Theorem idadm 18066

Description: Domain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idahom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idadm	⊢ (𝜑 → (doma‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem idadm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
2		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		idahom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		eqid 2752	. . 3 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
6	1, 2, 3, 4, 5	idahom 18065	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋(Homa‘𝐶)𝑋))
7	5	homadm 18045	. 2 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋(Homa‘𝐶)𝑋) → (doma‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (doma‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  Catccat 17668  dom_acdoma 18025  Hom_achoma 18028  Id_acida 18058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-cat 17672  df-cid 17673  df-doma 18029  df-homa 18031  df-ida 18060

This theorem is referenced by: (None)