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Theorem hoidmv1lelem2 44935
Description: This is the contradiction proven in step (c) in the proof of Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1lelem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
hoidmv1lelem2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
hoidmv1lelem2.c (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆβ„)
hoidmv1lelem2.d (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆβ„)
hoidmv1lelem2.r (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
hoidmv1lelem2.u π‘ˆ = {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))}
hoidmv1lelem2.e (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
hoidmv1lelem2.g (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑆)
hoidmv1lelem2.l (πœ‘ β†’ 𝑆 < 𝐡)
hoidmv1lelem2.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
hoidmv1lelem2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ((πΆβ€˜πΎ)[,)(π·β€˜πΎ)))
hoidmv1lelem2.m 𝑀 = if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡)
Assertion
Ref Expression
hoidmv1lelem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑆 < 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝐢,𝑗,𝑧   𝐷,𝑗,𝑧   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀,𝑧   𝑒,𝑀   𝑆,𝑗,𝑧   𝑒,𝑆   𝑒,π‘ˆ   πœ‘,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑒)   𝐴(𝑒,𝑗)   𝐡(𝑒,𝑗)   𝐢(𝑒)   𝐷(𝑒)   π‘ˆ(𝑧,𝑗)   𝐾(𝑧,𝑒)

Proof of Theorem hoidmv1lelem2
StepHypRef Expression
1 hoidmv1lelem2.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 hoidmv1lelem2.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 hoidmv1lelem2.m . . . . . . . 8 𝑀 = if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡)
43a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 = if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡))
5 hoidmv1lelem2.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆβ„)
6 hoidmv1lelem2.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
75, 6ffvelcdmd 7042 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΎ) ∈ ℝ)
87, 2ifcld 4538 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡) ∈ ℝ)
94, 8eqeltrd 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
10 hoidmv1lelem2.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆβ„)
1110, 6ffvelcdmd 7042 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
127rexrd 11215 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΎ) ∈ ℝ*)
13 icossre 13356 . . . . . . . . . 10 (((πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ (π·β€˜πΎ) ∈ ℝ*) β†’ ((πΆβ€˜πΎ)[,)(π·β€˜πΎ)) βŠ† ℝ)
1411, 12, 13syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜πΎ)[,)(π·β€˜πΎ)) βŠ† ℝ)
15 hoidmv1lelem2.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ((πΆβ€˜πΎ)[,)(π·β€˜πΎ)))
1614, 15sseldd 3949 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
17 hoidmv1lelem2.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑆)
1811rexrd 11215 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ*)
19 icoltub 43848 . . . . . . . . . . . 12 (((πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΎ) ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ((πΆβ€˜πΎ)[,)(π·β€˜πΎ))) β†’ 𝑆 < (π·β€˜πΎ))
2018, 12, 15, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 < (π·β€˜πΎ))
2116, 7, 20ltled 11313 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ (π·β€˜πΎ))
22 hoidmv1lelem2.l . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 < 𝐡)
2316, 2, 22ltled 11313 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ 𝐡)
2421, 23jca 513 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 ≀ (π·β€˜πΎ) ∧ 𝑆 ≀ 𝐡))
25 lemin 13122 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (π·β€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 ≀ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡) ↔ (𝑆 ≀ (π·β€˜πΎ) ∧ 𝑆 ≀ 𝐡)))
2616, 7, 2, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 ≀ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡) ↔ (𝑆 ≀ (π·β€˜πΎ) ∧ 𝑆 ≀ 𝐡)))
2724, 26mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡))
281, 16, 8, 17, 27letrd 11322 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡))
294eqcomd 2738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡) = 𝑀)
3028, 29breqtrd 5137 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑀)
31 min2 13120 . . . . . . . 8 (((π·β€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡) ≀ 𝐡)
327, 2, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡) ≀ 𝐡)
334, 32eqbrtrd 5133 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝐡)
341, 2, 9, 30, 33eliccd 43844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))
359recnd 11193 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3616recnd 11193 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
371recnd 11193 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3835, 36, 37npncand 11546 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (𝑆 βˆ’ 𝐴)) = (𝑀 βˆ’ 𝐴))
3938eqcomd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 𝐴) = ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (𝑆 βˆ’ 𝐴)))
409, 16resubcld 11593 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ)
4116, 1resubcld 11593 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
4240, 41readdcld 11194 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (𝑆 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
43 nnex 12169 . . . . . . . . . . . . 13 β„• ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
45 volf 24931 . . . . . . . . . . . . . . 15 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
4710ffvelcdmda 7041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
485ffvelcdmda 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ)
4916adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49ifcld 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ∈ ℝ)
5150rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ∈ ℝ*)
52 icombl 24966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ∈ ℝ*) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) ∈ dom vol)
5347, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) ∈ dom vol)
5446, 53ffvelcdmd 7042 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) ∈ (0[,]+∞))
55 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))
5654, 55fmptd 7068 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
5744, 56sge0xrcl 44728 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ∈ ℝ*)
58 pnfxr 11219 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
