Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaicomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaicomnf 45038
Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaicomnf.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
preimaicomnf.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaicomnf (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem preimaicomnf
StepHypRef Expression
1 preimaicomnf.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
21ffnd 6670 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 7012 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)})
42, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)})
5 mnfxr 11217 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaicomnf.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
87ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
9 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡))
10 icoltub 43832 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)
116, 8, 9, 10syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)
1211ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡))
135a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
147ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
151ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1615adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1715mnfled 13061 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -∞ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1817adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ -∞ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
19 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)
2013, 14, 16, 18, 19elicod 13320 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡))
2120ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)))
2212, 21impbid 211 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡))
2322rabbidva 3413 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
244, 23eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  -∞cmnf 11192  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  [,)cico 13272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ico 13276
This theorem is referenced by:  preimaioomnf  45046
  Copyright terms: Public domain W3C validator