MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islmhmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmhmd 20649
Description: Deduction for a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhmd.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘†)
islmhmd.a Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
islmhmd.b Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
islmhmd.k 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘†)
islmhmd.j 𝐽 = (Scalarβ€˜π‘‡)
islmhmd.n 𝑁 = (Baseβ€˜πΎ)
islmhmd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
islmhmd.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
islmhmd.c (πœ‘ β†’ 𝐽 = 𝐾)
islmhmd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
islmhmd.l ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
islmhmd (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   Β· (π‘₯,𝑦)   Γ— (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem islmhmd
StepHypRef Expression
1 islmhmd.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
2 islmhmd.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
3 islmhmd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
4 islmhmd.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 = 𝐾)
5 islmhmd.l . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
65ralrimivva 3200 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
73, 4, 63jca 1128 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐽 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦))))
8 islmhmd.k . . 3 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘†)
9 islmhmd.j . . 3 𝐽 = (Scalarβ€˜π‘‡)
10 islmhmd.n . . 3 𝑁 = (Baseβ€˜πΎ)
11 islmhmd.x . . 3 𝑋 = (Baseβ€˜π‘†)
12 islmhmd.a . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
13 islmhmd.b . . 3 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
148, 9, 10, 11, 12, 13islmhm 20637 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐽 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))))
151, 2, 7, 14syl21anbrc 1344 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200   GrpHom cghm 19088  LModclmod 20470   LMHom clmhm 20629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-lmhm 20632
This theorem is referenced by:  0lmhm  20650  idlmhm  20651  invlmhm  20652  lmhmco  20653  lmhmplusg  20654  lmhmvsca  20655  lmhmf1o  20656  reslmhm2  20663  reslmhm2b  20664  pwsdiaglmhm  20667  pwssplit3  20671  frlmup1  21352  quslmhm  32465  lmhmqusker  32529  frlmsnic  41112
  Copyright terms: Public domain W3C validator