Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem43 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem43 40879
Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fourierdlem43.1 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem43 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Proof of Theorem fourierdlem43
StepHypRef Expression
1 fourierdlem43.1 . 2 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
2 1red 10261 . . 3 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 1 ∈ ℝ)
3 pire 24431 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
54renegcld 10663 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7 eliccre 40244 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
85, 4, 6, 7syl3anc 1476 . . . . 5 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
98adantr 466 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
10 2re 11296 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℝ)
129rehalfcld 11486 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
1312resincld 15079 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 10276 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15 2cnd 11299 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
1613recnd 10274 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17 2ne0 11319 . . . . . 6 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
19 0xr 10292 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ*)
2110, 3remulcli 10260 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
2221rexri 10303 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (2 · π) ∈ ℝ*)
248adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
25 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 < 𝑠)
2621a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
275rexrd 10295 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
284rexrd 10295 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
29 iccleub 12434 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
3027, 28, 6, 29syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ≤ π)
31 pirp 24434 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ+
32 2timesgt 40013 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 π < (2 · π)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
358, 4, 26, 30, 34lelttrd 10401 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 < (2 · π))
3635adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 < (2 · π))
3720, 23, 24, 25, 36eliood 40236 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
38 sinaover2ne0 40592 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4039adantlr 694 . . . . . 6 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
418ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
42 iccgelb 12435 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
4327, 28, 6, 42syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝑠)
4443ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ≤ 𝑠)
45 0red 10247 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
46 neqne 2951 . . . . . . . . . 10 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
4746ad2antlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ≠ 0)
48 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → ¬ 0 < 𝑠)
4941, 45, 47, 48lttri5d 40025 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 < 0)
505ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ∈ ℝ)
51 elico2 12442 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠𝑠 < 0)))
5250, 19, 51sylancl 574 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠𝑠 < 0)))
5341, 44, 49, 52mpbir3and 1427 . . . . . . 7 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
543renegcli 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ
55 elicore 12431 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
5654, 55mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
5756recnd 10274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℂ)
58 2cnd 11299 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ∈ ℂ)
5917a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ≠ 0)
6057, 58, 59divnegd 11020 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(𝑠 / 2) = (-𝑠 / 2))
6160eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
6261fveq2d 6337 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘-(𝑠 / 2)))
6362negeqd 10481 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = -(sin‘-(𝑠 / 2)))
6457halfcld 11484 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
65 sinneg 15082 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
6766negeqd 10481 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘-(𝑠 / 2)) = --(sin‘(𝑠 / 2)))
6864sincld 15066 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
6968negnegd 10589 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → --(sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
7063, 67, 693eqtrd 2809 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
7157negcld 10585 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℂ)
7271halfcld 11484 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) ∈ ℂ)
7372sincld 15066 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
7419a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 ∈ ℝ*)
7522a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
7656renegcld 10663 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℝ)
7754a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ)
7877rexrd 10295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ*)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
80 icoltub 40248 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 < 0)
8178, 74, 79, 80syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 < 0)
8256lt0neg1d 10803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
8381, 82mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 < -𝑠)
843a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π ∈ ℝ)
8521a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ)
86 icogelb 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,)0)) → -π ≤ 𝑠)
8778, 74, 79, 86syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ≤ 𝑠)
8884, 56, 87lenegcon1d 10815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ≤ π)
8933a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π < (2 · π))
9076, 84, 85, 88, 89lelttrd 10401 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 < (2 · π))
9174, 75, 76, 83, 90eliood 40236 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
92 sinaover2ne0 40592 . . . . . . . . . 10 (-𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
9473, 93negne0d 10596 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
9570, 94eqnetrrd 3011 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
9653, 95syl 17 . . . . . 6 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
9740, 96pm2.61dan 814 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
9815, 16, 18, 97mulne0d 10885 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
999, 14, 98redivcld 11059 . . 3 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
1002, 99ifclda 4260 . 2 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
1011, 100fmpti 6527 1 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  -cneg 10473   / cdiv 10890  2c2 11276  +crp 12035  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  sincsin 15000  πcpi 15003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  fourierdlem55  40890  fourierdlem62  40897  fourierdlem66  40901  fourierdlem77  40912  fourierdlem85  40920  fourierdlem88  40923  fourierdlem103  40938  fourierdlem104  40939
  Copyright terms: Public domain W3C validator