Theorem hhshsslem1 31203

Description: Lemma for hhsssh 31205. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssp3.3	⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem1	⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Proof of Theorem hhshsslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
3	1, 2	bafval 30540	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = ran ( +𝑣 ‘𝑊)
4		hhsst.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
5	4	hhnv 31101	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
6		hhssp3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
7		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
8	7	sspnv 30662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
9	5, 6, 8	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
10	2	nvgrp 30553	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑊) ∈ GrpOp)
11		grporndm 30446	. . . . 5 ⊢ (( +𝑣 ‘𝑊) ∈ GrpOp → ran ( +𝑣 ‘𝑊) = dom dom ( +𝑣 ‘𝑊))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ran ( +𝑣 ‘𝑊) = dom dom ( +𝑣 ‘𝑊)
13		hhsst.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
14	13	fveq2i 6864	. . . . . . . . 9 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
15		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
16	15	vafval 30539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩))
17		opex 5427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
18		normf 31059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
19		ax-hilex 30935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℋ ∈ V
20		fex 7203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
21	18, 19, 20	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ normℎ ∈ V
22	21	resex 6003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ∈ V
23	17, 22	op1st 7979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
24	23	fveq2i 6864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)) = (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
25		hilablo 31096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
26		resexg 6001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
28		hvmulex 30947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ·ℎ ∈ V
29	28	resex 6003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
30	27, 29	op1st 7979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
31	24, 30	eqtri 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1st ‘(1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
32	16, 31	eqtri 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ ( +𝑣 ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
33	14, 32	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
34	33	dmeqi 5871	. . . . . . 7 ⊢ dom ( +𝑣 ‘𝑊) = dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
35		hhssp3.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
36		xpss12 5656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
37	35, 35, 36	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
38		ax-hfvadd 30936	. . . . . . . . . 10 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
39	38	fdmi 6702	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
40	37, 39	sseqtrri 3999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ
41		ssdmres 5987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +ℎ ↔ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
42	40, 41	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ dom ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
43	34, 42	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ dom ( +𝑣 ‘𝑊) = (𝐻 × 𝐻)
44	43	dmeqi 5871	. . . . 5 ⊢ dom dom ( +𝑣 ‘𝑊) = dom (𝐻 × 𝐻)
45		dmxpid 5897	. . . . 5 ⊢ dom (𝐻 × 𝐻) = 𝐻
46	44, 45	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ dom dom ( +𝑣 ‘𝑊) = 𝐻
47	12, 46	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ran ( +𝑣 ‘𝑊) = 𝐻
48	3, 47	eqtri 2753	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = 𝐻
49	48	eqcomi 2739	1 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ⟨cop 4598   × cxp 5639  dom cdm 5641  ran crn 5642   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  1^st c1st 7969  ℂcc 11073  ℝcr 11074  GrpOpcgr 30425  AbelOpcablo 30480  NrmCVeccnv 30520   +_𝑣 cpv 30521  BaseSetcba 30522  SubSpcss 30657   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857  norm_ℎcno 30859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-nmcv 30536  df-ssp 30658  df-hnorm 30904  df-hvsub 30907

This theorem is referenced by:  hhshsslem2  31204  hhssba  31207