MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idahom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idahom 18016
Description: Domain and codomain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idafval.i 𝐼 = (Ida𝐶)
idafval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
idahom.x (𝜑𝑋𝐵)
idahom.h 𝐻 = (Homa𝐶)
Assertion
Ref Expression
idahom (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))

Proof of Theorem idahom
StepHypRef Expression
1 idafval.i . . 3 𝐼 = (Ida𝐶)
2 idafval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 idafval.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 eqid 2730 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5 idahom.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
61, 2, 3, 4, 5idaval 18014 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋) = ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩)
7 idahom.h . . 3 𝐻 = (Homa𝐶)
8 eqid 2730 . . 3 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
92, 8, 4, 3, 5catidcl 17632 . . 3 (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
107, 2, 3, 8, 5, 5, 9elhomai2 17990 . 2 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑋, ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩ ∈ (𝑋𝐻𝑋))
116, 10eqeltrd 2831 1 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  cotp 4637  cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  Hom chom 17214  Catccat 17614  Idccid 17615  Homachoma 17979  Idacida 18009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-cat 17618  df-cid 17619  df-homa 17982  df-ida 18011
This theorem is referenced by:  idadm  18017  idacd  18018  idaf  18019  arwlid  18028  arwrid  18029
  Copyright terms: Public domain W3C validator