Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsssm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhsssm 29044
 Description: The scalar multiplication operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhss.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
Assertion
Ref Expression
hhsssm ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD𝑊)

Proof of Theorem hhsssm
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
21smfval 28391 . 2 ( ·𝑠OLD𝑊) = (2nd ‘(1st𝑊))
3 hhss.1 . . . . 5 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
43fveq2i 6652 . . . 4 (1st𝑊) = (1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
5 opex 5324 . . . . 5 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
6 normf 28909 . . . . . . 7 norm: ℋ⟶ℝ
7 ax-hilex 28785 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
8 fex 6970 . . . . . . 7 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → norm ∈ V)
96, 7, 8mp2an 691 . . . . . 6 norm ∈ V
109resex 5870 . . . . 5 (norm𝐻) ∈ V
115, 10op1st 7683 . . . 4 (1st ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
124, 11eqtri 2824 . . 3 (1st𝑊) = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
1312fveq2i 6652 . 2 (2nd ‘(1st𝑊)) = (2nd ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩)
14 hilablo 28946 . . . 4 + ∈ AbelOp
15 resexg 5868 . . . 4 ( + ∈ AbelOp → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V)
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ V
17 hvmulex 28797 . . . 4 · ∈ V
1817resex 5870 . . 3 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ∈ V
1916, 18op2nd 7684 . 2 (2nd ‘⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩) = ( · ↾ (ℂ × 𝐻))
202, 13, 193eqtrri 2829 1 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444  ⟨cop 4534   × cxp 5521   ↾ cres 5525  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  ℂcc 10528  ℝcr 10529  AbelOpcablo 28330   ·𝑠OLD cns 28373   ℋchba 28705   +ℎ cva 28706   ·ℎ csm 28707  normℎcno 28709 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his3 28870  ax-his4 28871 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-grpo 28279  df-ablo 28331  df-sm 28383  df-hnorm 28754  df-hvsub 28757 This theorem is referenced by:  hhsst  29052  hhsssh2  29056
 Copyright terms: Public domain W3C validator