Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem43 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem43 45165
Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fourierdlem43.1 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem43 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„

Proof of Theorem fourierdlem43
StepHypRef Expression
1 fourierdlem43.1 . 2 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
2 1red 11220 . . 3 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 1 ∈ ℝ)
3 pire 26205 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
54renegcld 11646 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
7 eliccre 44517 . . . . . 6 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
85, 4, 6, 7syl3anc 1370 . . . . 5 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
10 2re 12291 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ 2 ∈ ℝ)
129rehalfcld 12464 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
1312resincld 16091 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 11249 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15 2cnd 12295 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ 2 ∈ β„‚)
1613recnd 11247 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
17 2ne0 12321 . . . . . 6 2 β‰  0
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ 2 β‰  0)
19 0xr 11266 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ 0 ∈ ℝ*)
2110, 3remulcli 11235 . . . . . . . . . . 11 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
2221rexri 11277 . . . . . . . . . 10 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*)
248adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
25 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ 0 < 𝑠)
2621a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
275rexrd 11269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
284rexrd 11269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
29 iccleub 13384 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
3027, 28, 6, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
31 pirp 26208 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ+
32 2timesgt 44297 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ < (2 Β· Ο€)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
358, 4, 26, 30, 34lelttrd 11377 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 < (2 Β· Ο€))
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 < (2 Β· Ο€))
3720, 23, 24, 25, 36eliood 44510 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)))
38 sinaover2ne0 44883 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
4039adantlr 712 . . . . . 6 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
418ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
42 iccgelb 13385 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
4327, 28, 6, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
4443ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
45 0red 11222 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ 0 ∈ ℝ)
46 neqne 2947 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝑠 = 0 β†’ 𝑠 β‰  0)
4746ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 β‰  0)
48 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ Β¬ 0 < 𝑠)
4941, 45, 47, 48lttri5d 44308 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 < 0)
505ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
51 elico2 13393 . . . . . . . . 9 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
5250, 19, 51sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
5341, 44, 49, 52mpbir3and 1341 . . . . . . 7 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,)0))
543renegcli 11526 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ ℝ
55 elicore 13381 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
5654, 55mpan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
5756recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
58 2cnd 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 2 ∈ β„‚)
5917a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 2 β‰  0)
6057, 58, 59divnegd 12008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -(𝑠 / 2) = (-𝑠 / 2))
6160eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (-𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
6261fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜(-𝑠 / 2)) = (sinβ€˜-(𝑠 / 2)))
6362negeqd 11459 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -(sinβ€˜(-𝑠 / 2)) = -(sinβ€˜-(𝑠 / 2)))
6457halfcld 12462 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
65 sinneg 16094 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-(𝑠 / 2)) = -(sinβ€˜(𝑠 / 2)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜-(𝑠 / 2)) = -(sinβ€˜(𝑠 / 2)))
6766negeqd 11459 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -(sinβ€˜-(𝑠 / 2)) = --(sinβ€˜(𝑠 / 2)))
6864sincld 16078 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
6968negnegd 11567 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ --(sinβ€˜(𝑠 / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
7063, 67, 693eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -(sinβ€˜(-𝑠 / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
7157negcld 11563 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -𝑠 ∈ β„‚)
7271halfcld 12462 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (-𝑠 / 2) ∈ β„‚)
7372sincld 16078 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜(-𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
7419a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 0 ∈ ℝ*)
7522a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*)
7656renegcld 11646 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -𝑠 ∈ ℝ)
7754a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
7877rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,)0))
80 icoltub 44520 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,)0)) β†’ 𝑠 < 0)
8178, 74, 79, 80syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 𝑠 < 0)
8256lt0neg1d 11788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
8381, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 0 < -𝑠)
843a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
8521a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
86 icogelb 13380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,)0)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
8778, 74, 79, 86syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
8884, 56, 87lenegcon1d 11801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -𝑠 ≀ Ο€)
8933a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
9076, 84, 85, 88, 89lelttrd 11377 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -𝑠 < (2 Β· Ο€))
9174, 75, 76, 83, 90eliood 44510 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -𝑠 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)))
92 sinaover2ne0 44883 . . . . . . . . . 10 (-𝑠 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(-𝑠 / 2)) β‰  0)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜(-𝑠 / 2)) β‰  0)
9473, 93negne0d 11574 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -(sinβ€˜(-𝑠 / 2)) β‰  0)
9570, 94eqnetrrd 3008 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
9653, 95syl 17 . . . . . 6 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
9740, 96pm2.61dan 810 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
9815, 16, 18, 97mulne0d 11871 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0)
999, 14, 98redivcld 12047 . . 3 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
1002, 99ifclda 4563 . 2 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
1011, 100fmpti 7113 1 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   Β· cmul 11119  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  [,)cico 13331  [,]cicc 13332  sincsin 16012  Ο€cpi 16015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  fourierdlem55  45176  fourierdlem62  45183  fourierdlem66  45187  fourierdlem77  45198  fourierdlem85  45206  fourierdlem88  45209  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225
  Copyright terms: Public domain W3C validator