Theorem ltmod 46853

Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltmod.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ltmod	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem ltmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmod.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltmod.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	modcld 14042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	resubcld 11771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
5	1	rexrd 11386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		icossre 13586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ℝ)
8		ltmod.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴))
9	7, 8	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	2	rpred 13191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	9, 2	rerpdivcld 13222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℤ)
13	12	zred 12830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
14	10, 13	remulcld 11366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) ∈ ℝ)
15	4	rexrd 11386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
16		icoltub 46725	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴)) → 𝐶 < 𝐴)
17	15, 5, 8, 16	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐴)
18	9, 1, 14, 17	ltsub1dd 11955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
19		icossicc 13594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,)𝐴) ⊆ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)
20	19, 8	sselid 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
21	1, 2, 20	lefldiveq 46513	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
22	21	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
23	22	oveq2d 7459	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
24	23	oveq2d 7459	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
25	18, 24	breqtrd 5134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))) < (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
26		modval 14038	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
27	9, 2, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) = (𝐶 − (𝐵 · (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))))
28		modval 14038	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
29	1, 2, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
30	25, 27, 29	3brtr4d 5140	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐵) < (𝐴 mod 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226   · cmul 11232  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℝ⁺crp 13147  [,)cico 13505  [,]cicc 13506  ⌊cfl 13957   mod cmo 14036

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fl 13959  df-mod 14037

This theorem is used by:  fouriersw  47446