Theorem idacd 18018

Description: Codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idahom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idacd	⊢ (𝜑 → (coda‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem idacd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
2		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		idahom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
6	1, 2, 3, 4, 5	idahom 18016	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋(Homa‘𝐶)𝑋))
7	5	homacd 17997	. 2 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋(Homa‘𝐶)𝑋) → (coda‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (coda‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  Catccat 17619  cod_accoda 17977  Hom_achoma 17979  Id_acida 18009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-cat 17623  df-cid 17624  df-coda 17981  df-homa 17982  df-ida 18011

This theorem is referenced by: (None)