Theorem idahom 18071

Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idahom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idahom.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idahom	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Proof of Theorem idahom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
2		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		idahom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	idaval 18069	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
7		idahom.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
9	2, 8, 4, 3, 5	catidcl 17692	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
10	7, 2, 3, 8, 5, 5, 9	elhomai2 18045	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩ ∈ (𝑋𝐻𝑋))
11	6, 10	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cotp 4609  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  Hom chom 17280  Catccat 17674  Idccid 17675  Hom_achoma 18034  Id_acida 18064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-cat 17678  df-cid 17679  df-homa 18037  df-ida 18066

This theorem is referenced by:  idadm  18072  idacd  18073  idaf  18074  arwlid  18083  arwrid  18084