Theorem fexd 7013

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		fex 7012	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3400  ⟶wf 6346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358

This theorem is referenced by:  fdmfisuppfi  8928  fsuppco2  8953  fsuppcor  8954  ixpiunwdom  9140  cnfcom3clem  9254  fin23lem32  9857  hasheqf1od  13819  hashf1lem1  13919  hashf1lem1OLD  13920  fz1isolem  13926  ramval  16457  imasval  16900  imasle  16912  pwsco1mhm  18125  efgtf  18979  gsumval3a  19155  gsumval3lem1  19157  gsumval3lem2  19158  gsumval3  19159  gsumzres  19161  gsumzf1o  19164  gsumzaddlem  19173  gsumzadd  19174  gsumzmhm  19189  gsumzoppg  19196  gsumpt  19214  gsum2dlem2  19223  prdslmodd  19873  dsmmsubg  20572  dsmmlss  20573  islindf2  20643  f1lindf  20651  islindf4  20667  gsumply1subr  21022  txcn  22390  prdstps  22393  qtopval2  22460  fmval  22707  tsmsres  22908  tsmsadd  22911  jensen  25739  pwrssmgc  30868  gsumpart  30905  ofcfval4  31656  omsfval  31844  omssubadd  31850  carsgval  31853  sseqval  31938  hgt750lemg  32217  filnetlem4  34226  bj-finsumval0  35110  isrngod  35712  isgrpda  35769  iscringd  35812  sticksstones8  39748  fidmfisupp  42318  limsupre  42765  limsupval3  42816  limsuppnfdlem  42825  limsupvaluz  42832  limsuppnflem  42834  limsupre2lem  42848  climuzlem  42867  climisp  42870  climxrrelem  42873  climxrre  42874  liminfval5  42889  limsupgtlem  42901  liminfvalxr  42907  liminflelimsupuz  42909  liminfgelimsupuz  42912  liminflimsupclim  42931  liminflbuz2  42939  xlimclim2lem  42963  climxlim2  42970  fourierdlem71  43301  fourierdlem80  43310  sge0val  43487  sge0f1o  43503  isomennd  43652  nsssmfmbflem  43893  itcovalendof  45597