Theorem limcresioolb 46357

Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcresioolb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcresioolb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limcresioolb.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
limcresioolb.bltc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
limcresioolb.bcss	⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
limcresioolb.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
limcresioolb.cled	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
limcresioolb	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcresioolb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcresioolb.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
2		limcresioolb.cled	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
3		iooss2 13403	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
5	4	resabs1d 6007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)))
6	5	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
7	6	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵))
8		limcresioolb.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
9		fresin 6747	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
11		limcresioolb.bcss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
12	11, 4	ssind 4193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
13		inss2 4190	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ (𝐵(,)𝐷)
14		ioosscn 13430	. . . . 5 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℂ
15	13, 14	sstri 3946	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ)
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
19		limcresioolb.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 11254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
21		limcresioolb.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
22		limcresioolb.bltc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
23		lbico1 13422	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
25		snunioo1 46228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
26	20, 21, 22, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
27	26	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)))
28	17	cnfldtop 24940	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
29		ovex 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ∈ V
30	29	inex2 5287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∈ V
31		snex 5410	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ∈ V
32	30, 31	unex 7742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V
33		resttop 23317	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
34	28, 32, 33	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
36		mnfxr 11261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
38	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
39		icossre 13450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
40	19, 21, 39	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
41	40	sselda 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
42	41	mnfltd 13144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
43	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
45		icoltub 46224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
46	43, 38, 44, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
47	37, 38, 41, 42, 46	eliood 46214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
48		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
49		snidg 4626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐵})
50		elun2 4136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐵} → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
51	19, 49, 50	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
52	51	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
53	48, 52	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
54	53	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
55		simpll 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝜑)
56	43	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
57	38	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
58	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
59	19	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
60		icogelb 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
61	43, 38, 44, 60	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
62	61	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑥)
63		neqne 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ≠ 𝐵)
64	63	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ≠ 𝐵)
65	59, 58, 62, 64	leneltd 11359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
66	46	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
67	56, 57, 58, 65, 66	eliood 46214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
68	12	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
69		elun1 4135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
71	55, 67, 70	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
72	54, 71	pm2.61dan 824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
73	47, 72	elind 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
74	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
75	48, 74	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
76	75	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
77		ioossico 13460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,)𝐶)
78	20	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
79	21	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
80		elinel1 4154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
81	80	elioored 46265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ)
82	81	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
83	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ*)
84		elinel2 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
85		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 = 𝐵)
86		velsn 4605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
87	85, 86	sylnibr 332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
88		elunnel2 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
89	84, 87, 88	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
90	13, 89	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
91	90	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
92		ioogtlb 46211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷)) → 𝐵 < 𝑥)
93	78, 83, 91, 92	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
94	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → -∞ ∈ ℝ*)
95	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
96	80	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
97		iooltub 46226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 < 𝐶)
99	98	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
100	78, 79, 82, 93, 99	eliood 46214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
101	77, 100	sselid 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
102	76, 101	pm2.61dan 824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
103	73, 102	impbida 812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))))
104	103	eqrdv 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
105		retop 24918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
106	105	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
107	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V)
108		iooretop 24922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
109	108	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)))
110		elrestr 17476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
111	106, 107, 109, 110	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
112	104, 111	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
113		tgioo4 24962	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
114	113	oveq1i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
115	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
116		ioossre 13429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℝ
117	13, 116	sstri 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ)
119	19	snssd 4752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
120	118, 119	unssd 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
121		reex 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
123		restabs 23322	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
124	115, 120, 122, 123	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
125	114, 124	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
126	112, 125	eleqtrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
127		isopn3i 23239	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top ∧ (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
128	35, 126, 127	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
129	27, 128	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
130	24, 129	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
131	10, 12, 16, 17, 18, 130	limcres 26045	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) limℂ 𝐵))
132	7, 131	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4589   class class class wbr 5109  ran crn 5662   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  (,)cioo 13367  [,)cico 13369   ↾_t crest 17468  TopOpenctopn 17469  topGenctg 17485  ℂ_fldccnfld 21522  Topctop 23050  intcnt 23174   lim_ℂ climc 26021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-rest 17470  df-topn 17471  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-ntr 23177  df-cnp 23385  df-xms 24477  df-ms 24478  df-limc 26025

This theorem is referenced by:  fouriersw  46945