Theorem ltmod 45655

Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltmod.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ltmod	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem ltmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmod.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmod.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	modcld 13771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	resubcld 11537	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
5	1	rexrd 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		icossre 13320	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
8		ltmod.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))
9	7, 8	sseldd 3933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	2	rpred 12926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	9, 2	rerpdivcld 12957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℤ)
13	12	zred 12569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
14	10, 13	remulcld 11134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) ∈ ℝ)
15	4	rexrd 11154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
16		icoltub 45527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴)) → 𝐶 < 𝐴)
17	15, 5, 8, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐴)
18	9, 1, 14, 17	ltsub1dd 11721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
19		icossicc 13328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)
20	19, 8	sselid 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
21	1, 2, 20	lefldiveq 45312	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
22	21	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
23	22	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
24	23	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
25	18, 24	breqtrd 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
26		modval 13767	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
27	9, 2, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
28		modval 13767	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
29	1, 2, 28	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
30	25, 27, 29	3brtr4d 5121	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℝcr 10997   · cmul 11003  ℝ^*cxr 11137   < clt 11138   − cmin 11336   / cdiv 11766  ℝ⁺crp 12882  [,)cico 13239  [,]cicc 13240  ⌊cfl 13686   mod cmo 13765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fl 13688  df-mod 13766

This theorem is referenced by:  fouriersw  46248