Theorem hhshsslem1 31560

Description: Lemma for hhsssh 31562. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssp3.3	⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem1	⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Proof of Theorem hhshsslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
3	1, 2	bafval 30897	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = ran ( +𝑣 ‘𝑊)
4		hhsst.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
5	4	hhnv 31458	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
6		hhssp3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
7		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
8	7	sspnv 31019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
9	5, 6, 8	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
10	2	nvgrp 30910	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑊) ∈ GrpOp)
11		grporndm 30803	. . . . 5 ⊢ (( +𝑣 ‘𝑊) ∈ GrpOp → ran ( +𝑣 ‘𝑊) = dom dom ( +𝑣 ‘𝑊))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ran ( +𝑣 ‘𝑊) = dom dom ( +𝑣 ‘𝑊)
13		hhsst.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
14	13	fveq2i 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
15		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
16	15	vafval 30896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩))
17		opex 5446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
18		normf 31416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
19		ax-hilex 31292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℋ ∈ V
20		fex 7225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
21	18, 19, 20	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ normℎ ∈ V
22	21	resex 6029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ∈ V
23	17, 22	op1st 7994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
24	23	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)) = (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
25		hilablo 31453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
26		resexg 6027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
28		hvmulex 31304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ·ℎ ∈ V
29	28	resex 6029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
30	27, 29	op1st 7994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
31	24, 30	eqtri 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
32	16, 31	eqtri 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
33	14, 32	eqtri 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
34	33	dmeqi 5895	. . . . . . 7 ⊢ dom ( +𝑣 ‘𝑊) = dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
35		hhssp3.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
36		xpss12 5677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
37	35, 35, 36	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
38		ax-hfvadd 31293	. . . . . . . . . 10 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
39	38	fdmi 6718	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
40	37, 39	sseqtrri 3994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ
41		ssdmres 6013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ ↔ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
42	40, 41	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
43	34, 42	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ dom ( +𝑣 ‘𝑊) = (𝐻 × 𝐻)
44	43	dmeqi 5895	. . . . 5 ⊢ dom dom ( +𝑣 ‘𝑊) = dom (𝐻 × 𝐻)
45		dmxpid 5921	. . . . 5 ⊢ dom (𝐻 × 𝐻) = 𝐻
46	44, 45	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ dom dom ( +𝑣 ‘𝑊) = 𝐻
47	12, 46	eqtri 2792	. . 3 ⊢ ran ( +𝑣 ‘𝑊) = 𝐻
48	3, 47	eqtri 2792	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = 𝐻
49	48	eqcomi 2778	1 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ⟨cop 4600   × cxp 5660  dom cdm 5662  ran crn 5663   ↾ cres 5664  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  1^st c1st 7984  ℂcc 11098  ℝcr 11099  GrpOpcgr 30782  AbelOpcablo 30837  NrmCVeccnv 30877   +_𝑣 cpv 30878  BaseSetcba 30879  SubSpcss 31014   ℋchba 31212   +_ℎ cva 31213   ·_ℎ csm 31214  norm_ℎcno 31216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-hilex 31292  ax-hfvadd 31293  ax-hvcom 31294  ax-hvass 31295  ax-hv0cl 31296  ax-hvaddid 31297  ax-hfvmul 31298  ax-hvmulid 31299  ax-hvmulass 31300  ax-hvdistr1 31301  ax-hvdistr2 31302  ax-hvmul0 31303  ax-hfi 31372  ax-his1 31375  ax-his2 31376  ax-his3 31377  ax-his4 31378

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ablo 30838  df-vc 30852  df-nv 30885  df-va 30888  df-ba 30889  df-sm 30890  df-0v 30891  df-nmcv 30893  df-ssp 31015  df-hnorm 31261  df-hvsub 31264

This theorem is referenced by:  hhshsslem2  31561  hhssba  31564