Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem43 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem43 44801
Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fourierdlem43.1 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem43 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Proof of Theorem fourierdlem43
StepHypRef Expression
1 fourierdlem43.1 . 2 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
2 1red 11211 . . 3 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 1 ∈ ℝ)
3 pire 25950 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
54renegcld 11637 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7 eliccre 44153 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
85, 4, 6, 7syl3anc 1372 . . . . 5 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
10 2re 12282 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℝ)
129rehalfcld 12455 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
1312resincld 16082 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 11240 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15 2cnd 12286 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
1613recnd 11238 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17 2ne0 12312 . . . . . 6 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
19 0xr 11257 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ*)
2110, 3remulcli 11226 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
2221rexri 11268 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (2 · π) ∈ ℝ*)
248adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
25 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 < 𝑠)
2621a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
275rexrd 11260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
284rexrd 11260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
29 iccleub 13375 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
3027, 28, 6, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ≤ π)
31 pirp 25953 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ+
32 2timesgt 43933 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 π < (2 · π)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
358, 4, 26, 30, 34lelttrd 11368 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 < (2 · π))
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 < (2 · π))
3720, 23, 24, 25, 36eliood 44146 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
38 sinaover2ne0 44519 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4039adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
418ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
42 iccgelb 13376 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
4327, 28, 6, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝑠)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ≤ 𝑠)
45 0red 11213 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
46 neqne 2949 . . . . . . . . . 10 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
4746ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ≠ 0)
48 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → ¬ 0 < 𝑠)
4941, 45, 47, 48lttri5d 43944 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 < 0)
505ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ∈ ℝ)
51 elico2 13384 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠𝑠 < 0)))
5250, 19, 51sylancl 587 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠𝑠 < 0)))
5341, 44, 49, 52mpbir3and 1343 . . . . . . 7 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
543renegcli 11517 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ
55 elicore 13372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
5654, 55mpan 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
5756recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℂ)
58 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ∈ ℂ)
5917a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ≠ 0)
6057, 58, 59divnegd 11999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(𝑠 / 2) = (-𝑠 / 2))
6160eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
6261fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘-(𝑠 / 2)))
6362negeqd 11450 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = -(sin‘-(𝑠 / 2)))
6457halfcld 12453 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
65 sinneg 16085 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
6766negeqd 11450 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘-(𝑠 / 2)) = --(sin‘(𝑠 / 2)))
6864sincld 16069 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
6968negnegd 11558 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → --(sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
7063, 67, 693eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
7157negcld 11554 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℂ)
7271halfcld 12453 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) ∈ ℂ)
7372sincld 16069 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
7419a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 ∈ ℝ*)
7522a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
7656renegcld 11637 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℝ)
7754a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ)
7877rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ*)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
80 icoltub 44156 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 < 0)
8178, 74, 79, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 < 0)
8256lt0neg1d 11779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
8381, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 < -𝑠)
843a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π ∈ ℝ)
8521a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ)
86 icogelb 13371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,)0)) → -π ≤ 𝑠)
8778, 74, 79, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ≤ 𝑠)
8884, 56, 87lenegcon1d 11792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ≤ π)
8933a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π < (2 · π))
9076, 84, 85, 88, 89lelttrd 11368 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 < (2 · π))
9174, 75, 76, 83, 90eliood 44146 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
92 sinaover2ne0 44519 . . . . . . . . . 10 (-𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
9473, 93negne0d 11565 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
9570, 94eqnetrrd 3010 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
9653, 95syl 17 . . . . . 6 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
9740, 96pm2.61dan 812 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
9815, 16, 18, 97mulne0d 11862 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
999, 14, 98redivcld 12038 . . 3 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
1002, 99ifclda 4562 . 2 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
1011, 100fmpti 7107 1 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  ifcif 4527   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  +crp 12970  (,)cioo 13320  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  sincsin 16003  πcpi 16006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366
This theorem is referenced by:  fourierdlem55  44812  fourierdlem62  44819  fourierdlem66  44823  fourierdlem77  44834  fourierdlem85  44842  fourierdlem88  44845  fourierdlem103  44860  fourierdlem104  44861
  Copyright terms: Public domain W3C validator