Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresioolb 41491
Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresioolb.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcresioolb.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcresioolb.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
limcresioolb.bltc (𝜑𝐵 < 𝐶)
limcresioolb.bcss (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
limcresioolb.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
limcresioolb.cled (𝜑𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcresioolb (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))

Proof of Theorem limcresioolb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresioolb.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
2 limcresioolb.cled . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐷)
3 iooss2 12629 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
54resabs1d 5770 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)))
65eqcomd 2801 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
76oveq1d 7036 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵))
8 limcresioolb.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
9 fresin 6420 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
11 limcresioolb.bcss . . . 4 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
1211, 4ssind 4133 . . 3 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
13 inss2 4130 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ (𝐵(,)𝐷)
14 ioosscn 41336 . . . . 5 (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℂ
1513, 14sstri 3902 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ)
17 eqid 2795 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 eqid 2795 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
19 limcresioolb.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019rexrd 10542 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
21 limcresioolb.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
22 limcresioolb.bltc . . . . 5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
23 lbico1 12646 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1364 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
25 snunioo1 41355 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
2620, 21, 22, 25syl3anc 1364 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
2726fveq2d 6547 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)))
2817cnfldtop 23080 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
29 ovex 7053 . . . . . . . . . 10 (𝐵(,)𝐷) ∈ V
3029inex2 5118 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∈ V
31 snex 5228 . . . . . . . . 9 {𝐵} ∈ V
3230, 31unex 7331 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V
33 resttop 21457 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
3428, 32, 33mp2an 688 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
36 mnfxr 10550 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
3821adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
39 icossre 12672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
4019, 21, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
4140sselda 3893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4241mnfltd 12374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
4320adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
45 icoltub 41351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4643, 38, 44, 45syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4737, 38, 41, 42, 46eliood 41340 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
48 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
49 snidg 4508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐵})
50 elun2 4078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ {𝐵} → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5119, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5348, 52eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5453adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
55 simpll 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝜑)
5643adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5738adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5841adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
5919ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
60 icogelb 12643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
6143, 38, 44, 60syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
63 neqne 2992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝐵𝑥𝐵)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
6559, 58, 62, 64leneltd 10646 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
6646adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
6756, 57, 58, 65, 66eliood 41340 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
6812sselda 3893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
69 elun1 4077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7155, 67, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7254, 71pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7347, 72elind 4096 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
7424adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
7548, 74eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
7675adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
77 ioossico 12681 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,)𝐶)
7820ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7921ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
80 elinel1 4097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
8180elioored 41392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ)
8281ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
831ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ*)
84 elinel2 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 = 𝐵)
86 velsn 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
8785, 86sylnibr 330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
88 elunnel2 40860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
8984, 87, 88syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
9013, 89sseldi 3891 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
9190adantll 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
92 ioogtlb 41337 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷)) → 𝐵 < 𝑥)
9378, 83, 91, 92syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
9436a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → -∞ ∈ ℝ*)
9521adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9680adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
97 iooltub 41353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
9894, 95, 96, 97syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 < 𝐶)
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
10078, 79, 82, 93, 99eliood 41340 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
10177, 100sseldi 3891 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
10276, 101pm2.61dan 809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
10373, 102impbida 797 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))))
104103eqrdv 2793 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
105 retop 23058 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
10732a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V)
108 iooretop 23062 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)))
110 elrestr 16536 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
111106, 107, 109, 110syl3anc 1364 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
112104, 111eqeltrd 2883 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
11317tgioo2 23099 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
114113oveq1i 7031 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
11528a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
116 ioossre 12653 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℝ
11713, 116sstri 3902 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ)
11919snssd 4653 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
120118, 119unssd 4087 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
121 reex 10479 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ V)
123 restabs 21462 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
124115, 120, 122, 123syl3anc 1364 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
125114, 124syl5eq 2843 . . . . . . 7 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
126112, 125eleqtrd 2885 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
127 isopn3i 21379 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top ∧ (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
12835, 126, 127syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
12927, 128eqtr2d 2832 . . . 4 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
13024, 129eleqtrd 2885 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
13110, 12, 16, 17, 18, 130limcres 24172 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))
1327, 131eqtrd 2831 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  Vcvv 3437  cun 3861  cin 3862  wss 3863  {csn 4476   class class class wbr 4966  ran crn 5449  cres 5450  wf 6226  cfv 6230  (class class class)co 7021  cc 10386  cr 10387  -∞cmnf 10524  *cxr 10525   < clt 10526  cle 10527  (,)cioo 12593  [,)cico 12595  t crest 16528  TopOpenctopn 16529  topGenctg 16545  fldccnfld 20232  Topctop 21190  intcnt 21314   lim climc 24148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-seq 13225  df-exp 13285  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-rest 16530  df-topn 16531  df-topgen 16551  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-ntr 21317  df-cnp 21525  df-xms 22618  df-ms 22619  df-limc 24152
This theorem is referenced by:  fouriersw  42084
  Copyright terms: Public domain W3C validator