Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresioolb 44444
Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresioolb.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limcresioolb.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
limcresioolb.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
limcresioolb.bltc (πœ‘ β†’ 𝐡 < 𝐢)
limcresioolb.bcss (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† 𝐴)
limcresioolb.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
limcresioolb.cled (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcresioolb (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐡) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐡))

Proof of Theorem limcresioolb
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresioolb.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
2 limcresioolb.cled . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ 𝐷)
3 iooss2 13362 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ≀ 𝐷) β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡(,)𝐷))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡(,)𝐷))
54resabs1d 6012 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)))
65eqcomd 2738 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)))
76oveq1d 7426 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐡) = (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐡))
8 limcresioolb.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
9 fresin 6760 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷))βŸΆβ„‚)
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷))βŸΆβ„‚)
11 limcresioolb.bcss . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† 𝐴)
1211, 4ssind 4232 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)))
13 inss2 4229 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βŠ† (𝐡(,)𝐷)
14 ioosscn 13388 . . . . 5 (𝐡(,)𝐷) βŠ† β„‚
1513, 14sstri 3991 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βŠ† β„‚
1615a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βŠ† β„‚)
17 eqid 2732 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
18 eqid 2732 . . 3 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
19 limcresioolb.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2019rexrd 11266 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
21 limcresioolb.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
22 limcresioolb.bltc . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 < 𝐢)
23 lbico1 13380 . . . . 5 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 < 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,)𝐢))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,)𝐢))
25 snunioo1 44310 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 < 𝐢) β†’ ((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐡}) = (𝐡[,)𝐢))
2620, 21, 22, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐡}) = (𝐡[,)𝐢))
2726fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐡})) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜(𝐡[,)𝐢)))
2817cnfldtop 24307 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
29 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 (𝐡(,)𝐷) ∈ V
3029inex2 5318 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) ∈ V
31 snex 5431 . . . . . . . . 9 {𝐡} ∈ V
3230, 31unex 7735 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) ∈ V
33 resttop 22671 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) ∈ V) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ Top)
3428, 32, 33mp2an 690 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ Top)
36 mnfxr 11273 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3821adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
39 icossre 13407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡[,)𝐢) βŠ† ℝ)
4019, 21, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)𝐢) βŠ† ℝ)
4140sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4241mnfltd 13106 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ -∞ < π‘₯)
4320adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢))
45 icoltub 44306 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
4643, 38, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
4737, 38, 41, 42, 46eliood 44296 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
48 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ = 𝐡)
49 snidg 4662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ ℝ β†’ 𝐡 ∈ {𝐡})
50 elun2 4177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ {𝐡} β†’ 𝐡 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
5119, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
5348, 52eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
5453adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
55 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ πœ‘)
5643adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5738adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
5841adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5919ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
60 icogelb 13377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ 𝐡 ≀ π‘₯)
6143, 38, 44, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ 𝐡 ≀ π‘₯)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ≀ π‘₯)
63 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
6559, 58, 62, 64leneltd 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 < π‘₯)
6646adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐢)
6756, 57, 58, 65, 66eliood 44296 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢))
6812sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)))
69 elun1 4176 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
7155, 67, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
7254, 71pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
7347, 72elind 4194 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
7424adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡[,)𝐢))
7548, 74eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢))
7675adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢))
77 ioossico 13417 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡[,)𝐢)
7820ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
7921ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
80 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
8180elioored 44347 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8281ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
831ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
84 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
86 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ {𝐡} ↔ π‘₯ = 𝐡)
8785, 86sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {𝐡})
88 elunnel2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {𝐡}) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)))
8984, 87, 88syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)))
9013, 89sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐷))
9190adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐷))
92 ioogtlb 44293 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐷)) β†’ 𝐡 < π‘₯)
9378, 83, 91, 92syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 < π‘₯)
9436a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
9521adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
9680adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢))
97 iooltub 44308 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
9894, 95, 96, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ π‘₯ < 𝐢)
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐢)
10078, 79, 82, 93, 99eliood 44296 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢))
10177, 100sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢))
10276, 101pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢))
10373, 102impbida 799 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)𝐢) ↔ π‘₯ ∈ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))))
104103eqrdv 2730 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)𝐢) = ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
105 retop 24285 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
10732a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
108 iooretop 24289 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐢) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐢) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
110 elrestr 17376 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐢) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
111106, 107, 109, 110syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((-∞(,)𝐢) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
112104, 111eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)𝐢) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
11317tgioo2 24326 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
114113oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))
11528a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
116 ioossre 13387 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡(,)𝐷) βŠ† ℝ
11713, 116sstri 3991 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βŠ† ℝ
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βŠ† ℝ)
11919snssd 4812 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† ℝ)
120118, 119unssd 4186 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) βŠ† ℝ)
121 reex 11203 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
123 restabs 22676 . . . . . . . . 9 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
124115, 120, 122, 123syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
125114, 124eqtrid 2784 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
126112, 125eleqtrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)𝐢) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))
127 isopn3i 22593 . . . . . 6 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})) ∈ Top ∧ (𝐡[,)𝐢) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡}))) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜(𝐡[,)𝐢)) = (𝐡[,)𝐢))
12835, 126, 127syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜(𝐡[,)𝐢)) = (𝐡[,)𝐢))
12927, 128eqtr2d 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)𝐢) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐡})))
13024, 129eleqtrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐡(,)𝐷)) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐡})))
13110, 12, 16, 17, 18, 130limcres 25410 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐡) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐡))
1327, 131eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐡) = ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐷)) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  (,)cioo 13326  [,)cico 13328   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  β„‚fldccnfld 20950  Topctop 22402  intcnt 22528   limβ„‚ climc 25386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-ntr 22531  df-cnp 22739  df-xms 23833  df-ms 23834  df-limc 25390
This theorem is referenced by:  fouriersw  45032
  Copyright terms: Public domain W3C validator