HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhshsslem1 31149
Description: Lemma for hhsssh 31151. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhsst.2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssp3.3 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4 𝐻 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
hhshsslem1 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Proof of Theorem hhshsslem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . 4 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
2 eqid 2725 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
31, 2bafval 30486 . . 3 (BaseSet‘𝑊) = ran ( +𝑣𝑊)
4 hhsst.1 . . . . . . 7 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
54hhnv 31047 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
6 hhssp3.3 . . . . . 6 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
7 eqid 2725 . . . . . . 7 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
87sspnv 30608 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
95, 6, 8mp2an 690 . . . . 5 𝑊 ∈ NrmCVec
102nvgrp 30499 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑊) ∈ GrpOp)
11 grporndm 30392 . . . . 5 (( +𝑣𝑊) ∈ GrpOp → ran ( +𝑣𝑊) = dom dom ( +𝑣𝑊))
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4 ran ( +𝑣𝑊) = dom dom ( +𝑣𝑊)
13 hhsst.2 . . . . . . . . . 10 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
1413fveq2i 6899 . . . . . . . . 9 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
15 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
1615vafval 30485 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = (1st ‘(1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩))
17 opex 5466 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
18 normf 31005 . . . . . . . . . . . . . . 15 norm: ℋ⟶ℝ
19 ax-hilex 30881 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℋ ∈ V
20 fex 7238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → norm ∈ V)
2118, 19, 20mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 norm ∈ V
2221resex 6034 . . . . . . . . . . . . 13 (norm𝐻) ∈ V
2317, 22op1st 8002 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
2423fveq2i 6899 . . . . . . . . . . 11 (1st ‘(1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)) = (1st ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
25 hilablo 31042 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ AbelOp
26 resexg 6032 . . . . . . . . . . . . 13 ( + ∈ AbelOp → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
28 hvmulex 30893 . . . . . . . . . . . . 13 · ∈ V
2928resex 6034 . . . . . . . . . . . 12 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
3027, 29op1st 8002 . . . . . . . . . . 11 (1st ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3124, 30eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 (1st ‘(1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3216, 31eqtri 2753 . . . . . . . . 9 ( +𝑣 ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3314, 32eqtri 2753 . . . . . . . 8 ( +𝑣𝑊) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
3433dmeqi 5907 . . . . . . 7 dom ( +𝑣𝑊) = dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
35 hhssp3.4 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ ℋ
36 xpss12 5693 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
3735, 35, 36mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
38 ax-hfvadd 30882 . . . . . . . . . 10 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3938fdmi 6734 . . . . . . . . 9 dom + = ( ℋ × ℋ)
4037, 39sseqtrri 4014 . . . . . . . 8 (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +
41 ssdmres 6018 . . . . . . . 8 ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom + ↔ dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
4240, 41mpbi 229 . . . . . . 7 dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
4334, 42eqtri 2753 . . . . . 6 dom ( +𝑣𝑊) = (𝐻 × 𝐻)
4443dmeqi 5907 . . . . 5 dom dom ( +𝑣𝑊) = dom (𝐻 × 𝐻)
45 dmxpid 5932 . . . . 5 dom (𝐻 × 𝐻) = 𝐻
4644, 45eqtri 2753 . . . 4 dom dom ( +𝑣𝑊) = 𝐻
4712, 46eqtri 2753 . . 3 ran ( +𝑣𝑊) = 𝐻
483, 47eqtri 2753 . 2 (BaseSet‘𝑊) = 𝐻
4948eqcomi 2734 1 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  wss 3944  cop 4636   × cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  wf 6545  cfv 6549  1st c1st 7992  cc 11138  cr 11139  GrpOpcgr 30371  AbelOpcablo 30426  NrmCVeccnv 30466   +𝑣 cpv 30467  BaseSetcba 30468  SubSpcss 30603  chba 30801   + cva 30802   · csm 30803  normcno 30805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966  ax-his4 30967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-nmcv 30482  df-ssp 30604  df-hnorm 30850  df-hvsub 30853
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  31150  hhssba  31153
  Copyright terms: Public domain W3C validator