MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilufg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilufg 23661
Description: The filter generated by a Cauchy filter base is still a Cauchy filter base. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilufg ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))

Proof of Theorem cfilufg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilufbas 23657 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
2 fgcl 23245 . . 3 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
3 filfbas 23215 . . 3 ((𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
41, 2, 33syl 18 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
51ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
6 ssfg 23239 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋filGen𝐹))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋filGen𝐹))
8 simplr 768 . . . . . 6 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝑏 ∈ 𝐹)
97, 8sseldd 3950 . . . . 5 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝑏 ∈ (𝑋filGen𝐹))
10 id 22 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ π‘Ž = 𝑏)
1110sqxpeqd 5670 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž Γ— π‘Ž) = (𝑏 Γ— 𝑏))
1211sseq1d 3980 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 ↔ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣))
1312rspcev 3584 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝑋filGen𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
149, 13sylancom 589 . . . 4 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
15 iscfilu 23656 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘ ∈ 𝐹 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)))
1615simplbda 501 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘ ∈ 𝐹 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)
1716r19.21bi 3237 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐹 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)
1814, 17r19.29a 3160 . . 3 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
1918ralrimiva 3144 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
20 iscfilu 23656 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
2120adantr 482 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
224, 19, 21mpbir2and 712 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915   Γ— cxp 5636  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  fBascfbas 20800  filGencfg 20801  Filcfil 23212  UnifOncust 23567  CauFiluccfilu 23654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-fil 23213  df-ust 23568  df-cfilu 23655
This theorem is referenced by:  ucnextcn  23672
  Copyright terms: Public domain W3C validator