Theorem icoopn 42953

Description: A left-closed right-open interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
icoopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icoopn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
icoopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
icoopn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
icoopn.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵))
icoopn.cleb	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
icoopn	⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem icoopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icoopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		retop 23831	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		ovexd 7290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
6		iooretop 23835	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
7	6, 1	eleqtrri 2838	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾)
9		elrestr 17056	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾) → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)))
11		icoopn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 10956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		icoopn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
16		elinel1 4125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
17		elioore 13038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 10956	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		icoopn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23		elinel2 4126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
25		icogelb 13059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
26	13, 22, 24, 25	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
27		mnfxr 10963	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → -∞ ∈ ℝ*)
29	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
30		iooltub 42938	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
31	28, 15, 29, 30	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
32	13, 15, 20, 26, 31	elicod 13058	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
33	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
34	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
35		icossre 13089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
36	11, 14, 35	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
37	36	sselda 3917	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	mnfltd 12789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
39	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
41		icoltub 42936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
42	39, 34, 40, 41	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
43	33, 34, 37, 38, 42	eliood 42926	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
44	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45	37	rexrd 10956	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		icogelb 13059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
47	39, 34, 40, 46	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
48		icoopn.cleb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
50	45, 34, 44, 42, 49	xrltletrd 12824	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐵)
51	39, 44, 45, 47, 50	elicod 13058	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
52	43, 51	elind 4124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
53	32, 52	impbida 797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)))
54	53	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐶))
55		icoopn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵))
56	55	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽
57	56	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽)
58	10, 54, 57	3eltr3d 2853	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,)cioo 13008  [,)cico 13010   ↾_t crest 17048  topGenctg 17065  Topctop 21950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-top 21951  df-bases 22004

This theorem is referenced by:  fouriersw  43662