Theorem ltmod 46176

Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltmod.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ltmod	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem ltmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmod.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmod.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	modcld 13882	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	resubcld 11612	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
5	1	rexrd 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		icossre 13429	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
8		ltmod.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))
9	7, 8	sseldd 3937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	2	rpred 13034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	9, 2	rerpdivcld 13065	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℤ)
13	12	zred 12674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
14	10, 13	remulcld 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) ∈ ℝ)
15	4	rexrd 11229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
16		icoltub 46048	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴)) → 𝐶 < 𝐴)
17	15, 5, 8, 16	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐴)
18	9, 1, 14, 17	ltsub1dd 11796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
19		icossicc 13437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)
20	19, 8	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
21	1, 2, 20	lefldiveq 45835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
22	21	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
23	22	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
24	23	oveq2d 7408	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
25	18, 24	breqtrd 5125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
26		modval 13878	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
27	9, 2, 26	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
28		modval 13878	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
29	1, 2, 28	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
30	25, 27, 29	3brtr4d 5131	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069   · cmul 11075  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℝ⁺crp 12990  [,)cico 13348  [,]cicc 13349  ⌊cfl 13797   mod cmo 13876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fl 13799  df-mod 13877

This theorem is referenced by:  fouriersw  46769