Theorem eliocre 45491

Description: A member of a left-open right-closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliocre	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eliocre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioc 13271	. . . . . . 7 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx3g 13279	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
3	2	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
4	3	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		mnfxr 11191	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
10	4	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		mnfle 13055	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
13	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
15	9, 10, 5, 12, 14	xrlelttrd 13080	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ < 𝐶)
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → -∞ < 𝐶)
17	13	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
18	17	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
19		xrre 13089	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	6, 7, 16, 18, 19	syl22anc 838	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,]cioc 13267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioc 13271

This theorem is referenced by: (None)