Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresioolb 40516
Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresioolb.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcresioolb.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcresioolb.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
limcresioolb.bltc (𝜑𝐵 < 𝐶)
limcresioolb.bcss (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
limcresioolb.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
limcresioolb.cled (𝜑𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcresioolb (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))

Proof of Theorem limcresioolb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresioolb.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
2 limcresioolb.cled . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐷)
3 iooss2 12416 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
41, 2, 3syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
54resabs1d 5605 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)))
65eqcomd 2771 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
76oveq1d 6859 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵))
8 limcresioolb.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
9 fresin 6257 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
11 limcresioolb.bcss . . . 4 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
1211, 4ssind 3998 . . 3 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
13 inss2 3995 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ (𝐵(,)𝐷)
14 ioosscn 40361 . . . . 5 (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℂ
1513, 14sstri 3772 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ)
17 eqid 2765 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 eqid 2765 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
19 limcresioolb.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019rexrd 10345 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
21 limcresioolb.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
22 limcresioolb.bltc . . . . 5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
23 lbico1 12433 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1490 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
25 snunioo1 40380 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
2620, 21, 22, 25syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
2726fveq2d 6381 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)))
2817cnfldtop 22869 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
29 ovex 6876 . . . . . . . . . 10 (𝐵(,)𝐷) ∈ V
3029inex2 4963 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∈ V
31 snex 5066 . . . . . . . . 9 {𝐵} ∈ V
3230, 31unex 7156 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V
33 resttop 21247 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
3428, 32, 33mp2an 683 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
36 mnfxr 10352 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
3821adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
39 icossre 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
4019, 21, 39syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
4140sselda 3763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4241mnfltd 12161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
4320adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
45 icoltub 40376 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4643, 38, 44, 45syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4737, 38, 41, 42, 46eliood 40365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
49 snidg 4366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐵})
50 elun2 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ {𝐵} → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5119, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5348, 52eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5453adantlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
55 simpll 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝜑)
5643adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5738adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5841adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
5919ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
60 icogelb 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
6143, 38, 44, 60syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
6261adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
63 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝐵𝑥𝐵)
6463adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
6559, 58, 62, 64leneltd 10447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
6646adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
6756, 57, 58, 65, 66eliood 40365 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
6812sselda 3763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
69 elun1 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7155, 67, 70syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7254, 71pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7347, 72elind 3962 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
7424adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
7548, 74eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
7675adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
77 ioossico 12468 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,)𝐶)
7820ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7921ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
80 elinel1 3963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
8180elioored 40417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ)
8281ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
831ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ*)
84 elinel2 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 = 𝐵)
86 velsn 4352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
8785, 86sylnibr 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
88 elunnel2 39853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
8984, 87, 88syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
9013, 89sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
9190adantll 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
92 ioogtlb 40362 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷)) → 𝐵 < 𝑥)
9378, 83, 91, 92syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
9436a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → -∞ ∈ ℝ*)
9521adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9680adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
97 iooltub 40378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
9894, 95, 96, 97syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 < 𝐶)
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
10078, 79, 82, 93, 99eliood 40365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
10177, 100sseldi 3761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
10276, 101pm2.61dan 847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
10373, 102impbida 835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))))
104103eqrdv 2763 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
105 retop 22847 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
10732a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V)
108 iooretop 22851 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)))
110 elrestr 16358 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
111106, 107, 109, 110syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
112104, 111eqeltrd 2844 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
11317tgioo2 22888 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
114113oveq1i 6854 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
11528a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
116 ioossre 12440 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℝ
11713, 116sstri 3772 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ)
11919snssd 4496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
120118, 119unssd 3953 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
121 reex 10282 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ V)
123 restabs 21252 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
124115, 120, 122, 123syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
125114, 124syl5eq 2811 . . . . . . 7 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
126112, 125eleqtrd 2846 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
127 isopn3i 21169 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top ∧ (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
12835, 126, 127syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
12927, 128eqtr2d 2800 . . . 4 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
13024, 129eleqtrd 2846 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
13110, 12, 16, 17, 18, 130limcres 23944 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))
1327, 131eqtrd 2799 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cun 3732  cin 3733  wss 3734  {csn 4336   class class class wbr 4811  ran crn 5280  cres 5281  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  -∞cmnf 10328  *cxr 10329   < clt 10330  cle 10331  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  t crest 16350  TopOpenctopn 16351  topGenctg 16367  fldccnfld 20022  Topctop 20980  intcnt 21104   lim climc 23920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-seq 13012  df-exp 13071  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-rest 16352  df-topn 16353  df-topgen 16373  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-ntr 21107  df-cnp 21315  df-xms 22407  df-ms 22408  df-limc 23924
This theorem is referenced by:  fouriersw  41088
  Copyright terms: Public domain W3C validator