Theorem limcresioolb 46248

Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcresioolb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcresioolb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limcresioolb.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
limcresioolb.bltc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
limcresioolb.bcss	⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
limcresioolb.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
limcresioolb.cled	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
limcresioolb	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcresioolb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcresioolb.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
2		limcresioolb.cled	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
3		iooss2 13407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
5	4	resabs1d 6008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)))
6	5	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
7	6	oveq1d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵))
8		limcresioolb.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
9		fresin 6748	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
11		limcresioolb.bcss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
12	11, 4	ssind 4201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
13		inss2 4198	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ (𝐵(,)𝐷)
14		ioosscn 13434	. . . . 5 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℂ
15	13, 14	sstri 3954	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ)
17		eqid 2769	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18		eqid 2769	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
19		limcresioolb.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 11258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
21		limcresioolb.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
22		limcresioolb.bltc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
23		lbico1 13426	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
25		snunioo1 46119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
26	20, 21, 22, 25	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
27	26	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)))
28	17	cnfldtop 24908	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
29		ovex 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ∈ V
30	29	inex2 5289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∈ V
31		snex 5411	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ∈ V
32	30, 31	unex 7742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V
33		resttop 23285	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
34	28, 32, 33	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
36		mnfxr 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
38	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
39		icossre 13454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
40	19, 21, 39	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
41	40	sselda 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
42	41	mnfltd 13148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
43	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
45		icoltub 46115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
46	43, 38, 44, 45	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
47	37, 38, 41, 42, 46	eliood 46105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
48		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
49		snidg 4631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐵})
50		elun2 4144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐵} → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
51	19, 49, 50	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
52	51	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
53	48, 52	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
54	53	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
55		simpll 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝜑)
56	43	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
57	38	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
58	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
59	19	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
60		icogelb 13422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
61	43, 38, 44, 60	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
62	61	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑥)
63		neqne 2972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ≠ 𝐵)
64	63	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ≠ 𝐵)
65	59, 58, 62, 64	leneltd 11363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
66	46	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
67	56, 57, 58, 65, 66	eliood 46105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
68	12	sselda 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
69		elun1 4143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
71	55, 67, 70	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
72	54, 71	pm2.61dan 824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
73	47, 72	elind 4161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
74	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
75	48, 74	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
76	75	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
77		ioossico 13464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,)𝐶)
78	20	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
79	21	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
80		elinel1 4162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
81	80	elioored 46156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ)
82	81	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
83	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ*)
84		elinel2 4163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
85		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 = 𝐵)
86		velsn 4610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
87	85, 86	sylnibr 332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
88		elunnel2 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
89	84, 87, 88	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
90	13, 89	sselid 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
91	90	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
92		ioogtlb 46102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷)) → 𝐵 < 𝑥)
93	78, 83, 91, 92	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
94	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → -∞ ∈ ℝ*)
95	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
96	80	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
97		iooltub 46117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 < 𝐶)
99	98	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
100	78, 79, 82, 93, 99	eliood 46105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
101	77, 100	sselid 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
102	76, 101	pm2.61dan 824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
103	73, 102	impbida 812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))))
104	103	eqrdv 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
105		retop 24886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
106	105	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
107	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V)
108		iooretop 24890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
109	108	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)))
110		elrestr 17480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
111	106, 107, 109, 110	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
112	104, 111	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
113		tgioo4 24930	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
114	113	oveq1i 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
115	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
116		ioossre 13433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℝ
117	13, 116	sstri 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ)
119	19	snssd 4757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
120	118, 119	unssd 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
121		reex 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
123		restabs 23290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
124	115, 120, 122, 123	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
125	114, 124	eqtrid 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
126	112, 125	eleqtrd 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
127		isopn3i 23207	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top ∧ (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
128	35, 126, 127	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
129	27, 128	eqtr2d 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
130	24, 129	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
131	10, 12, 16, 17, 18, 130	limcres 26013	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) limℂ 𝐵))
132	7, 131	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113  ran crn 5663   ↾ cres 5664  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  -∞cmnf 11240  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  (,)cioo 13371  [,)cico 13373   ↾_t crest 17472  TopOpenctopn 17473  topGenctg 17489  ℂ_fldccnfld 21490  Topctop 23018  intcnt 23142   lim_ℂ climc 25989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-rest 17474  df-topn 17475  df-topgen 17495  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-ntr 23145  df-cnp 23353  df-xms 24445  df-ms 24446  df-limc 25993

This theorem is referenced by:  fouriersw  46836