Theorem invlmhm 19816

Description: The negative function on a module is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
invlmhm.b	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
invlmhm	⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝐼 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀))

Proof of Theorem invlmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. 2 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2823	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
3		eqid 2823	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
4		eqid 2823	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5		id 22	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ LMod)
6		eqidd 2824	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀))
7		lmodabl 19683	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
8		invlmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑀)
9	1, 8	invghm 18956	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑀))
10	7, 9	sylib 220	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝐼 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑀))
11	1, 3, 2, 8, 4	lmodvsinv2 19811	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼‘𝑦)) = (𝐼‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)))
12	11	eqcomd 2829	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼‘𝑦)))
13	12	3expb 1116	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))) → (𝐼‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼‘𝑦)))
14	1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 10, 13	islmhmd 19813	1 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝐼 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  inv_gcminusg 18106   GrpHom cghm 18357  Abelcabl 18909  LModclmod 19636   LMHom clmhm 19793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-ghm 18358  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638  df-lmhm 19796

This theorem is referenced by:  mendring  39799