HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsssm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhsssm 30944
Description: The scalar multiplication operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhss.1 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
Assertion
Ref Expression
hhsssm ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
Proof of Theorem hhsssm
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
21smfval 30291 . 2 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = (2nd β€˜(1st β€˜π‘Š))
3 hhss.1 . . . . 5 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
43fveq2i 6894 . . . 4 (1st β€˜π‘Š) = (1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
5 opex 5464 . . . . 5 ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩ ∈ V
6 normf 30809 . . . . . . 7 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
7 ax-hilex 30685 . . . . . . 7 β„‹ ∈ V
8 fex 7230 . . . . . . 7 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ β„‹ ∈ V) β†’ normβ„Ž ∈ V)
96, 7, 8mp2an 689 . . . . . 6 normβ„Ž ∈ V
109resex 6029 . . . . 5 (normβ„Ž β†Ύ 𝐻) ∈ V
115, 10op1st 7987 . . . 4 (1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩
124, 11eqtri 2759 . . 3 (1st β€˜π‘Š) = ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩
1312fveq2i 6894 . 2 (2nd β€˜(1st β€˜π‘Š)) = (2nd β€˜βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩)
14 hilablo 30846 . . . 4 +β„Ž ∈ AbelOp
15 resexg 6027 . . . 4 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ V)
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ V
17 hvmulex 30697 . . . 4 Β·β„Ž ∈ V
1817resex 6029 . . 3 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) ∈ V
1916, 18op2nd 7988 . 2 (2nd β€˜βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩) = ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))
202, 13, 193eqtrri 2764 1 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  β„‚cc 11114  β„cr 11115  AbelOpcablo 30230   ·𝑠OLD cns 30273   β„‹chba 30605   +β„Ž cva 30606   Β·β„Ž csm 30607  normβ„Žcno 30609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-hilex 30685  ax-hfvadd 30686  ax-hvcom 30687  ax-hvass 30688  ax-hv0cl 30689  ax-hvaddid 30690  ax-hfvmul 30691  ax-hvmulid 30692  ax-hvdistr2 30695  ax-hvmul0 30696  ax-hfi 30765  ax-his1 30768  ax-his3 30770  ax-his4 30771
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-grpo 30179  df-ablo 30231  df-sm 30283  df-hnorm 30654  df-hvsub 30657
This theorem is referenced by:  hhsst  30952  hhsssh2  30956
  Copyright terms: Public domain W3C validator