Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliocre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliocre 42085
 Description: A member of a left-open right-closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
eliocre ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eliocre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioc 12731 . . . . . . 7 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
21elixx3g 12739 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
32biimpi 219 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
43simpld 498 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
54simp3d 1141 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
65adantl 485 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 simpl 486 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 mnfxr 10687 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
104simp1d 1139 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11 mnfle 12517 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
133simprd 499 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
1413simpld 498 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
159, 10, 5, 12, 14xrlelttrd 12541 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ < 𝐶)
1615adantl 485 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → -∞ < 𝐶)
1713simprd 499 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶𝐵)
1817adantl 485 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
19 xrre 12550 . 2 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
206, 7, 16, 18, 19syl22anc 837 1 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  ℝcr 10525  -∞cmnf 10662  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  (,]cioc 12727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioc 12731 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator