Theorem islindf2 21854

Description: Property of an independent family of vectors with prior constrained domain and codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islindf.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islindf.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islindf.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islindf.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑆)
islindf.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
islindf2	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊,𝑥   0 ,𝑘   𝐵,𝑘,𝑥   𝑘,𝐼,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝑘,𝑌,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑘)   · (𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem islindf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝑊 ∈ 𝑌)
2		simp3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
3		simp2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑋)
4	2, 3	fexd 7206	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹 ∈ V)
5		islindf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		islindf.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		islindf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
8		islindf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
9		islindf.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑆)
10		islindf.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	islindf 21852	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
12	1, 4, 11	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
13		ffdm 6716	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐼))
14	13	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
15	14	3ad2ant3 1147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
16	15	biantrurd 540	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
17		fdm 6696	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐼)
18	17	3ad2ant3 1147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → dom 𝐹 = 𝐼)
19	18	difeq1d 4077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) = (𝐼 ∖ {𝑥}))
20	19	imaeq2d 6045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) = (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
21	20	fveq2d 6866	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) = (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
22	21	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
23	22	notbid 320	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
24	23	ralbidv 3184	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
25	18, 24	raleqbidv 3335	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
26	12, 16, 25	3bitr2d 309	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4579   class class class wbr 5097  dom cdm 5643   “ cima 5646  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  Scalarcsca 17280   ·_𝑠 cvsca 17281  0_gc0g 17459  LSpanclspn 21026   LIndF clindf 21844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-lindf 21846

This theorem is referenced by:  lindfmm  21867  islindf4  21878