MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trcfilu Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem trcfilu 23791
Description: Condition for the trace of a Cauchy filter base to be a Cauchy filter base for the restricted uniform structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
trcfilu ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
Proof of Theorem trcfilu
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
2 simp2l 1200 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
3 iscfilu 23785 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
43biimpa 478 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣))
51, 2, 4syl2anc 585 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣))
65simpld 496 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
7 simp3 1139 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
8 simp2r 1201 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴))
9 trfbas2 23339 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)))
109biimpar 479 . . 3 (((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) β†’ (𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄))
116, 7, 8, 10syl21anc 837 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄))
122ad5antr 733 . . . . . . 7 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
131adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
1413elfvexd 6928 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ 𝑋 ∈ V)
157adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
1614, 15ssexd 5324 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ V)
1716ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐴 ∈ V)
18 simplr 768 . . . . . . 7 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ π‘Ž ∈ 𝐹)
19 elrestr 17371 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴))
2012, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . 6 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴))
21 inxp 5831 . . . . . . 7 ((π‘Ž Γ— π‘Ž) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((π‘Ž ∩ 𝐴) Γ— (π‘Ž ∩ 𝐴))
22 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
2322ssrind 4235 . . . . . . . 8 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) βŠ† (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
24 simpllr 775 . . . . . . . 8 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
2523, 24sseqtrrd 4023 . . . . . . 7 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) βŠ† 𝑀)
2621, 25eqsstrrid 4031 . . . . . 6 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ ((π‘Ž ∩ 𝐴) Γ— (π‘Ž ∩ 𝐴)) βŠ† 𝑀)
27 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ 𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴))
2827sqxpeqd 5708 . . . . . . . 8 (𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ (𝑏 Γ— 𝑏) = ((π‘Ž ∩ 𝐴) Γ— (π‘Ž ∩ 𝐴)))
2928sseq1d 4013 . . . . . . 7 (𝑏 = (π‘Ž ∩ 𝐴) β†’ ((𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀 ↔ ((π‘Ž ∩ 𝐴) Γ— (π‘Ž ∩ 𝐴)) βŠ† 𝑀))
3029rspcev 3613 . . . . . 6 (((π‘Ž ∩ 𝐴) ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴) ∧ ((π‘Ž ∩ 𝐴) Γ— (π‘Ž ∩ 𝐴)) βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)
3120, 26, 30syl2anc 585 . . . . 5 (((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)
325simprd 497 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
3332r19.21bi 3249 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
3433ad4ant13 750 . . . . 5 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
3531, 34r19.29a 3163 . . . 4 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)
3616, 16xpexd 7735 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V)
37 simpr 486 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)))
38 elrest 17370 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V) β†’ (𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
3938biimpa 478 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ V) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4013, 36, 37, 39syl21anc 837 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ 𝑀 = (𝑣 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4135, 40r19.29a 3163 . . 3 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)
4241ralrimiva 3147 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)
43 trust 23726 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
441, 7, 43syl2anc 585 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄))
45 iscfilu 23785 . . 3 ((π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (UnifOnβ€˜π΄) β†’ ((𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ ((𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)))
4644, 45syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ ((𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))βˆƒπ‘ ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)(𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑀)))
4711, 42, 46mpbir2and 712 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ Β¬ βˆ… ∈ (𝐹 β†Ύt 𝐴)) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύt 𝐴) ∈ (CauFiluβ€˜(π‘ˆ β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   β†Ύt crest 17363  fBascfbas 20925  UnifOncust 23696  CauFiluccfilu 23783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-rest 17365  df-fbas 20934  df-ust 23697  df-cfilu 23784
This theorem is referenced by:  ucnextcn  23801
  Copyright terms: Public domain W3C validator