Theorem idadm 17692

Description: Domain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idahom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idadm	⊢ (𝜑 → (doma‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem idadm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
2		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		idahom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
6	1, 2, 3, 4, 5	idahom 17691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋(Homa‘𝐶)𝑋))
7	5	homadm 17671	. 2 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋(Homa‘𝐶)𝑋) → (doma‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (doma‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Catccat 17290  dom_acdoma 17651  Hom_achoma 17654  Id_acida 17684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-cat 17294  df-cid 17295  df-doma 17655  df-homa 17657  df-ida 17686

This theorem is referenced by: (None)