Theorem symgsubmefmnd 19573

Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsubmefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgsubmefmnd.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubmefmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsubmefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem symgsubmefmnd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgsubmefmnd.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symgsubmefmnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	symgbas 19547	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
4		inab 4254	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴}) = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴)}
5		df-f1o 6534	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴))
6	5	bicomi 227	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴) ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴)
7	6	abbii 2827	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐴)} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
8	4, 7	eqtr2i 2784	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴})
9		symgsubmefmnd.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
10	9	injsubmefmnd 19054	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
11	9	sursubmefmnd 19053	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
12		insubm 18975	. . . 4 ⊢ (({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} ∩ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–onto→𝐴}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
14	8, 13	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
15	3, 14	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738   ∩ cin 3897  –1-1→wf1 6524  –onto→wfo 6525  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  SubMndcsubmnd 18938  EndoFMndcefmnd 19025  SymGrpcsymg 19544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-tset 17408  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-efmnd 19026  df-symg 19545

This theorem is used by:  symgid  19576  symgtgp  24386