Theorem icoopn 40393

Description: A left-closed right-open interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
icoopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icoopn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
icoopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icoopn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
icoopn.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵))
icoopn.cleb	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
icoopn	⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem icoopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		retop 22847	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2840	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		ovexd 6878	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
6		iooretop 22851	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
7	6, 1	eleqtrri 2843	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾)
9		elrestr 16358	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾) → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1490	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)))
11		icoopn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 10345	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		icoopn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
16		elinel1 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
17		elioore 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 10345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		icoopn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	21	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23		elinel2 3964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
24	23	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
25		icogelb 12430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
26	13, 22, 24, 25	syl3anc 1490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
27		mnfxr 10352	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → -∞ ∈ ℝ*)
29	16	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
30		iooltub 40378	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
31	28, 15, 29, 30	syl3anc 1490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
32	13, 15, 20, 26, 31	elicod 12429	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
33	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
34	14	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
35		icossre 12459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
36	11, 14, 35	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
37	36	sselda 3763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	mnfltd 12161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
39	12	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
41		icoltub 40376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
42	39, 34, 40, 41	syl3anc 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
43	33, 34, 37, 38, 42	eliood 40365	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
44	21	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45	37	rexrd 10345	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		icogelb 12430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
47	39, 34, 40, 46	syl3anc 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
48		icoopn.cleb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
49	48	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
50	45, 34, 44, 42, 49	xrltletrd 12197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐵)
51	39, 44, 45, 47, 50	elicod 12429	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
52	43, 51	elind 3962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
53	32, 52	impbida 835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)))
54	53	eqrdv 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐶))
55		icoopn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵))
56	55	eqcomi 2774	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽
57	56	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽)
58	10, 54, 57	3eltr3d 2858	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  Vcvv 3350   ∩ cin 3733   ⊆ wss 3734   class class class wbr 4811  ran crn 5280  ‘cfv 6070  (class class class)co 6844  ℝcr 10190  -∞cmnf 10328  ℝ^*cxr 10329   < clt 10330   ≤ cle 10331  (,)cioo 12380  [,)cico 12382   ↾_t crest 16350  topGenctg 16367  Topctop 20980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-q 11993  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-rest 16352  df-topgen 16373  df-top 20981  df-bases 21033

This theorem is referenced by:  fouriersw  41088