Theorem hhssva 31905

Description: The vector addition operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhss.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhssva	⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)

Proof of Theorem hhssva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
2	1	vafval 31251	. 2 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = (1st ‘(1st ‘𝑊))
3		hhss.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
4	3	fveq2i 6917	. . . 4 ⊢ (1st ‘𝑊) = (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
5		opex 5437	. . . . 5 ⊢ ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
6		normf 31771	. . . . . . 7 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
7		ax-hilex 31647	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
8		fex 7261	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ normℎ ∈ V
10	9	resex 6034	. . . . 5 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ∈ V
11	5, 10	op1st 8041	. . . 4 ⊢ (1st ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
12	4, 11	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (1st ‘𝑊) = ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
13	12	fveq2i 6917	. 2 ⊢ (1st ‘(1st ‘𝑊)) = (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
14		hilablo 31808	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
15		resexg 6032	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
17		hvmulex 31659	. . . 4 ⊢ ·ℎ ∈ V
18	17	resex 6034	. . 3 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
19	16, 18	op1st 8041	. 2 ⊢ (1st ‘⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
20	2, 13, 19	3eqtrri 2791	1 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⟨cop 4838   × cxp 5654   ↾ cres 5658  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  1^st c1st 8031  ℂcc 11235  ℝcr 11236  AbelOpcablo 31192   +_𝑣 cpv 31233   ℋchba 31567   +_ℎ cva 31568   ·_ℎ csm 31569  norm_ℎcno 31571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-hilex 31647  ax-hfvadd 31648  ax-hvcom 31649  ax-hvass 31650  ax-hv0cl 31651  ax-hvaddid 31652  ax-hfvmul 31653  ax-hvmulid 31654  ax-hvdistr2 31657  ax-hvmul0 31658  ax-hfi 31727  ax-his1 31730  ax-his3 31732  ax-his4 31733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-grpo 31141  df-ablo 31193  df-va 31243  df-hnorm 31616  df-hvsub 31619

This theorem is used by:  hhsst  31914  hhsssh2  31918