Theorem fourierdlem43 46978

Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fourierdlem43.1	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem43	⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Proof of Theorem fourierdlem43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem43.1	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
2		1red 11233	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 1 ∈ ℝ)
3		pire 26692	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11665	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7		eliccre 46335	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
8	5, 4, 6, 7	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
10		2re 12339	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℝ)
12	9	rehalfcld 12515	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
13	12	resincld 16231	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11263	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15		2cnd 12343	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
16	13	recnd 11261	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17		2ne0 12371	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
19		0xr 11280	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ*)
21	10, 3	remulcli 11249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
22	21	rexri 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (2 · π) ∈ ℝ*)
24	8	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 < 𝑠)
26	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
27	5	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
28	4	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
29		iccleub 13454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
30	27, 28, 6, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ≤ π)
31		pirp 26699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ+
32		2timesgt 46121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
35	8, 4, 26, 30, 34	lelttrd 11392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 < (2 · π))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 < (2 · π))
37	20, 23, 24, 25, 36	eliood 46328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
38		sinaover2ne0 46696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
40	39	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
41	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
42		iccgelb 13455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
43	27, 28, 6, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝑠)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ≤ 𝑠)
45		0red 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
46		neqne 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
47	46	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ≠ 0)
48		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → ¬ 0 < 𝑠)
49	41, 45, 47, 48	lttri5d 46132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 < 0)
50	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ∈ ℝ)
51		elico2 13463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
52	50, 19, 51	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 0)))
53	41, 44, 49, 52	mpbir3and 1361	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
54	3	renegcli 11543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
55		elicore 13451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
56	54, 55	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
57	56	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℂ)
58		2cnd 12343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ∈ ℂ)
59	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ≠ 0)
60	57, 58, 59	divnegd 12028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(𝑠 / 2) = (-𝑠 / 2))
61	60	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
62	61	fveq2d 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘-(𝑠 / 2)))
63	62	negeqd 11475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = -(sin‘-(𝑠 / 2)))
64	57	halfcld 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
65		sinneg 16234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
67	66	negeqd 11475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘-(𝑠 / 2)) = --(sin‘(𝑠 / 2)))
68	64	sincld 16218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 11584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → --(sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
70	63, 67, 69	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
71	57	negcld 11580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℂ)
72	71	halfcld 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) ∈ ℂ)
73	72	sincld 16218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
74	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 ∈ ℝ*)
75	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
76	56	renegcld 11665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℝ)
77	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ)
78	77	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ*)
79		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
80		icoltub 46338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 < 0)
81	78, 74, 79, 80	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 < 0)
82	56	lt0neg1d 11807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
83	81, 82	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 < -𝑠)
84	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π ∈ ℝ)
85	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ)
86		icogelb 13449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → -π ≤ 𝑠)
87	78, 74, 79, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ≤ 𝑠)
88	84, 56, 87	lenegcon1d 11820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ≤ π)
89	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π < (2 · π))
90	76, 84, 85, 88, 89	lelttrd 11392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 < (2 · π))
91	74, 75, 76, 83, 90	eliood 46328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
92		sinaover2ne0 46696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
93	91, 92	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
94	73, 93	negne0d 11591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
95	70, 94	eqnetrrd 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
96	53, 95	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
97	40, 96	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
98	15, 16, 18, 97	mulne0d 11890	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
99	9, 14, 98	redivcld 12067	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
100	2, 99	ifclda 4518	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
101	1, 100	fmpti 7105	1 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  -cneg 11466   / cdiv 11895  2c2 12319  ℝ⁺crp 13042  (,)cioo 13398  [,)cico 13400  [,]cicc 13401  sincsin 16149  πcpi 16152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153  df-sin 16155  df-cos 16156  df-pi 16158  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  fourierdlem55  46989  fourierdlem62  46996  fourierdlem66  47000  fourierdlem77  47011  fourierdlem85  47019  fourierdlem88  47022  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038