Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresioolb 45169
Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresioolb.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcresioolb.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcresioolb.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
limcresioolb.bltc (𝜑𝐵 < 𝐶)
limcresioolb.bcss (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
limcresioolb.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
limcresioolb.cled (𝜑𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcresioolb (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))

Proof of Theorem limcresioolb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresioolb.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
2 limcresioolb.cled . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐷)
3 iooss2 13395 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
41, 2, 3syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
54resabs1d 6013 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)))
65eqcomd 2731 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
76oveq1d 7434 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵))
8 limcresioolb.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
9 fresin 6766 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
11 limcresioolb.bcss . . . 4 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
1211, 4ssind 4231 . . 3 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
13 inss2 4228 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ (𝐵(,)𝐷)
14 ioosscn 13421 . . . . 5 (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℂ
1513, 14sstri 3986 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ)
17 eqid 2725 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 eqid 2725 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
19 limcresioolb.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019rexrd 11296 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
21 limcresioolb.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
22 limcresioolb.bltc . . . . 5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
23 lbico1 13413 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
25 snunioo1 45035 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
2620, 21, 22, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
2726fveq2d 6900 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)))
2817cnfldtop 24744 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
29 ovex 7452 . . . . . . . . . 10 (𝐵(,)𝐷) ∈ V
3029inex2 5319 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∈ V
31 snex 5433 . . . . . . . . 9 {𝐵} ∈ V
3230, 31unex 7749 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V
33 resttop 23108 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
3428, 32, 33mp2an 690 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
36 mnfxr 11303 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
3821adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
39 icossre 13440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
4019, 21, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
4140sselda 3976 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4241mnfltd 13139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
4320adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
45 icoltub 45031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4643, 38, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4737, 38, 41, 42, 46eliood 45021 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
48 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
49 snidg 4664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐵})
50 elun2 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ {𝐵} → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5119, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5251adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5348, 52eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5453adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
55 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝜑)
5643adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5738adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5841adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
5919ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
60 icogelb 13410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
6143, 38, 44, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
6261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
63 neqne 2937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝐵𝑥𝐵)
6463adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
6559, 58, 62, 64leneltd 11400 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
6646adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
6756, 57, 58, 65, 66eliood 45021 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
6812sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
69 elun1 4174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7155, 67, 70syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7254, 71pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7347, 72elind 4192 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
7424adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
7548, 74eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
7675adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
77 ioossico 13450 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,)𝐶)
7820ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7921ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
80 elinel1 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
8180elioored 45072 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ)
8281ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
831ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ*)
84 elinel2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 = 𝐵)
86 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
8785, 86sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
88 elunnel2 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
8984, 87, 88syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
9013, 89sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
9190adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
92 ioogtlb 45018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷)) → 𝐵 < 𝑥)
9378, 83, 91, 92syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
9436a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → -∞ ∈ ℝ*)
9521adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9680adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
97 iooltub 45033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
9894, 95, 96, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 < 𝐶)
9998adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
10078, 79, 82, 93, 99eliood 45021 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
10177, 100sselid 3974 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
10276, 101pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
10373, 102impbida 799 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))))
104103eqrdv 2723 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
105 retop 24722 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
10732a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V)
108 iooretop 24726 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)))
110 elrestr 17413 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
111106, 107, 109, 110syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
112104, 111eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
11317tgioo2 24763 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
114113oveq1i 7429 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
11528a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
116 ioossre 13420 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℝ
11713, 116sstri 3986 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ)
11919snssd 4814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
120118, 119unssd 4184 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
121 reex 11231 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ V)
123 restabs 23113 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
124115, 120, 122, 123syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
125114, 124eqtrid 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
126112, 125eleqtrd 2827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
127 isopn3i 23030 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top ∧ (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
12835, 126, 127syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
12927, 128eqtr2d 2766 . . . 4 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
13024, 129eleqtrd 2827 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
13110, 12, 16, 17, 18, 130limcres 25859 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))
1327, 131eqtrd 2765 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  cun 3942  cin 3943  wss 3944  {csn 4630   class class class wbr 5149  ran crn 5679  cres 5680  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  -∞cmnf 11278  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  (,)cioo 13359  [,)cico 13361  t crest 17405  TopOpenctopn 17406  topGenctg 17422  fldccnfld 21296  Topctop 22839  intcnt 22965   lim climc 25835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-rest 17407  df-topn 17408  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-ntr 22968  df-cnp 23176  df-xms 24270  df-ms 24271  df-limc 25839
This theorem is referenced by:  fouriersw  45757
  Copyright terms: Public domain W3C validator