Theorem icoopn 43063

Description: A left-closed right-open interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
icoopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icoopn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
icoopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icoopn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
icoopn.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵))
icoopn.cleb	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
icoopn	⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem icoopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		retop 23925	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		ovexd 7310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
6		iooretop 23929	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
7	6, 1	eleqtrri 2838	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾)
9		elrestr 17139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾) → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)))
11		icoopn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		icoopn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
16		elinel1 4129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
17		elioore 13109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		icoopn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23		elinel2 4130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
24	23	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
25		icogelb 13130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
26	13, 22, 24, 25	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
27		mnfxr 11032	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → -∞ ∈ ℝ*)
29	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
30		iooltub 43048	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
31	28, 15, 29, 30	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
32	13, 15, 20, 26, 31	elicod 13129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
33	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
34	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
35		icossre 13160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
36	11, 14, 35	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
37	36	sselda 3921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	mnfltd 12860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
39	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
41		icoltub 43046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
42	39, 34, 40, 41	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
43	33, 34, 37, 38, 42	eliood 43036	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
44	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45	37	rexrd 11025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		icogelb 13130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
47	39, 34, 40, 46	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
48		icoopn.cleb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
49	48	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
50	45, 34, 44, 42, 49	xrltletrd 12895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐵)
51	39, 44, 45, 47, 50	elicod 13129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
52	43, 51	elind 4128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
53	32, 52	impbida 798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)))
54	53	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐶))
55		icoopn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵))
56	55	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽
57	56	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽)
58	10, 54, 57	3eltr3d 2853	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  (,)cioo 13079  [,)cico 13081   ↾_t crest 17131  topGenctg 17148  Topctop 22042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-top 22043  df-bases 22096

This theorem is referenced by:  fouriersw  43772