MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilufg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cfilufg 23789
Description: The filter generated by a Cauchy filter base is still a Cauchy filter base. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilufg ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
Proof of Theorem cfilufg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilufbas 23785 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
2 fgcl 23373 . . 3 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
3 filfbas 23343 . . 3 ((𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
41, 2, 33syl 18 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
51ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
6 ssfg 23367 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋filGen𝐹))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋filGen𝐹))
8 simplr 767 . . . . . 6 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝑏 ∈ 𝐹)
97, 8sseldd 3982 . . . . 5 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ 𝑏 ∈ (𝑋filGen𝐹))
10 id 22 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ π‘Ž = 𝑏)
1110sqxpeqd 5707 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž Γ— π‘Ž) = (𝑏 Γ— 𝑏))
1211sseq1d 4012 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 ↔ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣))
1312rspcev 3612 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝑋filGen𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
149, 13sylancom 588 . . . 4 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) ∧ (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
15 iscfilu 23784 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘ ∈ 𝐹 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)))
1615simplbda 500 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘ ∈ 𝐹 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)
1716r19.21bi 3248 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐹 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)
1814, 17r19.29a 3162 . . 3 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
1918ralrimiva 3146 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
20 iscfilu 23784 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
2120adantr 481 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝑋filGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝑋filGen𝐹)(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
224, 19, 21mpbir2and 711 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  fBascfbas 20924  filGencfg 20925  Filcfil 23340  UnifOncust 23695  CauFiluccfilu 23782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-fil 23341  df-ust 23696  df-cfilu 23783
This theorem is referenced by:  ucnextcn  23800
  Copyright terms: Public domain W3C validator