Theorem preimaicomnf 42984

Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaicomnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
preimaicomnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaicomnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaicomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaicomnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2	1	ffnd 6509	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fncnvima2 6825	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
5		mnfxr 10692	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7		preimaicomnf.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
10		icoltub 41777	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵)
12	11	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
13	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
14	7	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	1	ffvelrnda 6845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
16	15	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
17	15	mnfled 41653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
18	17	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
19		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → (𝐹‘𝑥) < 𝐵)
20	13, 14, 16, 18, 19	elicod 12781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
21	20	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) < 𝐵 → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)))
22	12, 21	impbid 214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
23	22	rabbidva 3478	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
24	4, 23	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   class class class wbr 5058  ^◡ccnv 5548   “ cima 5552   Fn wfn 6344  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  -∞cmnf 10667  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  [,)cico 12734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12738

This theorem is referenced by:  preimaioomnf  42991