Theorem hhshsslem1 31356

Description: Lemma for hhsssh 31358. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssp3.3	⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem1	⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Proof of Theorem hhshsslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
3	1, 2	bafval 30693	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = ran ( +𝑣 ‘𝑊)
4		hhsst.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
5	4	hhnv 31254	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
6		hhssp3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
8	7	sspnv 30815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
9	5, 6, 8	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
10	2	nvgrp 30706	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑊) ∈ GrpOp)
11		grporndm 30599	. . . . 5 ⊢ (( +𝑣 ‘𝑊) ∈ GrpOp → ran ( +𝑣 ‘𝑊) = dom dom ( +𝑣 ‘𝑊))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ran ( +𝑣 ‘𝑊) = dom dom ( +𝑣 ‘𝑊)
13		hhsst.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
14	13	fveq2i 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
16	15	vafval 30692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩))
17		opex 5412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
18		normf 31212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
19		ax-hilex 31088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℋ ∈ V
20		fex 7175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
21	18, 19, 20	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ normℎ ∈ V
22	21	resex 5989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ∈ V
23	17, 22	op1st 7944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
24	23	fveq2i 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)) = (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
25		hilablo 31249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
26		resexg 5987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
28		hvmulex 31100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ·ℎ ∈ V
29	28	resex 5989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
30	27, 29	op1st 7944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
31	24, 30	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
32	16, 31	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
33	14, 32	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
34	33	dmeqi 5854	. . . . . . 7 ⊢ dom ( +𝑣 ‘𝑊) = dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
35		hhssp3.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
36		xpss12 5640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
37	35, 35, 36	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
38		ax-hfvadd 31089	. . . . . . . . . 10 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
39	38	fdmi 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
40	37, 39	sseqtrri 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ
41		ssdmres 5973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ ↔ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
42	40, 41	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
43	34, 42	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ dom ( +𝑣 ‘𝑊) = (𝐻 × 𝐻)
44	43	dmeqi 5854	. . . . 5 ⊢ dom dom ( +𝑣 ‘𝑊) = dom (𝐻 × 𝐻)
45		dmxpid 5880	. . . . 5 ⊢ dom (𝐻 × 𝐻) = 𝐻
46	44, 45	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ dom dom ( +𝑣 ‘𝑊) = 𝐻
47	12, 46	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ran ( +𝑣 ‘𝑊) = 𝐻
48	3, 47	eqtri 2760	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = 𝐻
49	48	eqcomi 2746	1 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ⟨cop 4574   × cxp 5623  dom cdm 5625  ran crn 5626   ↾ cres 5627  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  1^st c1st 7934  ℂcc 11030  ℝcr 11031  GrpOpcgr 30578  AbelOpcablo 30633  NrmCVeccnv 30673   +_𝑣 cpv 30674  BaseSetcba 30675  SubSpcss 30810   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   ·_ℎ csm 31010  norm_ℎcno 31012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689  df-ssp 30811  df-hnorm 31057  df-hvsub 31060

This theorem is referenced by:  hhshsslem2  31357  hhssba  31360