MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islmhmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmhmd 20515
Description: Deduction for a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhmd.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘†)
islmhmd.a Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
islmhmd.b Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
islmhmd.k 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘†)
islmhmd.j 𝐽 = (Scalarβ€˜π‘‡)
islmhmd.n 𝑁 = (Baseβ€˜πΎ)
islmhmd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
islmhmd.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
islmhmd.c (πœ‘ β†’ 𝐽 = 𝐾)
islmhmd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
islmhmd.l ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
islmhmd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   Β· (π‘₯,𝑦)   Γ— (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem islmhmd
StepHypRef Expression
1 islmhmd.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
2 islmhmd.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
3 islmhmd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
4 islmhmd.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 = 𝐾)
5 islmhmd.l . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
65ralrimivva 3194 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
73, 4, 63jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐽 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦))))
8 islmhmd.k . . 3 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘†)
9 islmhmd.j . . 3 𝐽 = (Scalarβ€˜π‘‡)
10 islmhmd.n . . 3 𝑁 = (Baseβ€˜πΎ)
11 islmhmd.x . . 3 𝑋 = (Baseβ€˜π‘†)
12 islmhmd.a . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
13 islmhmd.b . . 3 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
148, 9, 10, 11, 12, 13islmhm 20503 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐽 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))))
151, 2, 7, 14syl21anbrc 1345 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142   GrpHom cghm 19010  LModclmod 20336   LMHom clmhm 20495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-lmhm 20498
This theorem is referenced by:  0lmhm  20516  idlmhm  20517  invlmhm  20518  lmhmco  20519  lmhmplusg  20520  lmhmvsca  20521  lmhmf1o  20522  reslmhm2  20529  reslmhm2b  20530  pwsdiaglmhm  20533  pwssplit3  20537  frlmup1  21220  quslmhm  32194  frlmsnic  40771
  Copyright terms: Public domain W3C validator