MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0lmhm 20884
Description: The constant zero linear function between two modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0lmhm.z 0 = (0gβ€˜π‘)
0lmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
0lmhm.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
0lmhm.t 𝑇 = (Scalarβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
0lmhm ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) β†’ (𝐡 Γ— { 0 }) ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))
Proof of Theorem 0lmhm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lmhm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2724 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
3 eqid 2724 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘) = ( ·𝑠 β€˜π‘)
4 0lmhm.s . 2 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
5 0lmhm.t . 2 𝑇 = (Scalarβ€˜π‘)
6 eqid 2724 . 2 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
7 simp1 1133 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
8 simp2 1134 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) β†’ 𝑁 ∈ LMod)
9 simp3 1135 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) β†’ 𝑆 = 𝑇)
109eqcomd 2730 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) β†’ 𝑇 = 𝑆)
11 lmodgrp 20709 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
12 lmodgrp 20709 . . . 4 (𝑁 ∈ LMod β†’ 𝑁 ∈ Grp)
13 0lmhm.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘)
1413, 10ghm 19151 . . . 4 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) β†’ (𝐡 Γ— { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
1511, 12, 14syl2an 595 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod) β†’ (𝐡 Γ— { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
16153adant3 1129 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) β†’ (𝐡 Γ— { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
17 simpl2 1189 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ LMod)
18 simprl 768 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
19 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 = 𝑇)
2019fveq2d 6886 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘‡))
2118, 20eleqtrd 2827 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
22 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
235, 3, 22, 13lmodvs0 20738 . . . 4 ((𝑁 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘) 0 ) = 0 )
2417, 21, 23syl2anc 583 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘) 0 ) = 0 )
2513fvexi 6896 . . . . . 6 0 ∈ V
2625fvconst2 7198 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐡 Γ— { 0 })β€˜π‘¦) = 0 )
2726oveq2d 7418 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘)((𝐡 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘) 0 ))
2827ad2antll 726 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘)((𝐡 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘) 0 ))
29 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
30 simprr 770 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
311, 4, 2, 6lmodvscl 20720 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡)
3229, 18, 30, 31syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡)
3325fvconst2 7198 . . . 4 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡 β†’ ((𝐡 Γ— { 0 })β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)) = 0 )
3432, 33syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐡 Γ— { 0 })β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)) = 0 )
3524, 28, 343eqtr4rd 2775 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐡 Γ— { 0 })β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘)((𝐡 Γ— { 0 })β€˜π‘¦)))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 16, 35islmhmd 20883 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) β†’ (𝐡 Γ— { 0 }) ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4621   Γ— cxp 5665  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859   GrpHom cghm 19134  LModclmod 20702   LMHom clmhm 20863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-ghm 19135  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lmhm 20866
This theorem is referenced by:  0nmhm  24616  mendring  42484
  Copyright terms: Public domain W3C validator