MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilufg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cfilufg 23798
Description: The filter generated by a Cauchy filter base is still a Cauchy filter base. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilufg ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
Proof of Theorem cfilufg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilufbas 23794 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
2 fgcl 23382 . . 3 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
3 filfbas 23352 . . 3 ((𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
41, 2, 33syl 18 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
51ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
6 ssfg 23376 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋filGen𝐹))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋filGen𝐹))
8 simplr 768 . . . . . 6 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝑏 ∈ 𝐹)
97, 8sseldd 3984 . . . . 5 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝑏 ∈ (𝑋filGen𝐹))
10 id 22 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ π‘Ž = 𝑏)
1110sqxpeqd 5709 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž Γ— π‘Ž) = (𝑏 Γ— 𝑏))
1211sseq1d 4014 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 ↔ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣))
1312rspcev 3613 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝑋filGen𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
149, 13sylancom 589 . . . 4 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
15 iscfilu 23793 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘ ∈ 𝐹 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)))
1615simplbda 501 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘ ∈ 𝐹 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)
1716r19.21bi 3249 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐹 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)
1814, 17r19.29a 3163 . . 3 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
1918ralrimiva 3147 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
20 iscfilu 23793 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
2120adantr 482 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
224, 19, 21mpbir2and 712 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  fBascfbas 20932  filGencfg 20933  Filcfil 23349  UnifOncust 23704  CauFiluccfilu 23791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-fil 23350  df-ust 23705  df-cfilu 23792
This theorem is referenced by:  ucnextcn  23809
  Copyright terms: Public domain W3C validator