MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idlmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlmhm 20518
Description: The identity function on a module is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
idlmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
idlmhm (𝑀 ∈ LMod β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝑀 LMHom 𝑀))

Proof of Theorem idlmhm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlmhm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2737 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
3 eqid 2737 . 2 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
4 eqid 2737 . 2 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
5 id 22 . 2 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6 eqidd 2738 . 2 (𝑀 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€))
7 lmodgrp 20345 . . 3 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
81idghm 19030 . . 3 (𝑀 ∈ Grp β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑀))
97, 8syl 17 . 2 (𝑀 ∈ LMod β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑀))
101, 3, 2, 4lmodvscl 20355 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡)
11103expb 1121 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡)
12 fvresi 7124 . . . 4 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))
14 fvresi 7124 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘¦) = 𝑦)
1514ad2antll 728 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘¦) = 𝑦)
1615oveq2d 7378 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))
1713, 16eqtr4d 2780 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘¦)))
181, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 9, 17islmhmd 20516 1 (𝑀 ∈ LMod β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (𝑀 LMHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   I cid 5535   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  Grpcgrp 18755   GrpHom cghm 19012  LModclmod 20338   LMHom clmhm 20496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-ghm 19013  df-lmod 20340  df-lmhm 20499
This theorem is referenced by:  idnmhm  24134  mendring  41548
  Copyright terms: Public domain W3C validator