60 hoidmv1lelem2.r . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
6160rexrd 11215 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ*)
62 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘—πœ‘
6348rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ*)
64 icombl 24966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ*) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)) ∈ dom vol)
6547, 63, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)) ∈ dom vol)
6646, 65ffvelcdmd 7042 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))) ∈ (0[,]+∞))
6747rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
6847leidd 11731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ≀ (πΆβ€˜π‘—))
69 min1 13119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π·β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ (π·β€˜π‘—))
7048, 49, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ (π·β€˜π‘—))
71 icossico 13345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ*) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ≀ (πΆβ€˜π‘—) ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ (π·β€˜π‘—))) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)))
7267, 63, 68, 70, 71syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)))
73 volss 24935 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))
7453, 65, 72, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))
7562, 44, 54, 66, 74sge0lempt 44753 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))))
7660ltpnfd 13052 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))) < +∞)
7757, 61, 59, 75, 76xrlelttrd 13090 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) < +∞)
7857, 59, 77xrltned 43694 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) β‰  +∞)
7978neneqd 2945 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) = +∞)
8044, 56sge0repnf 44729 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ∈ ℝ ↔ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) = +∞))
8179, 80mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ∈ ℝ)
8240, 81readdcld 11194 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))) ∈ ℝ)
839adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8448, 83ifcld 4538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ∈ ℝ)
8584rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ∈ ℝ*)
86 icombl 24966 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ∈ ℝ*) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)) ∈ dom vol)
8747, 85, 86syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)) ∈ dom vol)
8846, 87ffvelcdmd 7042 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))) ∈ (0[,]+∞))
89 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))
9088, 89fmptd 7068 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
9144, 90sge0xrcl 44728 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ∈ ℝ*)
92 min1 13119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π·β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ≀ (π·β€˜π‘—))
9348, 83, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ≀ (π·β€˜π‘—))
94 icossico 13345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ*) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ≀ (πΆβ€˜π‘—) ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ≀ (π·β€˜π‘—))) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)))
9567, 63, 68, 93, 94syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)))
96 volss 24935 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))
9787, 65, 95, 96syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))
9862, 44, 88, 66, 97sge0lempt 44753 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))))
9991, 61, 59, 98, 76xrlelttrd 13090 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) < +∞)
10091, 59, 99xrltned 43694 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) β‰  +∞)
101100neneqd 2945 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) = +∞)
10244, 90sge0repnf 44729 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ∈ ℝ ↔ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) = +∞))
103101, 102mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ∈ ℝ)
104 hoidmv1lelem2.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
105 hoidmv1lelem2.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))}
106104, 105eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))})
107 oveq1 7370 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = (𝑆 βˆ’ 𝐴))
108 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑧 = 𝑆)
109108breq2d 5123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧 ↔ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆))
110109, 108ifbieq2d 4518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 = 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) = if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))
111110oveq2d 7379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 = 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) = ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))
112111fveq2d 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 = 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))) = (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))
113112mpteq2dva 5211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑆 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))
114113fveq2d 6852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑆 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))))
115107, 114breq12d 5124 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) ↔ (𝑆 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
116115elrab 3649 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))} ↔ (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
117106, 116sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
118117simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))))
11941, 81, 40, 118leadd2dd 11780 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (𝑆 βˆ’ 𝐴)) ≀ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
120 difssd 4098 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„• βˆ– {𝐾}) βŠ† β„•)
12162, 44, 54, 81, 120sge0ssrempt 44748 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ∈ ℝ)
122 difexg 5290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„• ∈ V β†’ (β„• βˆ– {𝐾}) ∈ V)
12343, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„• βˆ– {𝐾}) ∈ V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„• βˆ– {𝐾}) ∈ V)
12545a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
126 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ πœ‘)
127 eldifi 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
128127adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
129126, 128, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
130128, 85syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ∈ ℝ*)
131129, 130, 86syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)) ∈ dom vol)
132125, 131ffvelcdmd 7042 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))) ∈ (0[,]+∞))
13362, 124, 132sge0xrclmpt 44771 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ∈ ℝ*)
13444, 88, 120sge0lessmpt 44742 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))))
135133, 91, 59, 134, 99xrlelttrd 13090 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) < +∞)
136133, 59, 135xrltned 43694 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) β‰  +∞)
137136neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) = +∞)
13862, 124, 132sge0repnfmpt 44782 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ∈ ℝ ↔ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) = +∞))
139137, 138mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ∈ ℝ)
1409, 11resubcld 11593 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) ∈ ℝ)
141128, 54syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) ∈ (0[,]+∞))
142128, 53syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) ∈ dom vol)
143128, 67syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
144128, 68syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ≀ (πΆβ€˜π‘—))
145 iftrue 4498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) = (π·β€˜π‘—))
146145adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) = (π·β€˜π‘—))
14748leidd 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ≀ (π·β€˜π‘—))
148147adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘—) ≀ (π·β€˜π‘—))
14948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ)
15083adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
15149adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
152 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆)
15320, 22jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (π·β€˜πΎ) ∧ 𝑆 < 𝐡))
154 ltmin 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (π·β€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡) ↔ (𝑆 < (π·β€˜πΎ) ∧ 𝑆 < 𝐡)))
15516, 7, 2, 154syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑆 < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡) ↔ (𝑆 < (π·β€˜πΎ) ∧ 𝑆 < 𝐡)))
156153, 155mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑆 < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡))
157156, 29breqtrd 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑆 < 𝑀)
158157ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑆 < 𝑀)
159149, 151, 150, 152, 158lelttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘—) < 𝑀)
160149, 150, 159ltled 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀)
161148, 160jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ ((π·β€˜π‘—) ≀ (π·β€˜π‘—) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀))
162 lemin 13122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π·β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘—) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ↔ ((π·β€˜π‘—) ≀ (π·β€˜π‘—) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀)))
163149, 149, 150, 162syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ ((π·β€˜π‘—) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ↔ ((π·β€˜π‘—) ≀ (π·β€˜π‘—) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀)))
164161, 163mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘—) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))
165146, 164eqbrtrd 5133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))
166 iffalse 4501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) = 𝑆)
167166adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) = 𝑆)
16849adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
16984adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ∈ ℝ)
170 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆)
17148adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ)
172168, 171ltnled 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (𝑆 < (π·β€˜π‘—) ↔ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆))
173170, 172mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑆 < (π·β€˜π‘—))
174157ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑆 < 𝑀)
175173, 174jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (𝑆 < (π·β€˜π‘—) ∧ 𝑆 < 𝑀))
17683adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
177 ltmin 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 < if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ↔ (𝑆 < (π·β€˜π‘—) ∧ 𝑆 < 𝑀)))
178168, 171, 176, 177syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (𝑆 < if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ↔ (𝑆 < (π·β€˜π‘—) ∧ 𝑆 < 𝑀)))
179175, 178mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑆 < if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))
180168, 169, 179ltled 11313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑆 ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))
181167, 180eqbrtrd 5133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))
182165, 181pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))
183128, 182syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))
184 icossico 13345 . . . . . . . . . . . 12 ((((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ≀ (πΆβ€˜π‘—) ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))
185143, 130, 144, 183, 184syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))
186 volss 24935 . . . . . . . . . . 11 ((((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))
187142, 131, 185, 186syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾})) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))
18862, 124, 141, 132, 187sge0lempt 44753 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))))
189121, 139, 140, 188leadd2dd 11780 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))) ≀ ((𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))))))
190 difsnid 4776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ β„• β†’ ((β„• βˆ– {𝐾}) βˆͺ {𝐾}) = β„•)
1916, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((β„• βˆ– {𝐾}) βˆͺ {𝐾}) = β„•)
192191eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ β„• = ((β„• βˆ– {𝐾}) βˆͺ {𝐾}))
193192mpteq1d 5206 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))) = (𝑗 ∈ ((β„• βˆ– {𝐾}) βˆͺ {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))
194193fveq2d 6852 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ ((β„• βˆ– {𝐾}) βˆͺ {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))))
195 neldifsnd 4759 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐾 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}))
196 fveq2 6848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐾 β†’ (πΆβ€˜π‘—) = (πΆβ€˜πΎ))
197 fveq2 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐾 β†’ (π·β€˜π‘—) = (π·β€˜πΎ))
198197breq1d 5121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐾 β†’ ((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆 ↔ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆))
199198, 197ifbieq1d 4516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐾 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) = if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆))
200196, 199oveq12d 7381 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐾 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) = ((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆)))
201200fveq2d 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐾 β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) = (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆))))
20245a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
2037, 16ifcld 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) ∈ ℝ)
204203rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) ∈ ℝ*)
205 icombl 24966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) ∈ ℝ*) β†’ ((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆)) ∈ dom vol)
20611, 204, 205syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆)) ∈ dom vol)
207202, 206ffvelcdmd 7042 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆))) ∈ (0[,]+∞))
20862, 124, 6, 195, 141, 201, 207sge0splitsn 44784 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ ((β„• βˆ– {𝐾}) βˆͺ {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) = ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) +𝑒 (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆)))))
209 volicore 44924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆))) ∈ ℝ)
21011, 203, 209syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆))) ∈ ℝ)
211 rexadd 13162 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ∈ ℝ ∧ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆))) ∈ ℝ) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) +𝑒 (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆)))) = ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆)))))
212121, 210, 211syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) +𝑒 (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆)))) = ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆)))))
213 volico 44326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆))) = if((πΆβ€˜πΎ) < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆), (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)), 0))
21411, 203, 213syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆))) = if((πΆβ€˜πΎ) < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆), (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)), 0))
21516, 7ltnled 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (π·β€˜πΎ) ↔ Β¬ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆))
21620, 215mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Β¬ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆)
217216iffalsed 4503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) = 𝑆)
218217breq2d 5123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜πΎ) < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) ↔ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆))
219218ifbid 4515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ if((πΆβ€˜πΎ) < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆), (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)), 0) = if((πΆβ€˜πΎ) < 𝑆, (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)), 0))
220217oveq1d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) = (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)))
221220adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) = (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)))
222217, 204eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
223222adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
22418adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ (πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ*)
225 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆)
22616adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
22711adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ (πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
228226, 227lenltd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ (𝑆 ≀ (πΆβ€˜πΎ) ↔ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆))
229225, 228mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ 𝑆 ≀ (πΆβ€˜πΎ))
230 icogelb 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΎ) ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ((πΆβ€˜πΎ)[,)(π·β€˜πΎ))) β†’ (πΆβ€˜πΎ) ≀ 𝑆)
23118, 12, 15, 230syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜πΎ) ≀ 𝑆)
232231adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ (πΆβ€˜πΎ) ≀ 𝑆)
233223, 224, 229, 232xrletrid 13085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ 𝑆 = (πΆβ€˜πΎ))
234233oveq1d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) = ((πΆβ€˜πΎ) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)))
235227recnd 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ (πΆβ€˜πΎ) ∈ β„‚)
236235subidd 11510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ ((πΆβ€˜πΎ) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) = 0)
237234, 236eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΆβ€˜πΎ) < 𝑆) β†’ 0 = (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)))
238221, 237ifeqda 4528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ if((πΆβ€˜πΎ) < 𝑆, (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)), 0) = (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)))
239214, 219, 2383eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆))) = (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)))
240239oveq2d 7379 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆)))) = ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ))))
241121recnd 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ∈ β„‚)
24211recnd 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜πΎ) ∈ β„‚)
24336, 242subcld 11522 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) ∈ β„‚)
244241, 243addcomd 11367 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ))) = ((𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
245212, 240, 2443eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) +𝑒 (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑆, (π·β€˜πΎ), 𝑆)))) = ((𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
246194, 208, 2453eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) = ((𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
247246oveq2d 7379 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))) = ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + ((𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))))))
24840recnd 11193 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚)
249248, 243, 241addassd 11187 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ))) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))) = ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + ((𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))))))
250249eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + ((𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))))) = (((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ))) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
25135, 36, 242npncand 11546 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ))) = (𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)))
252251oveq1d 7378 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (𝑆 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ))) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))) = ((𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
253247, 250, 2523eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))) = ((𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
254192mpteq1d 5206 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))) = (𝑗 ∈ ((β„• βˆ– {𝐾}) βˆͺ {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))))
255254fveq2d 6852 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ ((β„• βˆ– {𝐾}) βˆͺ {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))))
256197breq1d 5121 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐾 β†’ ((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀 ↔ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀))
257256, 197ifbieq1d 4516 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐾 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀) = if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))
258196, 257oveq12d 7381 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐾 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)) = ((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀)))
259258fveq2d 6852 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐾 β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))) = (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))))
2607, 9ifcld 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) ∈ ℝ)
261260rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) ∈ ℝ*)
262 icombl 24966 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) ∈ ℝ*) β†’ ((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀)) ∈ dom vol)
26311, 261, 262syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀)) ∈ dom vol)
264202, 263ffvelcdmd 7042 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))) ∈ (0[,]+∞))
26562, 124, 6, 195, 132, 259, 264sge0splitsn 44784 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ ((β„• βˆ– {𝐾}) βˆͺ {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) = ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) +𝑒 (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀)))))
266 volicore 44924 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))) ∈ ℝ)
26711, 260, 266syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))) ∈ ℝ)
268 rexadd 13162 . . . . . . . . . . . 12 (((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ∈ ℝ ∧ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))) ∈ ℝ) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) +𝑒 (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀)))) = ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) + (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀)))))
269139, 267, 268syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) +𝑒 (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀)))) = ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) + (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀)))))
270 volico 44326 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΆβ€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))) = if((πΆβ€˜πΎ) < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀), (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)), 0))
27111, 260, 270syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))) = if((πΆβ€˜πΎ) < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀), (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)), 0))
27220, 157jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (π·β€˜πΎ) ∧ 𝑆 < 𝑀))
273 ltmin 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (π·β€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) ↔ (𝑆 < (π·β€˜πΎ) ∧ 𝑆 < 𝑀)))
27416, 7, 9, 273syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑆 < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) ↔ (𝑆 < (π·β€˜πΎ) ∧ 𝑆 < 𝑀)))
275272, 274mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))
27611, 16, 260, 231, 275lelttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜πΎ) < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))
277276iftrued 4500 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if((πΆβ€˜πΎ) < if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀), (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)), 0) = (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)))
278 iftrue 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀 β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) = (π·β€˜πΎ))
279278adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀) β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) = (π·β€˜πΎ))
