MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgsubmefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsubmefmnd 19357
Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsubmefmnd.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
symgsubmefmnd.g 𝐺 = (SymGrpβ€˜π΄)
symgsubmefmnd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
symgsubmefmnd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))

Proof of Theorem symgsubmefmnd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgsubmefmnd.g . . 3 𝐺 = (SymGrpβ€˜π΄)
2 symgsubmefmnd.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2symgbas 19329 . 2 𝐡 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
4 inab 4294 . . . 4 ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴}) = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴)}
5 df-f1o 6550 . . . . . 6 (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
65bicomi 223 . . . . 5 ((𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴) ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴)
76abbii 2795 . . . 4 {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴)} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
84, 7eqtr2i 2754 . . 3 {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴})
9 symgsubmefmnd.m . . . . 5 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
109injsubmefmnd 18853 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
119sursubmefmnd 18852 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
12 insubm 18774 . . . 4 (({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴}) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
1310, 11, 12syl2anc 582 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴}) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
148, 13eqeltrid 2829 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
153, 14eqeltrid 2829 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   ∩ cin 3938  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  SubMndcsubmnd 18738  EndoFMndcefmnd 18824  SymGrpcsymg 19325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-efmnd 18825  df-symg 19326
This theorem is referenced by:  symgid  19360  symgtgp  24028
  Copyright terms: Public domain W3C validator