Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoopn 45048
Description: A left-closed right-open interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icoopn.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icoopn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
icoopn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
icoopn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
icoopn.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴[,)𝐵))
icoopn.cleb (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
icoopn (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem icoopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 retop 24722 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2821 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 7454 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
6 iooretop 24726 . . . . 5 (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
76, 1eleqtrri 2824 . . . 4 (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾)
9 elrestr 17413 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾) → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴[,)𝐵)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴[,)𝐵)))
11 icoopn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211rexrd 11296 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1312adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14 icoopn.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1514adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
16 elinel1 4193 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
17 elioore 13389 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 11296 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2019adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 icoopn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23 elinel2 4194 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
2423adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
25 icogelb 13410 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝑥)
2613, 22, 24, 25syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴𝑥)
27 mnfxr 11303 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → -∞ ∈ ℝ*)
2916adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
30 iooltub 45033 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
3128, 15, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
3213, 15, 20, 26, 31elicod 13409 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
3327a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
3414adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
35 icossre 13440 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
3611, 14, 35syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
3736sselda 3976 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3837mnfltd 13139 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
3912adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
41 icoltub 45031 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4239, 34, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4333, 34, 37, 38, 42eliood 45021 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
4421adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4537rexrd 11296 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46 icogelb 13410 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴𝑥)
4739, 34, 40, 46syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴𝑥)
48 icoopn.cleb . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐵)
4948adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶𝐵)
5045, 34, 44, 42, 49xrltletrd 13175 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐵)
5139, 44, 45, 47, 50elicod 13409 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
5243, 51elind 4192 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
5332, 52impbida 799 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)))
5453eqrdv 2723 . 2 (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐶))
55 icoopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t (𝐴[,)𝐵))
5655eqcomi 2734 . . 3 (𝐾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽
5756a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽)
5810, 54, 573eltr3d 2839 1 (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944   class class class wbr 5149  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  -∞cmnf 11278  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  (,)cioo 13359  [,)cico 13361  t crest 17405  topGenctg 17422  Topctop 22839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-top 22840  df-bases 22893
This theorem is referenced by:  fouriersw  45757
  Copyright terms: Public domain W3C validator