Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaicomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaicomnf 41409
Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaicomnf.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
preimaicomnf.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaicomnf (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaicomnf
StepHypRef Expression
1 preimaicomnf.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
21ffnd 6264 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 6568 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
5 mnfxr 10388 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaicomnf.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
87ad2antrr 708 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9 simpr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
10 icoltub 40220 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹𝑥) < 𝐵)
116, 8, 9, 10syl3anc 1483 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹𝑥) < 𝐵)
1211ex 399 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) → (𝐹𝑥) < 𝐵))
135a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
147ad2antrr 708 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
151ffvelrnda 6588 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1615adantr 468 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1715mnfled 40094 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ ≤ (𝐹𝑥))
1817adantr 468 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → -∞ ≤ (𝐹𝑥))
19 simpr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → (𝐹𝑥) < 𝐵)
2013, 14, 16, 18, 19elicod 12449 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
2120ex 399 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) < 𝐵 → (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)))
2212, 21impbid 203 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2322rabbidva 3389 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
244, 23eqtrd 2851 1 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  {crab 3111   class class class wbr 4855  ccnv 5321  cima 5325   Fn wfn 6103  wf 6104  cfv 6108  (class class class)co 6881  -∞cmnf 10364  *cxr 10365   < clt 10366  cle 10367  [,)cico 12402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5230  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-ico 12406
This theorem is referenced by:  preimaioomnf  41416
  Copyright terms: Public domain W3C validator