Theorem icoopn 45554

Description: A left-closed right-open interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
icoopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icoopn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
icoopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icoopn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
icoopn.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵))
icoopn.cleb	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
icoopn	⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem icoopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		retop 24700	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		ovexd 7440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
6		iooretop 24704	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
7	6, 1	eleqtrri 2833	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾)
9		elrestr 17442	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾) → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)))
11		icoopn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		icoopn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
16		elinel1 4176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
17		elioore 13392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11285	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		icoopn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23		elinel2 4177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
25		icogelb 13413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
26	13, 22, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
27		mnfxr 11292	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → -∞ ∈ ℝ*)
29	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
30		iooltub 45539	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
31	28, 15, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
32	13, 15, 20, 26, 31	elicod 13412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
33	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
34	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
35		icossre 13445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
36	11, 14, 35	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
37	36	sselda 3958	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	mnfltd 13140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
39	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
41		icoltub 45537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
42	39, 34, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
43	33, 34, 37, 38, 42	eliood 45527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
44	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45	37	rexrd 11285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		icogelb 13413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
47	39, 34, 40, 46	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
48		icoopn.cleb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
50	45, 34, 44, 42, 49	xrltletrd 13177	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐵)
51	39, 44, 45, 47, 50	elicod 13412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
52	43, 51	elind 4175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
53	32, 52	impbida 800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)))
54	53	eqrdv 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐶))
55		icoopn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵))
56	55	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽
57	56	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽)
58	10, 54, 57	3eltr3d 2848	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  (,)cioo 13362  [,)cico 13364   ↾_t crest 17434  topGenctg 17451  Topctop 22831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-rest 17436  df-topgen 17457  df-top 22832  df-bases 22884

This theorem is referenced by:  fouriersw  46260