![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > ltmod | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmod.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
ltmod.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ+) |
ltmod.c | โข (๐ โ ๐ถ โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด)) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmod | โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ต) < (๐ด mod ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltmod.a | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ltmod.b | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ต โ โ+) | |
3 | 1, 2 | modcld 13872 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ด mod ๐ต) โ โ) |
4 | 1, 3 | resubcld 11672 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ด โ (๐ด mod ๐ต)) โ โ) |
5 | 1 | rexrd 11294 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ*) |
6 | icossre 13437 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ (๐ด mod ๐ต)) โ โ โง ๐ด โ โ*) โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โ โ) | |
7 | 4, 5, 6 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โ โ) |
8 | ltmod.c | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด)) | |
9 | 7, 8 | sseldd 3981 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
10 | 2 | rpred 13048 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
11 | 9, 2 | rerpdivcld 13079 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ถ / ๐ต) โ โ) |
12 | 11 | flcld 13795 | . . . . . 6 โข (๐ โ (โโ(๐ถ / ๐ต)) โ โค) |
13 | 12 | zred 12696 | . . . . 5 โข (๐ โ (โโ(๐ถ / ๐ต)) โ โ) |
14 | 10, 13 | remulcld 11274 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต))) โ โ) |
15 | 4 | rexrd 11294 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด โ (๐ด mod ๐ต)) โ โ*) |
16 | icoltub 44893 | . . . . 5 โข (((๐ด โ (๐ด mod ๐ต)) โ โ* โง ๐ด โ โ* โง ๐ถ โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด)) โ ๐ถ < ๐ด) | |
17 | 15, 5, 8, 16 | syl3anc 1369 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ < ๐ด) |
18 | 9, 1, 14, 17 | ltsub1dd 11856 | . . 3 โข (๐ โ (๐ถ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต)))) < (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต))))) |
19 | icossicc 13445 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,]๐ด) | |
20 | 19, 8 | sselid 3978 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ถ โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต))[,]๐ด)) |
21 | 1, 2, 20 | lefldiveq 44674 | . . . . . 6 โข (๐ โ (โโ(๐ด / ๐ต)) = (โโ(๐ถ / ๐ต))) |
22 | 21 | eqcomd 2734 | . . . . 5 โข (๐ โ (โโ(๐ถ / ๐ต)) = (โโ(๐ด / ๐ต))) |
23 | 22 | oveq2d 7436 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต))) = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต)))) |
24 | 23 | oveq2d 7436 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต)))) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
25 | 18, 24 | breqtrd 5174 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต)))) < (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
26 | modval 13868 | . . 3 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ถ mod ๐ต) = (๐ถ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต))))) | |
27 | 9, 2, 26 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ต) = (๐ถ โ (๐ต ยท (โโ(๐ถ / ๐ต))))) |
28 | modval 13868 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) | |
29 | 1, 2, 28 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
30 | 25, 27, 29 | 3brtr4d 5180 | 1 โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ต) < (๐ด mod ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wss 3947 class class class wbr 5148 โcfv 6548 (class class class)co 7420 โcr 11137 ยท cmul 11143 โ*cxr 11277 < clt 11278 โ cmin 11474 / cdiv 11901 โ+crp 13006 [,)cico 13358 [,]cicc 13359 โcfl 13787 mod cmo 13866 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-2nd 7994 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-sup 9465 df-inf 9466 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-n0 12503 df-z 12589 df-uz 12853 df-rp 13007 df-ico 13362 df-icc 13363 df-fl 13789 df-mod 13867 |
This theorem is referenced by: fouriersw 45619 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |