Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgsubmefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsubmefmnd 18594
 Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsubmefmnd.m 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgsubmefmnd.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubmefmnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgsubmefmnd (𝐴𝑉𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem symgsubmefmnd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgsubmefmnd.g . . 3 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symgsubmefmnd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2symgbas 18567 . 2 𝐵 = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
4 inab 4204 . . . 4 ({𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴} ∩ {𝑓𝑓:𝐴onto𝐴}) = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1𝐴𝑓:𝐴onto𝐴)}
5 df-f1o 6343 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓:𝐴1-1𝐴𝑓:𝐴onto𝐴))
65bicomi 227 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1𝐴𝑓:𝐴onto𝐴) ↔ 𝑓:𝐴1-1-onto𝐴)
76abbii 2824 . . . 4 {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1𝐴𝑓:𝐴onto𝐴)} = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
84, 7eqtr2i 2783 . . 3 {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} = ({𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴} ∩ {𝑓𝑓:𝐴onto𝐴})
9 symgsubmefmnd.m . . . . 5 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
109injsubmefmnd 18129 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
119sursubmefmnd 18128 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
12 insubm 18050 . . . 4 (({𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ {𝑓𝑓:𝐴onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ({𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴} ∩ {𝑓𝑓:𝐴onto𝐴}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
1310, 11, 12syl2anc 588 . . 3 (𝐴𝑉 → ({𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴} ∩ {𝑓𝑓:𝐴onto𝐴}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
148, 13eqeltrid 2857 . 2 (𝐴𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
153, 14eqeltrid 2857 1 (𝐴𝑉𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {cab 2736   ∩ cin 3858  –1-1→wf1 6333  –onto→wfo 6334  –1-1-onto→wf1o 6335  ‘cfv 6336  Basecbs 16542  SubMndcsubmnd 18022  EndoFMndcefmnd 18100  SymGrpcsymg 18563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-tset 16643  df-0g 16774  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-submnd 18024  df-efmnd 18101  df-symg 18564 This theorem is referenced by:  symgid  18597  symgtgp  22807
 Copyright terms: Public domain W3C validator