Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmod 45295
Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmod.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmod.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
ltmod.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))
Assertion
Ref Expression
ltmod (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem ltmod
StepHypRef Expression
1 ltmod.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmod.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
31, 2modcld 13889 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
41, 3resubcld 11683 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
51rexrd 11305 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6 icossre 13453 . . . . . 6 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
74, 5, 6syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
8 ltmod.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))
97, 8sseldd 3979 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
102rpred 13064 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
119, 2rerpdivcld 13095 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1211flcld 13812 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℤ)
1312zred 12712 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1410, 13remulcld 11285 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) ∈ ℝ)
154rexrd 11305 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
16 icoltub 45162 . . . . 5 (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴)) → 𝐶 < 𝐴)
1715, 5, 8, 16syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑𝐶 < 𝐴)
189, 1, 14, 17ltsub1dd 11867 . . 3 (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
19 icossicc 13461 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)
2019, 8sselid 3976 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
211, 2, 20lefldiveq 44943 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
2221eqcomd 2732 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
2322oveq2d 7432 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
2423oveq2d 7432 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2518, 24breqtrd 5171 . 2 (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
26 modval 13885 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
279, 2, 26syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
28 modval 13885 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
291, 2, 28syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3025, 27, 293brtr4d 5177 1 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3946   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  cr 11148   · cmul 11154  *cxr 11288   < clt 11289  cmin 11485   / cdiv 11912  +crp 13022  [,)cico 13374  [,]cicc 13375  cfl 13804   mod cmo 13883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fl 13806  df-mod 13884
This theorem is referenced by:  fouriersw  45888
  Copyright terms: Public domain W3C validator