Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaicomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaicomnf 46012
Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaicomnf.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
preimaicomnf.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaicomnf (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem preimaicomnf
StepHypRef Expression
1 preimaicomnf.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
21ffnd 6717 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 7064 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)})
42, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)})
5 mnfxr 11287 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaicomnf.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
87ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
9 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡))
10 icoltub 44806 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)
116, 8, 9, 10syl3anc 1369 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)
1211ex 412 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡))
135a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
147ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
151ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1615adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1715mnfled 13133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -∞ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1817adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ -∞ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
19 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)
2013, 14, 16, 18, 19elicod 13392 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡))
2120ex 412 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)))
2212, 21impbid 211 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡))
2322rabbidva 3434 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
244, 23eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427   class class class wbr 5142  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  -∞cmnf 11262  β„*cxr 11263   < clt 11264   ≀ cle 11265  [,)cico 13344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-ico 13348
This theorem is referenced by:  preimaioomnf  46020
  Copyright terms: Public domain W3C validator