Theorem eliocre 42937

Description: A member of a left-open right-closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliocre	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eliocre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioc 13013	. . . . . . 7 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx3g 13021	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
3	2	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
4	3	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1142	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		mnfxr 10963	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
10	4	simp1d 1140	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		mnfle 12799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
13	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
15	9, 10, 5, 12, 14	xrlelttrd 12823	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ < 𝐶)
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → -∞ < 𝐶)
17	13	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
18	17	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
19		xrre 12832	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	6, 7, 16, 18, 19	syl22anc 835	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,]cioc 13009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ioc 13013

This theorem is referenced by: (None)