Theorem preimaicomnf 47161

Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaicomnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
preimaicomnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaicomnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaicomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaicomnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2	1	ffnd 6663	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fncnvima2 7009	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
5		mnfxr 11200	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7		preimaicomnf.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	7	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
10		icoltub 45960	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵)
12	11	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
13	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
14	7	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	1	ffvelcdmda 7032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
16	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
17	15	mnfled 13085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
19		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵)
20	13, 14, 16, 18, 19	elicod 13346	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
21	20	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) < 𝐵 → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)))
22	12, 21	impbid 213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
23	22	rabbidva 3398	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
24	4, 23	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392   class class class wbr 5079  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  -∞cmnf 11175  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178  [,)cico 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-ico 13302

This theorem is referenced by:  preimaioomnf  47169