Theorem icoopn 45973

Description: A left-closed right-open interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
icoopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icoopn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
icoopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icoopn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
icoopn.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵))
icoopn.cleb	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
icoopn	⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem icoopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		retop 24736	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2833	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		ovexd 7395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
6		iooretop 24740	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
7	6, 1	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾)
9		elrestr 17382	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾) → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)))
11		icoopn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		icoopn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
16		elinel1 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
17		elioore 13319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		icoopn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23		elinel2 4143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
25		icogelb 13340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
26	13, 22, 24, 25	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
27		mnfxr 11193	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → -∞ ∈ ℝ*)
29	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
30		iooltub 45958	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
31	28, 15, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
32	13, 15, 20, 26, 31	elicod 13339	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
33	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
34	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
35		icossre 13372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
36	11, 14, 35	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
37	36	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	mnfltd 13066	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
39	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
41		icoltub 45956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
42	39, 34, 40, 41	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
43	33, 34, 37, 38, 42	eliood 45946	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
44	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45	37	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		icogelb 13340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
47	39, 34, 40, 46	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
48		icoopn.cleb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
50	45, 34, 44, 42, 49	xrltletrd 13103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐵)
51	39, 44, 45, 47, 50	elicod 13339	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
52	43, 51	elind 4141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
53	32, 52	impbida 801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)))
54	53	eqrdv 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐶))
55		icoopn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵))
56	55	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽
57	56	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽)
58	10, 54, 57	3eltr3d 2851	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  (,)cioo 13289  [,)cico 13291   ↾_t crest 17374  topGenctg 17391  Topctop 22868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-top 22869  df-bases 22921

This theorem is referenced by:  fouriersw  46677