Theorem invlmhm 20977

Description: The negative function on a module is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
invlmhm.b	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
invlmhm	⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝐼 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀))

Proof of Theorem invlmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2731	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
3		eqid 2731	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
4		eqid 2731	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ LMod)
6		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀))
7		lmodabl 20843	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
8		invlmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑀)
9	1, 8	invghm 19746	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑀))
10	7, 9	sylib 218	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝐼 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑀))
11	1, 3, 2, 8, 4	lmodvsinv2 20972	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼‘𝑦)) = (𝐼‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)))
12	11	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼‘𝑦)))
13	12	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))) → (𝐼‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼‘𝑦)))
14	1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 10, 13	islmhmd 20974	1 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝐼 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  inv_gcminusg 18847   GrpHom cghm 19125  Abelcabl 19694  LModclmod 20794   LMHom clmhm 20954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-ghm 19126  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-lmod 20796  df-lmhm 20957

This theorem is referenced by:  mendring  43227