Theorem fourierdlem43 47433

Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fourierdlem43.1	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem43	⊢ 𝐾:( -π[,]π)⟶ℝ

Proof of Theorem fourierdlem43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem43.1	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
2		1red 11348	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 1 ∈ ℝ)
3		pire 26840	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → π ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11782	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → -π ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
7		eliccre 46790	. . . . . 6 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
8	5, 4, 6, 7	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
10		2re 12457	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℝ)
12	9	rehalfcld 12633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
13	12	resincld 16355	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11378	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15		2cnd 12461	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
16	13	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12489	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
19		0xr 11395	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ*)
21	10, 3	remulcli 11364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
22	21	rexri 11406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (2 · π) ∈ ℝ*)
24	8	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 < 𝑠)
26	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
27	5	rexrd 11398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
28	4	rexrd 11398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → π ∈ ℝ*)
29		iccleub 13572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
30	27, 28, 6, 29	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → 𝑠 ≤ π)
31		pirp 26847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
32		2timesgt 46577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → π < (2 · π))
35	8, 4, 26, 30, 34	lelttrd 11507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → 𝑠 < (2 · π))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 < (2 · π))
37	20, 23, 24, 25, 36	eliood 46783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
38		sinaover2ne0 47151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
40	39	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
41	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
42		iccgelb 13573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
43	27, 28, 6, 42	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → -π ≤ 𝑠)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ≤ 𝑠)
45		0red 11350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
46		neqne 2967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
47	46	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ≠ 0)
48		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → ¬ 0 < 𝑠)
49	41, 45, 47, 48	lttri5d 46588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 < 0)
50	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ∈ ℝ)
51		elico2 13581	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑠 ∈ ( -π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
52	50, 19, 51	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (𝑠 ∈ ( -π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
53	41, 44, 49, 52	mpbir3and 1361	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ( -π[,)0))
54	3	renegcli 11658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
55		elicore 13569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
56	54, 55	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
57	56	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 𝑠 ∈ ℂ)
58		2cnd 12461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 2 ∈ ℂ)
59	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 2 ≠ 0)
60	57, 58, 59	divnegd 12146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -(𝑠 / 2) = ( -𝑠 / 2))
61	60	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → ( -𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
62	61	fveq2d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘( -𝑠 / 2)) = (sin‘ -(𝑠 / 2)))
63	62	negeqd 11590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -(sin‘( -𝑠 / 2)) = -(sin‘ -(𝑠 / 2)))
64	57	halfcld 12631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
65		sinneg 16358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℂ → (sin‘ -(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘ -(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
67	66	negeqd 11590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -(sin‘ -(𝑠 / 2)) = - -(sin‘(𝑠 / 2)))
68	64	sincld 16342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 11699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → - -(sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
70	63, 67, 69	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -(sin‘( -𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
71	57	negcld 11695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -𝑠 ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → ( -𝑠 / 2) ∈ ℂ)
73	72	sincld 16342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘( -𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
74	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 0 ∈ ℝ*)
75	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
76	56	renegcld 11782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -𝑠 ∈ ℝ)
77	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -π ∈ ℝ)
78	77	rexrd 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -π ∈ ℝ*)
79		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 𝑠 ∈ ( -π[,)0))
80		icoltub 46793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,)0)) → 𝑠 < 0)
81	78, 74, 79, 80	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 𝑠 < 0)
82	56	lt0neg1d 11925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
83	81, 82	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 0 < -𝑠)
84	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → π ∈ ℝ)
85	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ)
86		icogelb 13567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,)0)) → -π ≤ 𝑠)
87	78, 74, 79, 86	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -π ≤ 𝑠)
88	84, 56, 87	lenegcon1d 11938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -𝑠 ≤ π)
89	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → π < (2 · π))
90	76, 84, 85, 88, 89	lelttrd 11507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -𝑠 < (2 · π))
91	74, 75, 76, 83, 90	eliood 46783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
92		sinaover2ne0 47151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘( -𝑠 / 2)) ≠ 0)
93	91, 92	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘( -𝑠 / 2)) ≠ 0)
94	73, 93	negne0d 11706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -(sin‘( -𝑠 / 2)) ≠ 0)
95	70, 94	eqnetrrd 3027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
96	53, 95	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
97	40, 96	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
98	15, 16, 18, 97	mulne0d 12008	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
99	9, 14, 98	redivcld 12185	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
100	2, 99	ifclda 4521	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
101	1, 100	fmpti 7144	1 ⊢ 𝐾:( -π[,]π)⟶ℝ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ifcif 4485   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  ℝ⁺crp 13160  (,)cioo 13516  [,)cico 13518  [,]cicc 13519  sincsin 16273  πcpi 16276

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242

This theorem is used by:  fourierdlem55  47444  fourierdlem62  47451  fourierdlem66  47455  fourierdlem77  47466  fourierdlem85  47474  fourierdlem88  47477  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493