Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmod 45026
Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmod.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
ltmod.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
ltmod.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด))
Assertion
Ref Expression
ltmod (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod ๐ต) < (๐ด mod ๐ต))

Proof of Theorem ltmod
StepHypRef Expression
1 ltmod.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 ltmod.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
31, 2modcld 13872 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ต) โˆˆ โ„)
41, 3resubcld 11672 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) โˆˆ โ„)
51rexrd 11294 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
6 icossre 13437 . . . . . 6 (((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โІ โ„)
74, 5, 6syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โІ โ„)
8 ltmod.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด))
97, 8sseldd 3981 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
102rpred 13048 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
119, 2rerpdivcld 13079 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1211flcld 13795 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
1312zred 12696 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)) โˆˆ โ„)
1410, 13remulcld 11274 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต))) โˆˆ โ„)
154rexrd 11294 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) โˆˆ โ„*)
16 icoltub 44893 . . . . 5 (((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด)) โ†’ ๐ถ < ๐ด)
1715, 5, 8, 16syl3anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < ๐ด)
189, 1, 14, 17ltsub1dd 11856 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))) < (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))))
19 icossicc 13445 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,)๐ด) โІ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,]๐ด)
2019, 8sselid 3978 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต))[,]๐ด))
211, 2, 20lefldiveq 44674 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))
2221eqcomd 2734 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
2322oveq2d 7436 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต))) = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))))
2423oveq2d 7436 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
2518, 24breqtrd 5174 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))) < (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
26 modval 13868 . . 3 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ mod ๐ต) = (๐ถ โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))))
279, 2, 26syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod ๐ต) = (๐ถ โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ถ / ๐ต)))))
28 modval 13868 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
291, 2, 28syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
3025, 27, 293brtr4d 5180 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod ๐ต) < (๐ด mod ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โІ wss 3947   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„cr 11137   ยท cmul 11143  โ„*cxr 11277   < clt 11278   โˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  โ„+crp 13006  [,)cico 13358  [,]cicc 13359  โŒŠcfl 13787   mod cmo 13866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fl 13789  df-mod 13867
This theorem is referenced by:  fouriersw  45619
  Copyright terms: Public domain W3C validator