Theorem hhssva 31241

Description: The vector addition operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhss.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhssva	⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)

Proof of Theorem hhssva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
2	1	vafval 30587	. 2 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = (1st ‘(1st ‘𝑊))
3		hhss.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
4	3	fveq2i 6833	. . . 4 ⊢ (1st ‘𝑊) = (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
5		opex 5409	. . . . 5 ⊢ ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
6		normf 31107	. . . . . . 7 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
7		ax-hilex 30983	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
8		fex 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ normℎ ∈ V
10	9	resex 5984	. . . . 5 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ∈ V
11	5, 10	op1st 7937	. . . 4 ⊢ (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
12	4, 11	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (1st ‘𝑊) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
13	12	fveq2i 6833	. 2 ⊢ (1st ‘(1st ‘𝑊)) = (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
14		hilablo 31144	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
15		resexg 5982	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
17		hvmulex 30995	. . . 4 ⊢ ·ℎ ∈ V
18	17	resex 5984	. . 3 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
19	16, 18	op1st 7937	. 2 ⊢ (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
20	2, 13, 19	3eqtrri 2761	1 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ⟨cop 4583   × cxp 5619   ↾ cres 5623  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  1^st c1st 7927  ℂcc 11013  ℝcr 11014  AbelOpcablo 30528   +_𝑣 cpv 30569   ℋchba 30903   +_ℎ cva 30904   ·_ℎ csm 30905  norm_ℎcno 30907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-hilex 30983  ax-hfvadd 30984  ax-hvcom 30985  ax-hvass 30986  ax-hv0cl 30987  ax-hvaddid 30988  ax-hfvmul 30989  ax-hvmulid 30990  ax-hvdistr2 30993  ax-hvmul0 30994  ax-hfi 31063  ax-his1 31066  ax-his3 31068  ax-his4 31069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-grpo 30477  df-ablo 30529  df-va 30579  df-hnorm 30952  df-hvsub 30955

This theorem is referenced by:  hhsst  31250  hhsssh2  31254