Theorem fourierdlem43 46148

Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fourierdlem43.1	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem43	⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Proof of Theorem fourierdlem43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem43.1	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
2		1red 11175	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 1 ∈ ℝ)
3		pire 26366	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11605	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7		eliccre 45503	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
8	5, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
10		2re 12260	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℝ)
12	9	rehalfcld 12429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
13	12	resincld 16111	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11204	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15		2cnd 12264	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
16	13	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12290	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
19		0xr 11221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ*)
21	10, 3	remulcli 11190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
22	21	rexri 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (2 · π) ∈ ℝ*)
24	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
25		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 < 𝑠)
26	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
27	5	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
28	4	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
29		iccleub 13362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
30	27, 28, 6, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ≤ π)
31		pirp 26370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
32		2timesgt 45286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
35	8, 4, 26, 30, 34	lelttrd 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 < (2 · π))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 < (2 · π))
37	20, 23, 24, 25, 36	eliood 45496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
38		sinaover2ne0 45866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
40	39	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
41	8	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
42		iccgelb 13363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
43	27, 28, 6, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝑠)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ≤ 𝑠)
45		0red 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
46		neqne 2933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
47	46	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ≠ 0)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → ¬ 0 < 𝑠)
49	41, 45, 47, 48	lttri5d 45297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 < 0)
50	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ∈ ℝ)
51		elico2 13371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
52	50, 19, 51	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
53	41, 44, 49, 52	mpbir3and 1343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
54	3	renegcli 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
55		elicore 13359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
56	54, 55	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
57	56	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℂ)
58		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ∈ ℂ)
59	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ≠ 0)
60	57, 58, 59	divnegd 11971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(𝑠 / 2) = (-𝑠 / 2))
61	60	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
62	61	fveq2d 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘-(𝑠 / 2)))
63	62	negeqd 11415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = -(sin‘-(𝑠 / 2)))
64	57	halfcld 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
65		sinneg 16114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
67	66	negeqd 11415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘-(𝑠 / 2)) = --(sin‘(𝑠 / 2)))
68	64	sincld 16098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 11524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → --(sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
70	63, 67, 69	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
71	57	negcld 11520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) ∈ ℂ)
73	72	sincld 16098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
74	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 ∈ ℝ*)
75	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
76	56	renegcld 11605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℝ)
77	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ)
78	77	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ*)
79		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
80		icoltub 45506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 < 0)
81	78, 74, 79, 80	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 < 0)
82	56	lt0neg1d 11747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
83	81, 82	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 < -𝑠)
84	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π ∈ ℝ)
85	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ)
86		icogelb 13357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → -π ≤ 𝑠)
87	78, 74, 79, 86	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ≤ 𝑠)
88	84, 56, 87	lenegcon1d 11760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ≤ π)
89	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π < (2 · π))
90	76, 84, 85, 88, 89	lelttrd 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 < (2 · π))
91	74, 75, 76, 83, 90	eliood 45496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
92		sinaover2ne0 45866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
94	73, 93	negne0d 11531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
95	70, 94	eqnetrrd 2993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
96	53, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
97	40, 96	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
98	15, 16, 18, 97	mulne0d 11830	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
99	9, 14, 98	redivcld 12010	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
100	2, 99	ifclda 4524	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
101	1, 100	fmpti 7084	1 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ifcif 4488   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  -cneg 11406   / cdiv 11835  2c2 12241  ℝ⁺crp 12951  (,)cioo 13306  [,)cico 13308  [,]cicc 13309  sincsin 16029  πcpi 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768

This theorem is referenced by:  fourierdlem55  46159  fourierdlem62  46166  fourierdlem66  46170  fourierdlem77  46181  fourierdlem85  46189  fourierdlem88  46192  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208