Theorem fourierdlem43 44381

Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fourierdlem43.1	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem43	⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Proof of Theorem fourierdlem43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem43.1	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
2		1red 11156	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 1 ∈ ℝ)
3		pire 25815	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11582	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7		eliccre 43733	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
8	5, 4, 6, 7	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
10		2re 12227	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℝ)
12	9	rehalfcld 12400	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
13	12	resincld 16025	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11185	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15		2cnd 12231	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
16	13	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12257	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
19		0xr 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ*)
21	10, 3	remulcli 11171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
22	21	rexri 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (2 · π) ∈ ℝ*)
24	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
25		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 < 𝑠)
26	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
27	5	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
28	4	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
29		iccleub 13319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
30	27, 28, 6, 29	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ≤ π)
31		pirp 25818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
32		2timesgt 43512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
35	8, 4, 26, 30, 34	lelttrd 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 < (2 · π))
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 < (2 · π))
37	20, 23, 24, 25, 36	eliood 43726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
38		sinaover2ne0 44099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
40	39	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
41	8	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
42		iccgelb 13320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
43	27, 28, 6, 42	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝑠)
44	43	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ≤ 𝑠)
45		0red 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
46		neqne 2951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
47	46	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ≠ 0)
48		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → ¬ 0 < 𝑠)
49	41, 45, 47, 48	lttri5d 43523	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 < 0)
50	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ∈ ℝ)
51		elico2 13328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
52	50, 19, 51	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
53	41, 44, 49, 52	mpbir3and 1342	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
54	3	renegcli 11462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
55		elicore 13316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
56	54, 55	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
57	56	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℂ)
58		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ∈ ℂ)
59	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ≠ 0)
60	57, 58, 59	divnegd 11944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(𝑠 / 2) = (-𝑠 / 2))
61	60	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
62	61	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘-(𝑠 / 2)))
63	62	negeqd 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = -(sin‘-(𝑠 / 2)))
64	57	halfcld 12398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
65		sinneg 16028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
67	66	negeqd 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘-(𝑠 / 2)) = --(sin‘(𝑠 / 2)))
68	64	sincld 16012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 11503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → --(sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
70	63, 67, 69	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
71	57	negcld 11499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) ∈ ℂ)
73	72	sincld 16012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
74	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 ∈ ℝ*)
75	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
76	56	renegcld 11582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℝ)
77	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ)
78	77	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ*)
79		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
80		icoltub 43736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 < 0)
81	78, 74, 79, 80	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 < 0)
82	56	lt0neg1d 11724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
83	81, 82	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 < -𝑠)
84	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π ∈ ℝ)
85	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ)
86		icogelb 13315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → -π ≤ 𝑠)
87	78, 74, 79, 86	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ≤ 𝑠)
88	84, 56, 87	lenegcon1d 11737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ≤ π)
89	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π < (2 · π))
90	76, 84, 85, 88, 89	lelttrd 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 < (2 · π))
91	74, 75, 76, 83, 90	eliood 43726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
92		sinaover2ne0 44099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
94	73, 93	negne0d 11510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
95	70, 94	eqnetrrd 3012	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
96	53, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
97	40, 96	pm2.61dan 811	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
98	15, 16, 18, 97	mulne0d 11807	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
99	9, 14, 98	redivcld 11983	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
100	2, 99	ifclda 4521	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
101	1, 100	fmpti 7060	1 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  ℝ⁺crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  sincsin 15946  πcpi 15949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  fourierdlem55  44392  fourierdlem62  44399  fourierdlem66  44403  fourierdlem77  44414  fourierdlem85  44422  fourierdlem88  44425  fourierdlem103  44440  fourierdlem104  44441