Theorem idlmhm 20218

Description: The identity function on a module is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
idlmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
idlmhm	⊢ (𝑀 ∈ LMod → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 LMHom 𝑀))

Proof of Theorem idlmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlmhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
4		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ LMod)
6		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀))
7		lmodgrp 20045	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
8	1	idghm 18764	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑀))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑀))
10	1, 3, 2, 4	lmodvscl 20055	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
11	10	3expb 1118	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
12		fvresi 7027	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))
14		fvresi 7027	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑦) = 𝑦)
15	14	ad2antll 725	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑦) = 𝑦)
16	15	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))
17	13, 16	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
18	1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 9, 17	islmhmd 20216	1 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 LMHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   I cid 5479   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  Grpcgrp 18492   GrpHom cghm 18746  LModclmod 20038   LMHom clmhm 20196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-ghm 18747  df-lmod 20040  df-lmhm 20199

This theorem is referenced by:  idnmhm  23824  mendring  40933