Theorem eliocre 45462

Description: A member of a left-open right-closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliocre	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eliocre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioc 13389	. . . . . . 7 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx3g 13397	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
3	2	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
4	3	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1143	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		mnfxr 11316	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
10	4	simp1d 1141	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		mnfle 13174	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
13	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
15	9, 10, 5, 12, 14	xrlelttrd 13199	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ < 𝐶)
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → -∞ < 𝐶)
17	13	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
18	17	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
19		xrre 13208	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	6, 7, 16, 18, 19	syl22anc 839	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  (,]cioc 13385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ioc 13389

This theorem is referenced by: (None)