Theorem idahom 17149

Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idahom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idahom.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idahom	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Proof of Theorem idahom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
2		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2794	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		idahom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	idaval 17147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
7		idahom.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
8		eqid 2794	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
9	2, 8, 4, 3, 5	catidcl 16782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
10	7, 2, 3, 8, 5, 5, 9	elhomai2 17123	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩ ∈ (𝑋𝐻𝑋))
11	6, 10	eqeltrd 2882	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ⟨cotp 4482  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  Basecbs 16312  Hom chom 16405  Catccat 16764  Idccid 16765  Hom_achoma 17112  Id_acida 17142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-ot 4483  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-cat 16768  df-cid 16769  df-homa 17115  df-ida 17144

This theorem is referenced by:  idadm  17150  idacd  17151  idaf  17152  arwlid  17161  arwrid  17162