MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trcfilu Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem trcfilu 24120
Description: Condition for the trace of a Cauchy filter base to be a Cauchy filter base for the restricted uniform structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
trcfilu ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
Proof of Theorem trcfilu
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
2 simp2l 1198 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
3 iscfilu 24114 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
43biimpa 476 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣))
51, 2, 4syl2anc 583 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣))
65simpld 494 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
7 simp3 1137 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
8 simp2r 1199 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴))
9 trfbas2 23668 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)))
109biimpar 477 . . 3 (((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) β†’ (𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄))
116, 7, 8, 10syl21anc 835 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄))
122ad5antr 731 . . . . . . 7 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
131adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
1413elfvexd 6930 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ 𝑋 ∈ V)
157adantr 480 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
1614, 15ssexd 5324 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ V)
1716ad4antr 729 . . . . . . 7 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐴 ∈ V)
18 simplr 766 . . . . . . 7 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ π‘Ž ∈ 𝐹)
19 elrestr 17381 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴))
2012, 17, 18, 19syl3anc 1370 . . . . . 6 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴))
21 inxp 5832 . . . . . . 7 ((π‘Ž Γ— π‘Ž) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((π‘Ž ∩ 𝐴) Γ— (π‘Ž ∩ 𝐴))
22 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
2322ssrind 4235 . . . . . . . 8 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) βŠ† (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
24 simpllr 773 . . . . . . . 8 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
2523, 24sseqtrrd 4023 . . . . . . 7 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) βŠ† 𝑀)
2621, 25eqsstrrid 4031 . . . . . 6 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ ((π‘Ž ∩ 𝐴) Γ— (π‘Ž ∩ 𝐴)) βŠ† 𝑀)
27 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴))
2827sqxpeqd 5708 . . . . . . . 8 (𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ (𝑏 Γ— 𝑏) = ((π‘Ž ∩ 𝐴) Γ— (π‘Ž ∩ 𝐴)))
2928sseq1d 4013 . . . . . . 7 (𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ ((𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀 ↔ ((π‘Ž ∩ 𝐴) Γ— (π‘Ž ∩ 𝐴)) βŠ† 𝑀))
3029rspcev 3612 . . . . . 6 (((π‘Ž ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴) ∧ ((π‘Ž ∩ 𝐴) Γ— (π‘Ž ∩ 𝐴)) βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)
3120, 26, 30syl2anc 583 . . . . 5 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)
325simprd 495 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
3332r19.21bi 3247 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
3433ad4ant13 748 . . . . 5 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
3531, 34r19.29a 3161 . . . 4 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)
3616, 16xpexd 7742 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V)
37 simpr 484 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))
38 elrest 17380 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V) β†’ (𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
3938biimpa 476 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4013, 36, 37, 39syl21anc 835 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4135, 40r19.29a 3161 . . 3 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)
4241ralrimiva 3145 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)
43 trust 24055 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
441, 7, 43syl2anc 583 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
45 iscfilu 24114 . . 3 ((π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄) β†’ ((𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ ((𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)))
4644, 45syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ ((𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)))
4711, 42, 46mpbir2and 710 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   β†Ύt crest 17373  fBascfbas 21222  UnifOncust 24025  CauFiluccfilu 24112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-rest 17375  df-fbas 21231  df-ust 24026  df-cfilu 24113
This theorem is referenced by:  ucnextcn  24130
  Copyright terms: Public domain W3C validator