Theorem idahom 18127

Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idahom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idahom.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idahom	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Proof of Theorem idahom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
2		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		idahom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	idaval 18125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
7		idahom.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
8		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
9	2, 8, 4, 3, 5	catidcl 17740	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
10	7, 2, 3, 8, 5, 5, 9	elhomai2 18101	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩ ∈ (𝑋𝐻𝑋))
11	6, 10	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cotp 4656  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Hom chom 17322  Catccat 17722  Idccid 17723  Hom_achoma 18090  Id_acida 18120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-cat 17726  df-cid 17727  df-homa 18093  df-ida 18122

This theorem is referenced by:  idadm  18128  idacd  18129  idaf  18130  arwlid  18139  arwrid  18140