Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmod 44899
Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmod.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
ltmod.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
ltmod.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด))
Assertion
Ref Expression
ltmod (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod ๐ต) < (๐ด mod ๐ต))

Proof of Theorem ltmod
StepHypRef Expression
1 ltmod.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 ltmod.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
31, 2modcld 13841 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ต) โˆˆ โ„)
41, 3resubcld 11641 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) โˆˆ โ„)
51rexrd 11263 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
6 icossre 13406 . . . . . 6 (((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โІ โ„)
74, 5, 6syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โІ โ„)
8 ltmod.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด))
97, 8sseldd 3976 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
102rpred 13017 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
119, 2rerpdivcld 13048 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1211flcld 13764 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
1312zred 12665 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)) โˆˆ โ„)
1410, 13remulcld 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต))) โˆˆ โ„)
154rexrd 11263 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) โˆˆ โ„*)
16 icoltub 44766 . . . . 5 (((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด)) โ†’ ๐ถ < ๐ด)
1715, 5, 8, 16syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < ๐ด)
189, 1, 14, 17ltsub1dd 11825 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))) < (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))))
19 icossicc 13414 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โІ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,]๐ด)
2019, 8sselid 3973 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,]๐ด))
211, 2, 20lefldiveq 44547 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))
2221eqcomd 2730 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
2322oveq2d 7418 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต))) = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))))
2423oveq2d 7418 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
2518, 24breqtrd 5165 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))) < (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
26 modval 13837 . . 3 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ mod ๐ต) = (๐ถ โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))))
279, 2, 26syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod ๐ต) = (๐ถ โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))))
28 modval 13837 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
291, 2, 28syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
3025, 27, 293brtr4d 5171 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod ๐ต) < (๐ด mod ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3941   class class class wbr 5139  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„cr 11106   ยท cmul 11112  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„+crp 12975  [,)cico 13327  [,]cicc 13328  โŒŠcfl 13756   mod cmo 13835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fl 13758  df-mod 13836
This theorem is referenced by:  fouriersw  45492
  Copyright terms: Public domain W3C validator