Theorem symgsubmefmnd 19265

Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsubmefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgsubmefmnd.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubmefmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsubmefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem symgsubmefmnd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgsubmefmnd.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgsubmefmnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	symgbas 19237	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
4		inab 4299	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴}) = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴)}
5		df-f1o 6550	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
6	5	bicomi 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴) ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴)
7	6	abbii 2802	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴)} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
8	4, 7	eqtr2i 2761	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴})
9		symgsubmefmnd.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
10	9	injsubmefmnd 18777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
11	9	sursubmefmnd 18776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
12		insubm 18698	. . . 4 ⊢ (({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
14	8, 13	eqeltrid 2837	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
15	3, 14	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   ∩ cin 3947  –1-1→wf1 6540  –onto→wfo 6541  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  SubMndcsubmnd 18669  EndoFMndcefmnd 18748  SymGrpcsymg 19233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-symg 19234

This theorem is referenced by:  symgid  19268  symgtgp  23609