Theorem fexd 7264

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		fex 7263	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⟶wf 6562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574

This theorem is used by:  mptcnfimad  8032  fdmfisuppfi  9403  fsuppco2  9432  fsuppcor  9433  ixpiunwdom  9621  cnfcom3clem  9743  fin23lem32  10461  hasheqf1od  14538  hashf1lem1  14641  fz1isolem  14647  ramval  17230  imasval  17733  imasle  17745  pwsco1mhm  19078  efgtf  19987  gsumval3a  20168  gsumval3lem1  20170  gsumval3lem2  20171  gsumval3  20172  gsumzres  20174  gsumzf1o  20177  gsumzaddlem  20186  gsumzadd  20187  gsumzmhm  20202  gsumzoppg  20209  gsumpt  20227  gsum2dlem2  20236  prdslmodd  21295  dsmmsubg  22104  dsmmlss  22105  islindf2  22175  f1lindf  22183  islindf4  22199  gsumply1subr  22606  txcn  24000  prdstps  24003  qtopval2  24070  fmval  24317  tsmsres  24518  tsmsadd  24521  jensen  27373  fisuppov1  33373  pwrssmgc  33660  gsumpart  33723  gsumwrd2dccat  33738  ply1degltdimlem  34365  ofcfval4  34848  omsfval  35037  omssubadd  35043  carsgval  35046  sseqval  35131  hgt750lemg  35394  filnetlem4  37384  bj-finsumval0  38474  isrngod  39098  isgrpda  39155  iscringd  39198  sticksstones8  43469  limsupre  46924  limsupval3  46975  limsuppnfdlem  46984  limsupvaluz  46991  limsuppnflem  46993  limsupre2lem  47007  climuzlem  47026  climisp  47029  climxrrelem  47032  climxrre  47033  liminfval5  47048  limsupgtlem  47060  liminfvalxr  47066  liminflelimsupuz  47068  liminfgelimsupuz  47071  liminflimsupclim  47090  liminflbuz2  47098  xlimclim2lem  47122  climxlim2  47129  fourierdlem71  47460  fourierdlem80  47469  sge0val  47649  sge0f1o  47665  isomennd  47814  nsssmfmbflem  48061  isuspgrim  49267  isubgr3stgrlem3  49339  isubgr3stgrlem5  49341  clnbgr3stgrgrlim  49390  itcovalendof  50112  thinccisod  50920