Theorem fexd 7246

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		fex 7245	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  ⟶wf 6558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570

This theorem is referenced by:  mptcnfimad  8009  fidmfisupp  9409  fdmfisuppfi  9411  fsuppco2  9440  fsuppcor  9441  ixpiunwdom  9627  cnfcom3clem  9742  fin23lem32  10381  hasheqf1od  14388  hashf1lem1  14490  fz1isolem  14496  ramval  17041  imasval  17557  imasle  17569  pwsco1mhm  18857  efgtf  19754  gsumval3a  19935  gsumval3lem1  19937  gsumval3lem2  19938  gsumval3  19939  gsumzres  19941  gsumzf1o  19944  gsumzaddlem  19953  gsumzadd  19954  gsumzmhm  19969  gsumzoppg  19976  gsumpt  19994  gsum2dlem2  20003  prdslmodd  20984  dsmmsubg  21780  dsmmlss  21781  islindf2  21851  f1lindf  21859  islindf4  21875  gsumply1subr  22250  txcn  23649  prdstps  23652  qtopval2  23719  fmval  23966  tsmsres  24167  tsmsadd  24170  jensen  27046  fisuppov1  32697  pwrssmgc  32974  gsumpart  33042  gsumwrd2dccat  33052  ply1degltdimlem  33649  ofcfval4  34085  omsfval  34275  omssubadd  34281  carsgval  34284  sseqval  34369  hgt750lemg  34647  filnetlem4  36363  bj-finsumval0  37267  isrngod  37884  isgrpda  37941  iscringd  37984  sticksstones8  42134  limsupre  45596  limsupval3  45647  limsuppnfdlem  45656  limsupvaluz  45663  limsuppnflem  45665  limsupre2lem  45679  climuzlem  45698  climisp  45701  climxrrelem  45704  climxrre  45705  liminfval5  45720  limsupgtlem  45732  liminfvalxr  45738  liminflelimsupuz  45740  liminfgelimsupuz  45743  liminflimsupclim  45762  liminflbuz2  45770  xlimclim2lem  45794  climxlim2  45801  fourierdlem71  46132  fourierdlem80  46141  sge0val  46321  sge0f1o  46337  isomennd  46486  nsssmfmbflem  46733  isuspgrim  47812  isubgr3stgrlem3  47870  isubgr3stgrlem5  47872  itcovalendof  48518  thinccisod  48849