Theorem preimaicomnf 46951

Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaicomnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
preimaicomnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaicomnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaicomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaicomnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2	1	ffnd 6663	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fncnvima2 7006	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
5		mnfxr 11189	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7		preimaicomnf.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
10		icoltub 45750	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵)
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
13	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
14	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	1	ffvelcdmda 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
17	15	mnfled 13050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵)
20	13, 14, 16, 18, 19	elicod 13311	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) < 𝐵 → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)))
22	12, 21	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
23	22	rabbidva 3405	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
24	4, 23	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   class class class wbr 5098  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  [,)cico 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ico 13267

This theorem is referenced by:  preimaioomnf  46959