MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islindf2 21588
Description: Property of an independent family of vectors with prior constrained domain and codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islindf.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
islindf.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
islindf.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
islindf.n 𝑁 = (Baseβ€˜π‘†)
islindf.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
islindf2 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝑁   π‘˜,π‘Š,π‘₯   0 ,π‘˜   𝐡,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐼,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯   π‘˜,π‘Œ,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,π‘˜)   Β· (π‘₯,π‘˜)   𝐾(π‘₯,π‘˜)   𝑁(π‘₯)   0 (π‘₯)
Proof of Theorem islindf2
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘Š ∈ π‘Œ)
2 simp3 1138 . . . 4 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
3 simp2 1137 . . . 4 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
42, 3fexd 7231 . . 3 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐹 ∈ V)
5 islindf.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 islindf.v . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 islindf.k . . . 4 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
8 islindf.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 islindf.n . . . 4 𝑁 = (Baseβ€˜π‘†)
10 islindf.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘†)
115, 6, 7, 8, 9, 10islindf 21586 . . 3 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯}))))))
121, 4, 11syl2anc 584 . 2 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯}))))))
13 ffdm 6747 . . . . 5 (𝐹:𝐼⟢𝐡 β†’ (𝐹:dom 𝐹⟢𝐡 ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝐼))
1413simpld 495 . . . 4 (𝐹:𝐼⟢𝐡 β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢𝐡)
15143ad2ant3 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢𝐡)
1615biantrurd 533 . 2 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯}))))))
17 fdm 6726 . . . 4 (𝐹:𝐼⟢𝐡 β†’ dom 𝐹 = 𝐼)
18173ad2ant3 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ dom 𝐹 = 𝐼)
1918difeq1d 4121 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯}) = (𝐼 βˆ– {π‘₯}))
2019imaeq2d 6059 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯})) = (𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
2120fveq2d 6895 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯}))) = (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
2221eleq2d 2819 . . . . 5 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
2322notbid 317 . . . 4 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯}))) ↔ Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
2423ralbidv 3177 . . 3 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
2518, 24raleqbidv 3342 . 2 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (dom 𝐹 βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
2612, 16, 253bitr2d 306 1 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LSpanclspn 20726   LIndF clindf 21578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-lindf 21580
This theorem is referenced by:  lindfmm  21601  islindf4  21612
  Copyright terms: Public domain W3C validator