Theorem fourierdlem43 47267

Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fourierdlem43.1	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem43	⊢ 𝐾:( -π[,]π)⟶ℝ

Proof of Theorem fourierdlem43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem43.1	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
2		1red 11314	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 1 ∈ ℝ)
3		pire 26790	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → π ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11748	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → -π ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
7		eliccre 46624	. . . . . 6 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
8	5, 4, 6, 7	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
10		2re 12422	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℝ)
12	9	rehalfcld 12598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
13	12	resincld 16318	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11344	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15		2cnd 12426	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
16	13	recnd 11342	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12454	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
19		0xr 11361	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ*)
21	10, 3	remulcli 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
22	21	rexri 11372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (2 · π) ∈ ℝ*)
24	8	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 < 𝑠)
26	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
27	5	rexrd 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
28	4	rexrd 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → π ∈ ℝ*)
29		iccleub 13537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
30	27, 28, 6, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → 𝑠 ≤ π)
31		pirp 26797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
32		2timesgt 46411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → π < (2 · π))
35	8, 4, 26, 30, 34	lelttrd 11473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → 𝑠 < (2 · π))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 < (2 · π))
37	20, 23, 24, 25, 36	eliood 46617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
38		sinaover2ne0 46985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
40	39	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
41	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
42		iccgelb 13538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
43	27, 28, 6, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → -π ≤ 𝑠)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ≤ 𝑠)
45		0red 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
46		neqne 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
47	46	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ≠ 0)
48		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → ¬ 0 < 𝑠)
49	41, 45, 47, 48	lttri5d 46422	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 < 0)
50	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ∈ ℝ)
51		elico2 13546	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑠 ∈ ( -π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
52	50, 19, 51	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (𝑠 ∈ ( -π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
53	41, 44, 49, 52	mpbir3and 1361	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ( -π[,)0))
54	3	renegcli 11624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
55		elicore 13534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
56	54, 55	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
57	56	recnd 11342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 𝑠 ∈ ℂ)
58		2cnd 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 2 ∈ ℂ)
59	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 2 ≠ 0)
60	57, 58, 59	divnegd 12111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -(𝑠 / 2) = ( -𝑠 / 2))
61	60	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → ( -𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
62	61	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘( -𝑠 / 2)) = (sin‘ -(𝑠 / 2)))
63	62	negeqd 11556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -(sin‘( -𝑠 / 2)) = -(sin‘ -(𝑠 / 2)))
64	57	halfcld 12596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
65		sinneg 16321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℂ → (sin‘ -(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘ -(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
67	66	negeqd 11556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -(sin‘ -(𝑠 / 2)) = - -(sin‘(𝑠 / 2)))
68	64	sincld 16305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 11665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → - -(sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
70	63, 67, 69	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -(sin‘( -𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
71	57	negcld 11661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -𝑠 ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → ( -𝑠 / 2) ∈ ℂ)
73	72	sincld 16305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘( -𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
74	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 0 ∈ ℝ*)
75	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
76	56	renegcld 11748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -𝑠 ∈ ℝ)
77	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -π ∈ ℝ)
78	77	rexrd 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -π ∈ ℝ*)
79		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 𝑠 ∈ ( -π[,)0))
80		icoltub 46627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,)0)) → 𝑠 < 0)
81	78, 74, 79, 80	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 𝑠 < 0)
82	56	lt0neg1d 11890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
83	81, 82	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → 0 < -𝑠)
84	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → π ∈ ℝ)
85	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ)
86		icogelb 13532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,)0)) → -π ≤ 𝑠)
87	78, 74, 79, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -π ≤ 𝑠)
88	84, 56, 87	lenegcon1d 11903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -𝑠 ≤ π)
89	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → π < (2 · π))
90	76, 84, 85, 88, 89	lelttrd 11473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -𝑠 < (2 · π))
91	74, 75, 76, 83, 90	eliood 46617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
92		sinaover2ne0 46985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘( -𝑠 / 2)) ≠ 0)
93	91, 92	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘( -𝑠 / 2)) ≠ 0)
94	73, 93	negne0d 11672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → -(sin‘( -𝑠 / 2)) ≠ 0)
95	70, 94	eqnetrrd 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
96	53, 95	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
97	40, 96	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
98	15, 16, 18, 97	mulne0d 11973	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
99	9, 14, 98	redivcld 12150	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
100	2, 99	ifclda 4517	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
101	1, 100	fmpti 7115	1 ⊢ 𝐾:( -π[,]π)⟶ℝ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   · cmul 11210  ℝ^*cxr 11347   < clt 11348   ≤ cle 11349   -cneg 11547   / cdiv 11978  2c2 12402  ℝ⁺crp 13125  (,)cioo 13481  [,)cico 13483  [,]cicc 13484  sincsin 16236  πcpi 16239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243  df-pi 16245  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-haus 23640  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-limc 26193  df-dv 26194

This theorem is used by:  fourierdlem55  47278  fourierdlem62  47285  fourierdlem66  47289  fourierdlem77  47300  fourierdlem85  47308  fourierdlem88  47311  fourierdlem103  47326  fourierdlem104  47327