HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhshsslem1 30258
Description: Lemma for hhsssh 30260. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
hhsst.2 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
hhssp3.3 π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)
hhssp3.4 𝐻 βŠ† β„‹
Assertion
Ref Expression
hhshsslem1 𝐻 = (BaseSetβ€˜π‘Š)

Proof of Theorem hhshsslem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
2 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
31, 2bafval 29595 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘Š) = ran ( +𝑣 β€˜π‘Š)
4 hhsst.1 . . . . . . 7 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
54hhnv 30156 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
6 hhssp3.3 . . . . . 6 π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
87sspnv 29717 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
95, 6, 8mp2an 691 . . . . 5 π‘Š ∈ NrmCVec
102nvgrp 29608 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ ( +𝑣 β€˜π‘Š) ∈ GrpOp)
11 grporndm 29501 . . . . 5 (( +𝑣 β€˜π‘Š) ∈ GrpOp β†’ ran ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š))
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4 ran ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š)
13 hhsst.2 . . . . . . . . . 10 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
1413fveq2i 6849 . . . . . . . . 9 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
1615vafval 29594 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = (1st β€˜(1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩))
17 opex 5425 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩ ∈ V
18 normf 30114 . . . . . . . . . . . . . . 15 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
19 ax-hilex 29990 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‹ ∈ V
20 fex 7180 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ β„‹ ∈ V) β†’ normβ„Ž ∈ V)
2118, 19, 20mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 normβ„Ž ∈ V
2221resex 5989 . . . . . . . . . . . . 13 (normβ„Ž β†Ύ 𝐻) ∈ V
2317, 22op1st 7933 . . . . . . . . . . . 12 (1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩
2423fveq2i 6849 . . . . . . . . . . 11 (1st β€˜(1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)) = (1st β€˜βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩)
25 hilablo 30151 . . . . . . . . . . . . 13 +β„Ž ∈ AbelOp
26 resexg 5987 . . . . . . . . . . . . 13 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ V
28 hvmulex 30002 . . . . . . . . . . . . 13 Β·β„Ž ∈ V
2928resex 5989 . . . . . . . . . . . 12 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) ∈ V
3027, 29op1st 7933 . . . . . . . . . . 11 (1st β€˜βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3124, 30eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (1st β€˜(1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3216, 31eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3314, 32eqtri 2761 . . . . . . . 8 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
3433dmeqi 5864 . . . . . . 7 dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
35 hhssp3.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 βŠ† β„‹
36 xpss12 5652 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 βŠ† β„‹ ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† ( β„‹ Γ— β„‹))
3735, 35, 36mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† ( β„‹ Γ— β„‹)
38 ax-hfvadd 29991 . . . . . . . . . 10 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
3938fdmi 6684 . . . . . . . . 9 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
4037, 39sseqtrri 3985 . . . . . . . 8 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† dom +β„Ž
41 ssdmres 5964 . . . . . . . 8 ((𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† dom +β„Ž ↔ dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = (𝐻 Γ— 𝐻))
4240, 41mpbi 229 . . . . . . 7 dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = (𝐻 Γ— 𝐻)
4334, 42eqtri 2761 . . . . . 6 dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = (𝐻 Γ— 𝐻)
4443dmeqi 5864 . . . . 5 dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = dom (𝐻 Γ— 𝐻)
45 dmxpid 5889 . . . . 5 dom (𝐻 Γ— 𝐻) = 𝐻
4644, 45eqtri 2761 . . . 4 dom dom ( +𝑣 β€˜π‘Š) = 𝐻
4712, 46eqtri 2761 . . 3 ran ( +𝑣 β€˜π‘Š) = 𝐻
483, 47eqtri 2761 . 2 (BaseSetβ€˜π‘Š) = 𝐻
4948eqcomi 2742 1 𝐻 = (BaseSetβ€˜π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βŸ¨cop 4596   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  1st c1st 7923  β„‚cc 11057  β„cr 11058  GrpOpcgr 29480  AbelOpcablo 29535  NrmCVeccnv 29575   +𝑣 cpv 29576  BaseSetcba 29577  SubSpcss 29712   β„‹chba 29910   +β„Ž cva 29911   Β·β„Ž csm 29912  normβ„Žcno 29914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-nmcv 29591  df-ssp 29713  df-hnorm 29959  df-hvsub 29962
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  30259  hhssba  30262
  Copyright terms: Public domain W3C validator