HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssva Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssva 31190
Description: The vector addition operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhss.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
Assertion
Ref Expression
hhssva ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣𝑊)

Proof of Theorem hhssva
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
21vafval 30536 . 2 ( +𝑣𝑊) = (1st ‘(1st𝑊))
3 hhss.1 . . . . 5 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
43fveq2i 6904 . . . 4 (1st𝑊) = (1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
5 opex 5470 . . . . 5 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
6 normf 31056 . . . . . . 7 norm: ℋ⟶ℝ
7 ax-hilex 30932 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
8 fex 7243 . . . . . . 7 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → norm ∈ V)
96, 7, 8mp2an 690 . . . . . 6 norm ∈ V
109resex 6038 . . . . 5 (norm𝐻) ∈ V
115, 10op1st 8011 . . . 4 (1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
124, 11eqtri 2754 . . 3 (1st𝑊) = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
1312fveq2i 6904 . 2 (1st ‘(1st𝑊)) = (1st ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
14 hilablo 31093 . . . 4 + ∈ AbelOp
15 resexg 6036 . . . 4 ( + ∈ AbelOp → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
17 hvmulex 30944 . . . 4 · ∈ V
1817resex 6038 . . 3 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
1916, 18op1st 8011 . 2 (1st ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
202, 13, 193eqtrri 2759 1 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cop 4639   × cxp 5680  cres 5684  wf 6550  cfv 6554  1st c1st 8001  cc 11156  cr 11157  AbelOpcablo 30477   +𝑣 cpv 30518  chba 30852   + cva 30853   · csm 30854  normcno 30856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-hilex 30932  ax-hfvadd 30933  ax-hvcom 30934  ax-hvass 30935  ax-hv0cl 30936  ax-hvaddid 30937  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulid 30939  ax-hvdistr2 30942  ax-hvmul0 30943  ax-hfi 31012  ax-his1 31015  ax-his3 31017  ax-his4 31018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-grpo 30426  df-ablo 30478  df-va 30528  df-hnorm 30901  df-hvsub 30904
This theorem is referenced by:  hhsst  31199  hhsssh2  31203
  Copyright terms: Public domain W3C validator