Theorem hhssva 31638

Description: The vector addition operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhss.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhssva	⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)

Proof of Theorem hhssva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
2	1	vafval 30984	. 2 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = (1st ‘(1st ‘𝑊))
3		hhss.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
4	3	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (1st ‘𝑊) = (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
5		opex 5447	. . . . 5 ⊢ ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
6		normf 31504	. . . . . . 7 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
7		ax-hilex 31380	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
8		fex 7228	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ normℎ ∈ V
10	9	resex 6030	. . . . 5 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ∈ V
11	5, 10	op1st 7996	. . . 4 ⊢ (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
12	4, 11	eqtri 2788	. . 3 ⊢ (1st ‘𝑊) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
13	12	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (1st ‘(1st ‘𝑊)) = (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
14		hilablo 31541	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
15		resexg 6028	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
17		hvmulex 31392	. . . 4 ⊢ ·ℎ ∈ V
18	17	resex 6030	. . 3 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
19	16, 18	op1st 7996	. 2 ⊢ (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
20	2, 13, 19	3eqtrri 2793	1 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ⟨cop 4597   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  1^st c1st 7986  ℂcc 11109  ℝcr 11110  AbelOpcablo 30925   +_𝑣 cpv 30966   ℋchba 31300   +_ℎ cva 31301   ·_ℎ csm 31302  norm_ℎcno 31304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-hilex 31380  ax-hfvadd 31381  ax-hvcom 31382  ax-hvass 31383  ax-hv0cl 31384  ax-hvaddid 31385  ax-hfvmul 31386  ax-hvmulid 31387  ax-hvdistr2 31390  ax-hvmul0 31391  ax-hfi 31460  ax-his1 31463  ax-his3 31465  ax-his4 31466

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-grpo 30874  df-ablo 30926  df-va 30976  df-hnorm 31349  df-hvsub 31352

This theorem is used by:  hhsst  31647  hhsssh2  31651