Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresioolb 44359
Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresioolb.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limcresioolb.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
limcresioolb.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
limcresioolb.bltc (πœ‘ β†’ 𝐡 < 𝐢)
limcresioolb.bcss (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† 𝐴)
limcresioolb.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
limcresioolb.cled (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcresioolb (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐡) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐡))

Proof of Theorem limcresioolb
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresioolb.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
2 limcresioolb.cled . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ 𝐷)
3 iooss2 13360 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ≀ 𝐷) β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡(,)𝐷))
41, 2, 3syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡(,)𝐷))
54resabs1d 6013 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)))
65eqcomd 2739 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)))
76oveq1d 7424 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐡) = (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐡))
8 limcresioolb.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
9 fresin 6761 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷))βŸΆβ„‚)
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷))βŸΆβ„‚)
11 limcresioolb.bcss . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† 𝐴)
1211, 4ssind 4233 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)))
13 inss2 4230 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βŠ† (𝐡(,)𝐷)
14 ioosscn 13386 . . . . 5 (𝐡(,)𝐷) βŠ† β„‚
1513, 14sstri 3992 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βŠ† β„‚
1615a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βŠ† β„‚)
17 eqid 2733 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
18 eqid 2733 . . 3 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
19 limcresioolb.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2019rexrd 11264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
21 limcresioolb.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
22 limcresioolb.bltc . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 < 𝐢)
23 lbico1 13378 . . . . 5 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 < 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,)𝐢))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,)𝐢))
25 snunioo1 44225 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 < 𝐢) β†’ ((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐡}) = (𝐡[,)𝐢))
2620, 21, 22, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐡}) = (𝐡[,)𝐢))
2726fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐡})) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜(𝐡[,)𝐢)))
2817cnfldtop 24300 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
29 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (𝐡(,)𝐷) ∈ V
3029inex2 5319 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) ∈ V
31 snex 5432 . . . . . . . . 9 {𝐡} ∈ V
3230, 31unex 7733 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) ∈ V
33 resttop 22664 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) ∈ V) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ Top)
3428, 32, 33mp2an 691 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ Top)
36 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3821adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
39 icossre 13405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡[,)𝐢) βŠ† ℝ)
4019, 21, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)𝐢) βŠ† ℝ)
4140sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4241mnfltd 13104 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ -∞ < π‘₯)
4320adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢))
45 icoltub 44221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
4643, 38, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
4737, 38, 41, 42, 46eliood 44211 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
48 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ = 𝐡)
49 snidg 4663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ ℝ β†’ 𝐡 ∈ {𝐡})
50 elun2 4178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ {𝐡} β†’ 𝐡 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
5119, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
5251adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
5348, 52eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
5453adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
55 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ πœ‘)
5643adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5738adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
5841adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5919ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
60 icogelb 13375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ 𝐡 ≀ π‘₯)
6143, 38, 44, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ 𝐡 ≀ π‘₯)
6261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ≀ π‘₯)
63 neqne 2949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
6559, 58, 62, 64leneltd 11368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 < π‘₯)
6646adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐢)
6756, 57, 58, 65, 66eliood 44211 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢))
6812sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)))
69 elun1 4177 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
7155, 67, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
7254, 71pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
7347, 72elind 4195 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
7424adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,)𝐢))
7548, 74eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢))
7675adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢))
77 ioossico 13415 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡[,)𝐢)
7820ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
7921ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
80 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
8180elioored 44262 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
831ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
84 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
86 velsn 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ {𝐡} ↔ π‘₯ = 𝐡)
8785, 86sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {𝐡})
88 elunnel2 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {𝐡}) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)))
8984, 87, 88syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)))
9013, 89sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐷))
9190adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐷))
92 ioogtlb 44208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐷)) β†’ 𝐡 < π‘₯)
9378, 83, 91, 92syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 < π‘₯)
9436a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
9521adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
9680adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
97 iooltub 44223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
9894, 95, 96, 97syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ π‘₯ < 𝐢)
9998adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐢)
10078, 79, 82, 93, 99eliood 44211 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢))
10177, 100sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢))
10276, 101pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢))
10373, 102impbida 800 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢) ↔ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))))
104103eqrdv 2731 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)𝐢) = ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
105 retop 24278 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
10732a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
108 iooretop 24282 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐢) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐢) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
110 elrestr 17374 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐢) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
111106, 107, 109, 110syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
112104, 111eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)𝐢) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
11317tgioo2 24319 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
114113oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
11528a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
116 ioossre 13385 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡(,)𝐷) βŠ† ℝ
11713, 116sstri 3992 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βŠ† ℝ
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βŠ† ℝ)
11919snssd 4813 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† ℝ)
120118, 119unssd 4187 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) βŠ† ℝ)
121 reex 11201 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
123 restabs 22669 . . . . . . . . 9 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
124115, 120, 122, 123syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
125114, 124eqtrid 2785 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
126112, 125eleqtrd 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)𝐢) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
127 isopn3i 22586 . . . . . 6 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ Top ∧ (𝐡[,)𝐢) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜(𝐡[,)𝐢)) = (𝐡[,)𝐢))
12835, 126, 127syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜(𝐡[,)𝐢)) = (𝐡[,)𝐢))
12927, 128eqtr2d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)𝐢) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐡})))
13024, 129eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐡})))
13110, 12, 16, 17, 18, 130limcres 25403 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐡) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐡))
1327, 131eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐡) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324  [,)cico 13326   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  intcnt 22521   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  fouriersw  44947
  Copyright terms: Public domain W3C validator