Theorem fexd 7235

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		fex 7234	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟶wf 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549

This theorem is used by:  mptcnfimad  8000  fidmfisupp  9369  fdmfisuppfi  9371  fsuppco2  9400  fsuppcor  9401  ixpiunwdom  9589  cnfcom3clem  9711  fin23lem32  10427  hasheqf1od  14502  hashf1lem1  14605  fz1isolem  14611  ramval  17193  imasval  17690  imasle  17702  pwsco1mhm  19035  efgtf  19943  gsumval3a  20124  gsumval3lem1  20126  gsumval3lem2  20127  gsumval3  20128  gsumzres  20130  gsumzf1o  20133  gsumzaddlem  20142  gsumzadd  20143  gsumzmhm  20158  gsumzoppg  20165  gsumpt  20183  gsum2dlem2  20192  prdslmodd  21251  dsmmsubg  22056  dsmmlss  22057  islindf2  22127  f1lindf  22135  islindf4  22151  gsumply1subr  22558  txcn  23952  prdstps  23955  qtopval2  24022  fmval  24269  tsmsres  24470  tsmsadd  24473  jensen  27323  fisuppov1  33325  pwrssmgc  33609  gsumpart  33672  gsumwrd2dccat  33687  ply1degltdimlem  34302  ofcfval4  34785  omsfval  34974  omssubadd  34980  carsgval  34983  sseqval  35068  hgt750lemg  35331  filnetlem4  37263  bj-finsumval0  38313  isrngod  38939  isgrpda  38996  iscringd  39039  sticksstones8  43310  limsupre  46758  limsupval3  46809  limsuppnfdlem  46818  limsupvaluz  46825  limsuppnflem  46827  limsupre2lem  46841  climuzlem  46860  climisp  46863  climxrrelem  46866  climxrre  46867  liminfval5  46882  limsupgtlem  46894  liminfvalxr  46900  liminflelimsupuz  46902  liminfgelimsupuz  46905  liminflimsupclim  46924  liminflbuz2  46932  xlimclim2lem  46956  climxlim2  46963  fourierdlem71  47294  fourierdlem80  47303  sge0val  47483  sge0f1o  47499  isomennd  47648  nsssmfmbflem  47895  isuspgrim  49101  isubgr3stgrlem3  49173  isubgr3stgrlem5  49175  clnbgr3stgrgrlim  49224  itcovalendof  49888  thinccisod  50696