Theorem ltmod 45750

Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltmod.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ltmod	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem ltmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmod.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmod.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	modcld 13789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	resubcld 11555	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
5	1	rexrd 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		icossre 13338	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
8		ltmod.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))
9	7, 8	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	2	rpred 12944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	9, 2	rerpdivcld 12975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℤ)
13	12	zred 12587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
14	10, 13	remulcld 11152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) ∈ ℝ)
15	4	rexrd 11172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
16		icoltub 45622	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴)) → 𝐶 < 𝐴)
17	15, 5, 8, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐴)
18	9, 1, 14, 17	ltsub1dd 11739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
19		icossicc 13346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)
20	19, 8	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
21	1, 2, 20	lefldiveq 45407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
22	21	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
23	22	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
24	23	oveq2d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
25	18, 24	breqtrd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
26		modval 13785	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
27	9, 2, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
28		modval 13785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
29	1, 2, 28	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
30	25, 27, 29	3brtr4d 5127	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11015   · cmul 11021  ℝ^*cxr 11155   < clt 11156   − cmin 11354   / cdiv 11784  ℝ⁺crp 12900  [,)cico 13257  [,]cicc 13258  ⌊cfl 13704   mod cmo 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-ico 13261  df-icc 13262  df-fl 13706  df-mod 13784

This theorem is referenced by:  fouriersw  46343