Theorem fexd 7216

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		fex 7215	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ⟶wf 6531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543

This theorem is referenced by:  fidmfisupp  9359  fdmfisuppfi  9360  fsuppco2  9385  fsuppcor  9386  ixpiunwdom  9572  cnfcom3clem  9687  fin23lem32  10326  hasheqf1od  14300  hashf1lem1  14402  hashf1lem1OLD  14403  fz1isolem  14409  ramval  16928  imasval  17444  imasle  17456  pwsco1mhm  18700  efgtf  19574  gsumval3a  19754  gsumval3lem1  19756  gsumval3lem2  19757  gsumval3  19758  gsumzres  19760  gsumzf1o  19763  gsumzaddlem  19772  gsumzadd  19773  gsumzmhm  19788  gsumzoppg  19795  gsumpt  19813  gsum2dlem2  19822  prdslmodd  20557  dsmmsubg  21271  dsmmlss  21272  islindf2  21342  f1lindf  21350  islindf4  21366  gsumply1subr  21727  txcn  23099  prdstps  23102  qtopval2  23169  fmval  23416  tsmsres  23617  tsmsadd  23620  jensen  26460  pwrssmgc  32141  gsumpart  32178  ply1degltdimlem  32645  ofcfval4  33034  omsfval  33224  omssubadd  33230  carsgval  33233  sseqval  33318  hgt750lemg  33597  filnetlem4  35171  bj-finsumval0  36071  isrngod  36672  isgrpda  36729  iscringd  36772  sticksstones8  40875  limsupre  44230  limsupval3  44281  limsuppnfdlem  44290  limsupvaluz  44297  limsuppnflem  44299  limsupre2lem  44313  climuzlem  44332  climisp  44335  climxrrelem  44338  climxrre  44339  liminfval5  44354  limsupgtlem  44366  liminfvalxr  44372  liminflelimsupuz  44374  liminfgelimsupuz  44377  liminflimsupclim  44396  liminflbuz2  44404  xlimclim2lem  44428  climxlim2  44435  fourierdlem71  44766  fourierdlem80  44775  sge0val  44955  sge0f1o  44971  isomennd  45120  nsssmfmbflem  45367  itcovalendof  47195