Theorem limcresioolb 46415

Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcresioolb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcresioolb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limcresioolb.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
limcresioolb.bltc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
limcresioolb.bcss	⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
limcresioolb.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
limcresioolb.cled	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
limcresioolb	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcresioolb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcresioolb.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
2		limcresioolb.cled	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
3		iooss2 13424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
5	4	resabs1d 6009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)))
6	5	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
7	6	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵))
8		limcresioolb.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
9		fresin 6751	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
11		limcresioolb.bcss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
12	11, 4	ssind 4193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
13		inss2 4190	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ (𝐵(,)𝐷)
14		ioosscn 13451	. . . . 5 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℂ
15	13, 14	sstri 3947	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ)
17		eqid 2765	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
19		limcresioolb.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 11274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
21		limcresioolb.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
22		limcresioolb.bltc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
23		lbico1 13443	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
25		snunioo1 46286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
26	20, 21, 22, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
27	26	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)))
28	17	cnfldtop 24991	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
29		ovex 7452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ∈ V
30	29	inex2 5289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∈ V
31		snex 5412	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ∈ V
32	30, 31	unex 7752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V
33		resttop 23367	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
34	28, 32, 33	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
36		mnfxr 11281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
38	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
39		icossre 13471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
40	19, 21, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
41	40	sselda 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
42	41	mnfltd 13165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
43	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
45		icoltub 46282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
46	43, 38, 44, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
47	37, 38, 41, 42, 46	eliood 46272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
48		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
49		snidg 4628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐵})
50		elun2 4136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐵} → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
51	19, 49, 50	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
53	48, 52	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
54	53	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
55		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝜑)
56	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
57	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
58	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
59	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
60		icogelb 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
61	43, 38, 44, 60	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑥)
63		neqne 2968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ≠ 𝐵)
64	63	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ≠ 𝐵)
65	59, 58, 62, 64	leneltd 11379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
66	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
67	56, 57, 58, 65, 66	eliood 46272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
68	12	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
69		elun1 4135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
71	55, 67, 70	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
72	54, 71	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
73	47, 72	elind 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
74	24	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
75	48, 74	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
76	75	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
77		ioossico 13481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,)𝐶)
78	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
79	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
80		elinel1 4154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
81	80	elioored 46323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ)
82	81	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
83	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ*)
84		elinel2 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
85		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 = 𝐵)
86		velsn 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
87	85, 86	sylnibr 332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
88		elunnel2 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
89	84, 87, 88	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
90	13, 89	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
91	90	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
92		ioogtlb 46269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷)) → 𝐵 < 𝑥)
93	78, 83, 91, 92	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
94	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → -∞ ∈ ℝ*)
95	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
96	80	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
97		iooltub 46284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 < 𝐶)
99	98	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
100	78, 79, 82, 93, 99	eliood 46272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
101	77, 100	sselid 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
102	76, 101	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
103	73, 102	impbida 813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))))
104	103	eqrdv 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
105		retop 24969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
106	105	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
107	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V)
108		iooretop 24973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
109	108	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)))
110		elrestr 17503	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
111	106, 107, 109, 110	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
112	104, 111	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
113		tgioo4 25013	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
114	113	oveq1i 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
115	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
116		ioossre 13450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℝ
117	13, 116	sstri 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ)
119	19	snssd 4754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
120	118, 119	unssd 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
121		reex 11206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
123		restabs 23372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
124	115, 120, 122, 123	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
125	114, 124	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
126	112, 125	eleqtrd 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
127		isopn3i 23289	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top ∧ (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
128	35, 126, 127	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
129	27, 128	eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
130	24, 129	eleqtrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
131	10, 12, 16, 17, 18, 130	limcres 26096	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) limℂ 𝐵))
132	7, 131	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) limℂ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111  ran crn 5664   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  -∞cmnf 11256  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259  (,)cioo 13388  [,)cico 13390   ↾_t crest 17495  TopOpenctopn 17496  topGenctg 17512  ℂ_fldccnfld 21572  Topctop 23100  intcnt 23224   lim_ℂ climc 26072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-rest 17497  df-topn 17498  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-ntr 23227  df-cnp 23435  df-xms 24528  df-ms 24529  df-limc 26076

This theorem is used by:  fouriersw  47003