MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0lmhm 19399
Description: The constant zero linear function between two modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0lmhm.z 0 = (0g𝑁)
0lmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
0lmhm.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
0lmhm.t 𝑇 = (Scalar‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
0lmhm ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Proof of Theorem 0lmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lmhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2825 . 2 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
3 eqid 2825 . 2 ( ·𝑠𝑁) = ( ·𝑠𝑁)
4 0lmhm.s . 2 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5 0lmhm.t . 2 𝑇 = (Scalar‘𝑁)
6 eqid 2825 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7 simp1 1172 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑀 ∈ LMod)
8 simp2 1173 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑁 ∈ LMod)
9 simp3 1174 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑆 = 𝑇)
109eqcomd 2831 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑇 = 𝑆)
11 lmodgrp 19226 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
12 lmodgrp 19226 . . . 4 (𝑁 ∈ LMod → 𝑁 ∈ Grp)
13 0lmhm.z . . . . 5 0 = (0g𝑁)
1413, 10ghm 18025 . . . 4 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
1511, 12, 14syl2an 591 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
16153adant3 1168 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
17 simpl2 1250 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ LMod)
18 simprl 789 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
19 simpl3 1252 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑆 = 𝑇)
2019fveq2d 6437 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇))
2118, 20eleqtrd 2908 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑇))
22 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
235, 3, 22, 13lmodvs0 19253 . . . 4 ((𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑥( ·𝑠𝑁) 0 ) = 0 )
2417, 21, 23syl2anc 581 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝑁) 0 ) = 0 )
2513fvexi 6447 . . . . . 6 0 ∈ V
2625fvconst2 6725 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝐵 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
2726oveq2d 6921 . . . 4 (𝑦𝐵 → (𝑥( ·𝑠𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑁) 0 ))
2827ad2antll 722 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑁) 0 ))
29 simpl1 1248 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑀 ∈ LMod)
30 simprr 791 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
311, 4, 2, 6lmodvscl 19236 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
3229, 18, 30, 31syl3anc 1496 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
3325fvconst2 6725 . . . 4 ((𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵 → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦)) = 0 )
3432, 33syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦)) = 0 )
3524, 28, 343eqtr4rd 2872 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 16, 35islmhmd 19398 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  {csn 4397   × cxp 5340  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  0gc0g 16453  Grpcgrp 17776   GrpHom cghm 18008  LModclmod 19219   LMHom clmhm 19378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-grp 17779  df-ghm 18009  df-mgp 18844  df-ring 18903  df-lmod 19221  df-lmhm 19381
This theorem is referenced by:  0nmhm  22929  mendring  38605
  Copyright terms: Public domain W3C validator