Theorem eliocre 46038

Description: A member of a left-open right-closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliocre	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eliocre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioc 13349	. . . . . . 7 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx3g 13357	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
3	2	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
4	3	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1156	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6	5	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		mnfxr 11234	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
10	4	simp1d 1154	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		mnfle 13132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
13	3	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
14	13	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
15	9, 10, 5, 12, 14	xrlelttrd 13157	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ < 𝐶)
16	15	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → -∞ < 𝐶)
17	13	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
18	17	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
19		xrre 13167	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	6, 7, 16, 18, 19	syl22anc 849	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7390  ℝcr 11067  -∞cmnf 11209  ℝ^*cxr 11210   < clt 11211   ≤ cle 11212  (,]cioc 13345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-ioc 13349

This theorem is referenced by: (None)