Theorem idahom 18029

Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idahom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idahom.h	⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idahom	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Proof of Theorem idahom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
2		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		idahom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	idaval 18027	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
7		idahom.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Homa‘𝐶)
8		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
9	2, 8, 4, 3, 5	catidcl 17650	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
10	7, 2, 3, 8, 5, 5, 9	elhomai2 18003	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩ ∈ (𝑋𝐻𝑋))
11	6, 10	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cotp 4600  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Hom chom 17238  Catccat 17632  Idccid 17633  Hom_achoma 17992  Id_acida 18022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-cat 17636  df-cid 17637  df-homa 17995  df-ida 18024

This theorem is referenced by:  idadm  18030  idacd  18031  idaf  18032  arwlid  18041  arwrid  18042