Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaicomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaicomnf 45413
Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaicomnf.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
preimaicomnf.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaicomnf (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem preimaicomnf
StepHypRef Expression
1 preimaicomnf.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
21ffnd 6715 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 7059 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)})
42, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)})
5 mnfxr 11267 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaicomnf.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
87ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
9 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡))
10 icoltub 44207 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)
116, 8, 9, 10syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)
1211ex 413 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡))
135a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
147ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
151ffvelcdmda 7083 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1615adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1715mnfled 13111 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -∞ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1817adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ -∞ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
19 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)
2013, 14, 16, 18, 19elicod 13370 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡))
2120ex 413 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)))
2212, 21impbid 211 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡))
2322rabbidva 3439 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞[,)𝐡)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
244, 23eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  [,)cico 13322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13326
This theorem is referenced by:  preimaioomnf  45421
  Copyright terms: Public domain W3C validator