MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idadm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idadm 17321
Description: Domain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idafval.i 𝐼 = (Ida𝐶)
idafval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
idahom.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
idadm (𝜑 → (doma‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem idadm
StepHypRef Expression
1 idafval.i . . 3 𝐼 = (Ida𝐶)
2 idafval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 idafval.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 idahom.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 eqid 2824 . . 3 (Homa𝐶) = (Homa𝐶)
61, 2, 3, 4, 5idahom 17320 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋(Homa𝐶)𝑋))
75homadm 17300 . 2 ((𝐼𝑋) ∈ (𝑋(Homa𝐶)𝑋) → (doma‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
86, 7syl 17 1 (𝜑 → (doma‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  Catccat 16935  domacdoma 17280  Homachoma 17283  Idacida 17313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-cat 16939  df-cid 16940  df-doma 17284  df-homa 17286  df-ida 17315
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator