Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoopn 44238
Description: A left-closed right-open interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icoopn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icoopn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
icoopn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
icoopn.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
icoopn.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡))
icoopn.cleb (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
icoopn (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐢) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem icoopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 retop 24278 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2830 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 7444 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) ∈ V)
6 iooretop 24282 . . . . 5 (-∞(,)𝐢) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
76, 1eleqtrri 2833 . . . 4 (-∞(,)𝐢) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐢) ∈ 𝐾)
9 elrestr 17374 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐡) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐢) ∈ 𝐾) β†’ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡)))
11 icoopn.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211rexrd 11264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1312adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 icoopn.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
1514adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
16 elinel1 4196 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
17 elioore 13354 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1918rexrd 11264 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2019adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
21 icoopn.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
23 elinel2 4197 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡))
2423adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡))
25 icogelb 13375 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
2613, 22, 24, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
27 mnfxr 11271 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
2916adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
30 iooltub 44223 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
3128, 15, 29, 30syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ π‘₯ < 𝐢)
3213, 15, 20, 26, 31elicod 13374 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢))
3327a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3414adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
35 icossre 13405 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)𝐢) βŠ† ℝ)
3611, 14, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐢) βŠ† ℝ)
3736sselda 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3837mnfltd 13104 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ -∞ < π‘₯)
3912adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
40 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢))
41 icoltub 44221 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
4239, 34, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
4333, 34, 37, 38, 42eliood 44211 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
4421adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
4537rexrd 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
46 icogelb 13375 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
4739, 34, 40, 46syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
48 icoopn.cleb . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
4948adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
5045, 34, 44, 42, 49xrltletrd 13140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
5139, 44, 45, 47, 50elicod 13374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡))
5243, 51elind 4195 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)))
5332, 52impbida 800 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)))
5453eqrdv 2731 . 2 (πœ‘ β†’ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) = (𝐴[,)𝐢))
55 icoopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡))
5655eqcomi 2742 . . 3 (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡)) = 𝐽
5756a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡)) = 𝐽)
5810, 54, 573eltr3d 2848 1 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐢) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324  [,)cico 13326   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  Topctop 22395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  fouriersw  44947
  Copyright terms: Public domain W3C validator