Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem43 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem43 45164
Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fourierdlem43.1 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem43 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„

Proof of Theorem fourierdlem43
StepHypRef Expression
1 fourierdlem43.1 . 2 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
2 1red 11219 . . 3 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 1 ∈ ℝ)
3 pire 26204 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
54renegcld 11645 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
7 eliccre 44516 . . . . . 6 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
85, 4, 6, 7syl3anc 1369 . . . . 5 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
10 2re 12290 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ 2 ∈ ℝ)
129rehalfcld 12463 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
1312resincld 16090 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 11248 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15 2cnd 12294 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ 2 ∈ β„‚)
1613recnd 11246 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
17 2ne0 12320 . . . . . 6 2 β‰  0
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ 2 β‰  0)
19 0xr 11265 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ 0 ∈ ℝ*)
2110, 3remulcli 11234 . . . . . . . . . . 11 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
2221rexri 11276 . . . . . . . . . 10 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*)
248adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
25 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ 0 < 𝑠)
2621a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
275rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
284rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
29 iccleub 13383 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
3027, 28, 6, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
31 pirp 26207 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ+
32 2timesgt 44296 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ < (2 Β· Ο€)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
358, 4, 26, 30, 34lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 < (2 Β· Ο€))
3635adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 < (2 Β· Ο€))
3720, 23, 24, 25, 36eliood 44509 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)))
38 sinaover2ne0 44882 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 0 < 𝑠) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
4039adantlr 711 . . . . . 6 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
418ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
42 iccgelb 13384 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
4327, 28, 6, 42syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
4443ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
45 0red 11221 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ 0 ∈ ℝ)
46 neqne 2946 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝑠 = 0 β†’ 𝑠 β‰  0)
4746ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 β‰  0)
48 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ Β¬ 0 < 𝑠)
4941, 45, 47, 48lttri5d 44307 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 < 0)
505ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
51 elico2 13392 . . . . . . . . 9 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
5250, 19, 51sylancl 584 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
5341, 44, 49, 52mpbir3and 1340 . . . . . . 7 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,)0))
543renegcli 11525 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ ℝ
55 elicore 13380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
5654, 55mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
5756recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
58 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 2 ∈ β„‚)
5917a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 2 β‰  0)
6057, 58, 59divnegd 12007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -(𝑠 / 2) = (-𝑠 / 2))
6160eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (-𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
6261fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜(-𝑠 / 2)) = (sinβ€˜-(𝑠 / 2)))
6362negeqd 11458 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -(sinβ€˜(-𝑠 / 2)) = -(sinβ€˜-(𝑠 / 2)))
6457halfcld 12461 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
65 sinneg 16093 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-(𝑠 / 2)) = -(sinβ€˜(𝑠 / 2)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜-(𝑠 / 2)) = -(sinβ€˜(𝑠 / 2)))
6766negeqd 11458 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -(sinβ€˜-(𝑠 / 2)) = --(sinβ€˜(𝑠 / 2)))
6864sincld 16077 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
6968negnegd 11566 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ --(sinβ€˜(𝑠 / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
7063, 67, 693eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -(sinβ€˜(-𝑠 / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
7157negcld 11562 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -𝑠 ∈ β„‚)
7271halfcld 12461 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (-𝑠 / 2) ∈ β„‚)
7372sincld 16077 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜(-𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
7419a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 0 ∈ ℝ*)
7522a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*)
7656renegcld 11645 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -𝑠 ∈ ℝ)
7754a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
7877rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,)0))
80 icoltub 44519 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,)0)) β†’ 𝑠 < 0)
8178, 74, 79, 80syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 𝑠 < 0)
8256lt0neg1d 11787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
8381, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ 0 < -𝑠)
843a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
8521a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
86 icogelb 13379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,)0)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
8778, 74, 79, 86syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
8884, 56, 87lenegcon1d 11800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -𝑠 ≀ Ο€)
8933a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
9076, 84, 85, 88, 89lelttrd 11376 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -𝑠 < (2 Β· Ο€))
9174, 75, 76, 83, 90eliood 44509 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -𝑠 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)))
92 sinaover2ne0 44882 . . . . . . . . . 10 (-𝑠 ∈ (0(,)(2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(-𝑠 / 2)) β‰  0)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜(-𝑠 / 2)) β‰  0)
9473, 93negne0d 11573 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ -(sinβ€˜(-𝑠 / 2)) β‰  0)
9570, 94eqnetrrd 3007 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-Ο€[,)0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
9653, 95syl 17 . . . . . 6 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑠) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
9740, 96pm2.61dan 809 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
9815, 16, 18, 97mulne0d 11870 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0)
999, 14, 98redivcld 12046 . . 3 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ Β¬ 𝑠 = 0) β†’ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
1002, 99ifclda 4562 . 2 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
1011, 100fmpti 7112 1 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  sincsin 16011  Ο€cpi 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  fourierdlem55  45175  fourierdlem62  45182  fourierdlem66  45186  fourierdlem77  45197  fourierdlem85  45205  fourierdlem88  45208  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224
  Copyright terms: Public domain W3C validator