MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idadm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idadm 18115
Description: Domain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idafval.i 𝐼 = (Ida𝐶)
idafval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
idahom.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
idadm (𝜑 → (doma‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem idadm
StepHypRef Expression
1 idafval.i . . 3 𝐼 = (Ida𝐶)
2 idafval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 idafval.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 idahom.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 eqid 2735 . . 3 (Homa𝐶) = (Homa𝐶)
61, 2, 3, 4, 5idahom 18114 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋(Homa𝐶)𝑋))
75homadm 18094 . 2 ((𝐼𝑋) ∈ (𝑋(Homa𝐶)𝑋) → (doma‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
86, 7syl 17 1 (𝜑 → (doma‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Catccat 17709  domacdoma 18074  Homachoma 18077  Idacida 18107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-cat 17713  df-cid 17714  df-doma 18078  df-homa 18080  df-ida 18109
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator