Theorem fourierdlem43 46755

Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fourierdlem43.1	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem43	⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Proof of Theorem fourierdlem43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem43.1	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
2		1red 11208	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 1 ∈ ℝ)
3		pire 26584	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11640	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7		eliccre 46112	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
8	5, 4, 6, 7	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
10		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℝ)
12	9	rehalfcld 12490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
13	12	resincld 16198	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11238	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15		2cnd 12318	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
16	13	recnd 11236	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12346	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
19		0xr 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ*)
21	10, 3	remulcli 11224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
22	21	rexri 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (2 · π) ∈ ℝ*)
24	8	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
25		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 < 𝑠)
26	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
27	5	rexrd 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
28	4	rexrd 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
29		iccleub 13427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
30	27, 28, 6, 29	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ≤ π)
31		pirp 26591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
32		2timesgt 45898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
35	8, 4, 26, 30, 34	lelttrd 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 < (2 · π))
36	35	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 < (2 · π))
37	20, 23, 24, 25, 36	eliood 46105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
38		sinaover2ne0 46473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
40	39	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
41	8	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
42		iccgelb 13428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
43	27, 28, 6, 42	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝑠)
44	43	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ≤ 𝑠)
45		0red 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
46		neqne 2972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
47	46	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ≠ 0)
48		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → ¬ 0 < 𝑠)
49	41, 45, 47, 48	lttri5d 45909	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 < 0)
50	5	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ∈ ℝ)
51		elico2 13436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
52	50, 19, 51	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
53	41, 44, 49, 52	mpbir3and 1359	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
54	3	renegcli 11518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
55		elicore 13424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
56	54, 55	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
57	56	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℂ)
58		2cnd 12318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ∈ ℂ)
59	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ≠ 0)
60	57, 58, 59	divnegd 12003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(𝑠 / 2) = (-𝑠 / 2))
61	60	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
62	61	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘-(𝑠 / 2)))
63	62	negeqd 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = -(sin‘-(𝑠 / 2)))
64	57	halfcld 12488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
65		sinneg 16201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
67	66	negeqd 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘-(𝑠 / 2)) = --(sin‘(𝑠 / 2)))
68	64	sincld 16185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 11559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → --(sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
70	63, 67, 69	3eqtrd 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
71	57	negcld 11555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) ∈ ℂ)
73	72	sincld 16185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
74	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 ∈ ℝ*)
75	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
76	56	renegcld 11640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℝ)
77	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ)
78	77	rexrd 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ*)
79		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
80		icoltub 46115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 < 0)
81	78, 74, 79, 80	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 < 0)
82	56	lt0neg1d 11782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
83	81, 82	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 < -𝑠)
84	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π ∈ ℝ)
85	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ)
86		icogelb 13422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → -π ≤ 𝑠)
87	78, 74, 79, 86	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ≤ 𝑠)
88	84, 56, 87	lenegcon1d 11795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ≤ π)
89	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π < (2 · π))
90	76, 84, 85, 88, 89	lelttrd 11367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 < (2 · π))
91	74, 75, 76, 83, 90	eliood 46105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
92		sinaover2ne0 46473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
93	91, 92	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
94	73, 93	negne0d 11566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
95	70, 94	eqnetrrd 3032	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
96	53, 95	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
97	40, 96	pm2.61dan 824	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
98	15, 16, 18, 97	mulne0d 11865	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
99	9, 14, 98	redivcld 12042	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
100	2, 99	ifclda 4528	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
101	1, 100	fmpti 7108	1 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ifcif 4492   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   · cmul 11104  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  -cneg 11441   / cdiv 11870  2c2 12294  ℝ⁺crp 13015  (,)cioo 13371  [,)cico 13373  [,]cicc 13374  sincsin 16116  πcpi 16119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-lp 23261  df-perf 23262  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-haus 23440  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-cncf 25005  df-limc 25993  df-dv 25994

This theorem is referenced by:  fourierdlem55  46766  fourierdlem62  46773  fourierdlem66  46777  fourierdlem77  46788  fourierdlem85  46796  fourierdlem88  46799  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815