Theorem ltmod 45643

Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltmod.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ltmod	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem ltmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmod.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmod.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	modcld 13844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	resubcld 11613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
5	1	rexrd 11231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		icossre 13396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
8		ltmod.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))
9	7, 8	sseldd 3950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	2	rpred 13002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	9, 2	rerpdivcld 13033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℤ)
13	12	zred 12645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
14	10, 13	remulcld 11211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) ∈ ℝ)
15	4	rexrd 11231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
16		icoltub 45513	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴)) → 𝐶 < 𝐴)
17	15, 5, 8, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐴)
18	9, 1, 14, 17	ltsub1dd 11797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
19		icossicc 13404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)
20	19, 8	sselid 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
21	1, 2, 20	lefldiveq 45297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
22	21	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
23	22	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
24	23	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
25	18, 24	breqtrd 5136	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
26		modval 13840	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
27	9, 2, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
28		modval 13840	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
29	1, 2, 28	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
30	25, 27, 29	3brtr4d 5142	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   · cmul 11080  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958  [,)cico 13315  [,]cicc 13316  ⌊cfl 13759   mod cmo 13838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fl 13761  df-mod 13839

This theorem is referenced by:  fouriersw  46236