47eqtri 2761 . 2 (BaseSetβ€˜π‘Š) = 𝐻
4948eqcomi 2742 1 𝐻 = (BaseSetβ€˜π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  1st c1st 7973  β„‚cc 11108  β„cr 11109  GrpOpcgr 29742  AbelOpcablo 29797  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839  SubSpcss 29974   β„‹chba 30172   +β„Ž cva 30173   Β·β„Ž csm 30174  normβ„Žcno 30176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-ssp 29975  df-hnorm 30221  df-hvsub 30224
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  30521  hhssba  30524
  Copyright terms: Public domain W3C validator