Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliocre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliocre 43754
Description: A member of a left-open right-closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
eliocre ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eliocre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioc 13270 . . . . . . 7 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
21elixx3g 13278 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
32biimpi 215 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
43simpld 496 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
54simp3d 1145 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
65adantl 483 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 simpl 484 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 mnfxr 11213 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
104simp1d 1143 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11 mnfle 13056 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
133simprd 497 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
1413simpld 496 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
159, 10, 5, 12, 14xrlelttrd 13080 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ < 𝐶)
1615adantl 483 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → -∞ < 𝐶)
1713simprd 497 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶𝐵)
1817adantl 483 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
19 xrre 13089 . 2 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
206, 7, 16, 18, 19syl22anc 838 1 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  -∞cmnf 11188  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191  (,]cioc 13266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-ioc 13270
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator