![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > ltmod | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmod.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
ltmod.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ+) |
ltmod.c | โข (๐ โ ๐ถ โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด)) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmod | โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ต) < (๐ด mod ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltmod.a | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ltmod.b | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ต โ โ+) | |
3 | 1, 2 | modcld 13841 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ด mod ๐ต) โ โ) |
4 | 1, 3 | resubcld 11641 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ด โ (๐ด mod ๐ต)) โ โ) |
5 | 1 | rexrd 11263 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ*) |
6 | icossre 13406 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ (๐ด mod ๐ต)) โ โ โง ๐ด โ โ*) โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โ โ) | |
7 | 4, 5, 6 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โ โ) |
8 | ltmod.c | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด)) | |
9 | 7, 8 | sseldd 3976 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
10 | 2 | rpred 13017 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
11 | 9, 2 | rerpdivcld 13048 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ถ / ๐ต) โ โ) |
12 | 11 | flcld 13764 | . . . . . 6 โข (๐ โ (โโ(๐ถ / ๐ต)) โ โค) |
13 | 12 | zred 12665 | . . . . 5 โข (๐ โ (โโ(๐ถ / ๐ต)) โ โ) |
14 | 10, 13 | remulcld 11243 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต))) โ โ) |
15 | 4 | rexrd 11263 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด โ (๐ด mod ๐ต)) โ โ*) |
16 | icoltub 44766 | . . . . 5 โข (((๐ด โ (๐ด mod ๐ต)) โ โ* โง ๐ด โ โ* โง ๐ถ โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด)) โ ๐ถ < ๐ด) | |
17 | 15, 5, 8, 16 | syl3anc 1368 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ < ๐ด) |
18 | 9, 1, 14, 17 | ltsub1dd 11825 | . . 3 โข (๐ โ (๐ถ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต)))) < (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต))))) |
19 | icossicc 13414 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,]๐ด) | |
20 | 19, 8 | sselid 3973 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ถ โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,]๐ด)) |
21 | 1, 2, 20 | lefldiveq 44547 | . . . . . 6 โข (๐ โ (โโ(๐ด / ๐ต)) = (โโ(๐ถ / ๐ต))) |
22 | 21 | eqcomd 2730 | . . . . 5 โข (๐ โ (โโ(๐ถ / ๐ต)) = (โโ(๐ด / ๐ต))) |
23 | 22 | oveq2d 7418 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต))) = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต)))) |
24 | 23 | oveq2d 7418 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต)))) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
25 | 18, 24 | breqtrd 5165 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต)))) < (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
26 | modval 13837 | . . 3 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ถ mod ๐ต) = (๐ถ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต))))) | |
27 | 9, 2, 26 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ต) = (๐ถ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต))))) |
28 | modval 13837 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) | |
29 | 1, 2, 28 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
30 | 25, 27, 29 | 3brtr4d 5171 | 1 โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ต) < (๐ด mod ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wss 3941 class class class wbr 5139 โcfv 6534 (class class class)co 7402 โcr 11106 ยท cmul 11112 โ*cxr 11246 < clt 11247 โ cmin 11443 / cdiv 11870 โ+crp 12975 [,)cico 13327 [,]cicc 13328 โcfl 13756 mod cmo 13835 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-sup 9434 df-inf 9435 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-rp 12976 df-ico 13331 df-icc 13332 df-fl 13758 df-mod 13836 |
This theorem is referenced by: fouriersw 45492 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |