Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoopn 43770
Description: A left-closed right-open interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icoopn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icoopn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
icoopn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
icoopn.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
icoopn.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡))
icoopn.cleb (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
icoopn (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐢) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem icoopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 retop 24128 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2834 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 7393 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) ∈ V)
6 iooretop 24132 . . . . 5 (-∞(,)𝐢) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
76, 1eleqtrri 2837 . . . 4 (-∞(,)𝐢) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐢) ∈ 𝐾)
9 elrestr 17311 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐡) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐢) ∈ 𝐾) β†’ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡)))
11 icoopn.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211rexrd 11206 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1312adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 icoopn.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
1514adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
16 elinel1 4156 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
17 elioore 13295 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1918rexrd 11206 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2019adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
21 icoopn.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
23 elinel2 4157 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡))
2423adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡))
25 icogelb 13316 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
2613, 22, 24, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
27 mnfxr 11213 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
2916adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
30 iooltub 43755 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
3128, 15, 29, 30syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ π‘₯ < 𝐢)
3213, 15, 20, 26, 31elicod 13315 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢))
3327a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3414adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
35 icossre 13346 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)𝐢) βŠ† ℝ)
3611, 14, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐢) βŠ† ℝ)
3736sselda 3945 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3837mnfltd 13046 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ -∞ < π‘₯)
3912adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
40 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢))
41 icoltub 43753 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
4239, 34, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
4333, 34, 37, 38, 42eliood 43743 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
4421adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
4537rexrd 11206 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
46 icogelb 13316 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
4739, 34, 40, 46syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
48 icoopn.cleb . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
4948adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
5045, 34, 44, 42, 49xrltletrd 13081 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
5139, 44, 45, 47, 50elicod 13315 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡))
5243, 51elind 4155 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)))
5332, 52impbida 800 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐢)))
5453eqrdv 2735 . 2 (πœ‘ β†’ ((-∞(,)𝐢) ∩ (𝐴[,)𝐡)) = (𝐴[,)𝐢))
55 icoopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡))
5655eqcomi 2746 . . 3 (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡)) = 𝐽
5756a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴[,)𝐡)) = 𝐽)
5810, 54, 573eltr3d 2852 1 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐢) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11051  -∞cmnf 11188  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  (,)cioo 13265  [,)cico 13267   β†Ύt crest 17303  topGenctg 17320  Topctop 22245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-top 22246  df-bases 22299
This theorem is referenced by:  fouriersw  44479
  Copyright terms: Public domain W3C validator