MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idahom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idahom 17820
Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idafval.i 𝐼 = (Ida𝐶)
idafval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
idahom.x (𝜑𝑋𝐵)
idahom.h 𝐻 = (Homa𝐶)
Assertion
Ref Expression
idahom (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Proof of Theorem idahom
StepHypRef Expression
1 idafval.i . . 3 𝐼 = (Ida𝐶)
2 idafval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 idafval.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 eqid 2736 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5 idahom.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
61, 2, 3, 4, 5idaval 17818 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋) = ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
7 idahom.h . . 3 𝐻 = (Homa𝐶)
8 eqid 2736 . . 3 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
92, 8, 4, 3, 5catidcl 17436 . . 3 (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
107, 2, 3, 8, 5, 5, 9elhomai2 17794 . 2 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩ ∈ (𝑋𝐻𝑋))
116, 10eqeltrd 2837 1 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  cotp 4573  cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  Hom chom 17018  Catccat 17418  Idccid 17419  Homachoma 17783  Idacida 17813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-ot 4574  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-cat 17422  df-cid 17423  df-homa 17786  df-ida 17815
This theorem is referenced by:  idadm  17821  idacd  17822  idaf  17823  arwlid  17832  arwrid  17833
  Copyright terms: Public domain W3C validator