HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsssm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhsssm 30499
Description: The scalar multiplication operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhss.1 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
Assertion
Ref Expression
hhsssm ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
Proof of Theorem hhsssm
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
21smfval 29846 . 2 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = (2nd β€˜(1st β€˜π‘Š))
3 hhss.1 . . . . 5 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
43fveq2i 6892 . . . 4 (1st β€˜π‘Š) = (1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
5 opex 5464 . . . . 5 ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩ ∈ V
6 normf 30364 . . . . . . 7 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
7 ax-hilex 30240 . . . . . . 7 β„‹ ∈ V
8 fex 7225 . . . . . . 7 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ β„‹ ∈ V) β†’ normβ„Ž ∈ V)
96, 7, 8mp2an 691 . . . . . 6 normβ„Ž ∈ V
109resex 6028 . . . . 5 (normβ„Ž β†Ύ 𝐻) ∈ V
115, 10op1st 7980 . . . 4 (1st β€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩) = ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩
124, 11eqtri 2761 . . 3 (1st β€˜π‘Š) = ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩
1312fveq2i 6892 . 2 (2nd β€˜(1st β€˜π‘Š)) = (2nd β€˜βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩)
14 hilablo 30401 . . . 4 +β„Ž ∈ AbelOp
15 resexg 6026 . . . 4 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ V)
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ V
17 hvmulex 30252 . . . 4 Β·β„Ž ∈ V
1817resex 6028 . . 3 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) ∈ V
1916, 18op2nd 7981 . 2 (2nd β€˜βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩) = ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))
202, 13, 193eqtrri 2766 1 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  1st c1st 7970  2nd c2nd 7971  β„‚cc 11105  β„cr 11106  AbelOpcablo 29785   ·𝑠OLD cns 29828   β„‹chba 30160   +β„Ž cva 30161   Β·β„Ž csm 30162  normβ„Žcno 30164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-hilex 30240  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hv0cl 30244  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251  ax-hfi 30320  ax-his1 30323  ax-his3 30325  ax-his4 30326
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-grpo 29734  df-ablo 29786  df-sm 29838  df-hnorm 30209  df-hvsub 30212
This theorem is referenced by:  hhsst  30507  hhsssh2  30511
  Copyright terms: Public domain W3C validator