Theorem fourierdlem43 46593

Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fourierdlem43.1	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem43	⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Proof of Theorem fourierdlem43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem43.1	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
2		1red 11136	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 1 ∈ ℝ)
3		pire 26439	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11568	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7		eliccre 45950	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
8	5, 4, 6, 7	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
10		2re 12246	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℝ)
12	9	rehalfcld 12415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
13	12	resincld 16101	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11166	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15		2cnd 12250	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
16	13	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12276	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
19		0xr 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ*)
21	10, 3	remulcli 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
22	21	rexri 11194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (2 · π) ∈ ℝ*)
24	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
25		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 < 𝑠)
26	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
27	5	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
28	4	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
29		iccleub 13345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
30	27, 28, 6, 29	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ≤ π)
31		pirp 26443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
32		2timesgt 45736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
35	8, 4, 26, 30, 34	lelttrd 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 < (2 · π))
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 < (2 · π))
37	20, 23, 24, 25, 36	eliood 45943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
38		sinaover2ne0 46311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
40	39	adantlr 721	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
41	8	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
42		iccgelb 13346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
43	27, 28, 6, 42	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝑠)
44	43	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ≤ 𝑠)
45		0red 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
46		neqne 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
47	46	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ≠ 0)
48		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → ¬ 0 < 𝑠)
49	41, 45, 47, 48	lttri5d 45747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 < 0)
50	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ∈ ℝ)
51		elico2 13354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
52	50, 19, 51	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
53	41, 44, 49, 52	mpbir3and 1349	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
54	3	renegcli 11446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
55		elicore 13342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
56	54, 55	mpan 696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
57	56	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℂ)
58		2cnd 12250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ∈ ℂ)
59	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ≠ 0)
60	57, 58, 59	divnegd 11935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(𝑠 / 2) = (-𝑠 / 2))
61	60	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
62	61	fveq2d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘-(𝑠 / 2)))
63	62	negeqd 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = -(sin‘-(𝑠 / 2)))
64	57	halfcld 12413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
65		sinneg 16104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
67	66	negeqd 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘-(𝑠 / 2)) = --(sin‘(𝑠 / 2)))
68	64	sincld 16088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 11487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → --(sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
70	63, 67, 69	3eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
71	57	negcld 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) ∈ ℂ)
73	72	sincld 16088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
74	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 ∈ ℝ*)
75	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
76	56	renegcld 11568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℝ)
77	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ)
78	77	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ*)
79		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
80		icoltub 45953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 < 0)
81	78, 74, 79, 80	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 < 0)
82	56	lt0neg1d 11710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
83	81, 82	mpbid 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 < -𝑠)
84	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π ∈ ℝ)
85	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ)
86		icogelb 13340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → -π ≤ 𝑠)
87	78, 74, 79, 86	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ≤ 𝑠)
88	84, 56, 87	lenegcon1d 11723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ≤ π)
89	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π < (2 · π))
90	76, 84, 85, 88, 89	lelttrd 11295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 < (2 · π))
91	74, 75, 76, 83, 90	eliood 45943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
92		sinaover2ne0 46311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
94	73, 93	negne0d 11494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
95	70, 94	eqnetrrd 3002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
96	53, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
97	40, 96	pm2.61dan 818	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
98	15, 16, 18, 97	mulne0d 11793	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
99	9, 14, 98	redivcld 11974	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
100	2, 99	ifclda 4490	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
101	1, 100	fmpti 7053	1 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ifcif 4454   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  [,)cico 13291  [,]cicc 13292  sincsin 16019  πcpi 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852

This theorem is referenced by:  fourierdlem55  46604  fourierdlem62  46611  fourierdlem66  46615  fourierdlem77  46626  fourierdlem85  46634  fourierdlem88  46637  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653