28012adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀) β†’ (π·β€˜πΎ) ∈ ℝ*)
2819rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
282281adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
283 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀) β†’ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀)
284 min1 13119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π·β€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡) ≀ (π·β€˜πΎ))
2857, 2, 284syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝐡, (π·β€˜πΎ), 𝐡) ≀ (π·β€˜πΎ))
2864, 285eqbrtrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (π·β€˜πΎ))
287286adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ≀ (π·β€˜πΎ))
288280, 282, 283, 287xrletrid 13085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀) β†’ (π·β€˜πΎ) = 𝑀)
289279, 288eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀) β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) = 𝑀)
290 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀) β†’ Β¬ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀)
291290iffalsed 4503 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀) β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) = 𝑀)
292289, 291pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) = 𝑀)
293292oveq1d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀) βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) = (𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)))
294271, 277, 2933eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀))) = (𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)))
295294oveq2d 7379 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) + (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀)))) = ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) + (𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ))))
296139recnd 11193 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ∈ β„‚)
29735, 242subcld 11522 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) ∈ β„‚)
298296, 297addcomd 11367 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) + (𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ))) = ((𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))))))
299269, 295, 2983eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) +𝑒 (volβ€˜((πΆβ€˜πΎ)[,)if((π·β€˜πΎ) ≀ 𝑀, (π·β€˜πΎ), 𝑀)))) = ((𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))))))
300255, 265, 2993eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) = ((𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))))))
301253, 300breq12d 5124 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))) ↔ ((𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))) ≀ ((𝑀 βˆ’ (πΆβ€˜πΎ)) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ (β„• βˆ– {𝐾}) ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))))))
302189, 301mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))))
30342, 82, 103, 119, 302letrd 11322 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 𝑆) + (𝑆 βˆ’ 𝐴)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))))
30439, 303eqbrtrd 5133 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))))
30534, 304jca 513 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝑀 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))))))
306 oveq1 7370 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = (𝑀 βˆ’ 𝐴))
307 breq2 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧 ↔ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀))
308 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑀 β†’ 𝑧 = 𝑀)
309307, 308ifbieq2d 4518 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑀 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) = if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))
310309oveq2d 7379 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) = ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))
311310fveq2d 6852 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))) = (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))
312311mpteq2dv 5213 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))))
313312fveq2d 6852 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀))))))
314306, 313breq12d 5124 . . . . 5 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) ↔ (𝑀 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))))))
315314elrab 3649 . . . 4 (𝑀 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))} ↔ (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝑀 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑀, (π·β€˜π‘—), 𝑀)))))))
316305, 315sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))})
317316, 105eleqtrrdi 2844 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
318272simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 < 𝑀)
319 breq2 5115 . . 3 (𝑒 = 𝑀 β†’ (𝑆 < 𝑒 ↔ 𝑆 < 𝑀))
320319rspcev 3583 . 2 ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑆 < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑆 < 𝑒)
321317, 318, 320syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑆 < 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  ifcif 4492  {csn 4592   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5639  βŸΆwf 6498  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363  β„cr 11060  0cc0 11061   + caddc 11064  +∞cpnf 11196  β„*cxr 11198   < clt 11199   ≀ cle 11200   βˆ’ cmin 11395  β„•cn 12163   +𝑒 cxad 13041  [,)cico 13277  [,]cicc 13278  volcvol 24865  Ξ£^csumge0 44705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-inf2 9587  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7623  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-2o 8419  df-er 8656  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9456  df-dju 9847  df-card 9885  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-q 12884  df-rp 12926  df-xneg 13043  df-xadd 13044  df-xmul 13045  df-ioo 13279  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13436  df-fzo 13579  df-fl 13708  df-seq 13918  df-exp 13979  df-hash 14242  df-cj 14997  df-re 14998  df-im 14999  df-sqrt 15133  df-abs 15134  df-clim 15383  df-rlim 15384  df-sum 15584  df-rest 17319  df-topgen 17340  df-psmet 20826  df-xmet 20827  df-met 20828  df-bl 20829  df-mopn 20830  df-top 22281  df-topon 22298  df-bases 22334  df-cmp 22776  df-ovol 24866  df-vol 24867  df-sumge0 44706
This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem3  44936
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