Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoopn 40393
Description: A left-closed right-open interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icoopn.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icoopn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
icoopn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
icoopn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
icoopn.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴[,)𝐵))
icoopn.cleb (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
icoopn (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem icoopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 retop 22847 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2840 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 6878 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
6 iooretop 22851 . . . . 5 (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
76, 1eleqtrri 2843 . . . 4 (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾)
9 elrestr 16358 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾) → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴[,)𝐵)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1490 . 2 (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴[,)𝐵)))
11 icoopn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211rexrd 10345 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1312adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14 icoopn.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1514adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
16 elinel1 3963 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
17 elioore 12410 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 10345 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2019adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 icoopn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2221adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23 elinel2 3964 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
2423adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
25 icogelb 12430 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝑥)
2613, 22, 24, 25syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴𝑥)
27 mnfxr 10352 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → -∞ ∈ ℝ*)
2916adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
30 iooltub 40378 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
3128, 15, 29, 30syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
3213, 15, 20, 26, 31elicod 12429 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
3327a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
3414adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
35 icossre 12459 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
3611, 14, 35syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
3736sselda 3763 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3837mnfltd 12161 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
3912adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
41 icoltub 40376 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4239, 34, 40, 41syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4333, 34, 37, 38, 42eliood 40365 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
4421adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4537rexrd 10345 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46 icogelb 12430 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴𝑥)
4739, 34, 40, 46syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴𝑥)
48 icoopn.cleb . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐵)
4948adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶𝐵)
5045, 34, 44, 42, 49xrltletrd 12197 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐵)
5139, 44, 45, 47, 50elicod 12429 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
5243, 51elind 3962 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
5332, 52impbida 835 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)))
5453eqrdv 2763 . 2 (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐶))
55 icoopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t (𝐴[,)𝐵))
5655eqcomi 2774 . . 3 (𝐾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽
5756a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽)
5810, 54, 573eltr3d 2858 1 (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cin 3733  wss 3734   class class class wbr 4811  ran crn 5280  cfv 6070  (class class class)co 6844  cr 10190  -∞cmnf 10328  *cxr 10329   < clt 10330  cle 10331  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  t crest 16350  topGenctg 16367  Topctop 20980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-q 11993  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-rest 16352  df-topgen 16373  df-top 20981  df-bases 21033
This theorem is referenced by:  fouriersw  41088
  Copyright terms: Public domain W3C validator