Theorem 0lmhm 20643

Description: The constant zero linear function between two modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0lmhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
0lmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
0lmhm.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
0lmhm.t	⊢ 𝑇 = (Scalar‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
0lmhm	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Proof of Theorem 0lmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lmhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2732	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
3		eqid 2732	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
4		0lmhm.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5		0lmhm.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (Scalar‘𝑁)
6		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑀 ∈ LMod)
8		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑁 ∈ LMod)
9		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑆 = 𝑇)
10	9	eqcomd 2738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑇 = 𝑆)
11		lmodgrp 20470	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
12		lmodgrp 20470	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ LMod → 𝑁 ∈ Grp)
13		0lmhm.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
14	13, 1	0ghm 19100	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
15	11, 12, 14	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
16	15	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
17		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ LMod)
18		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
19		simpl3 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑆 = 𝑇)
20	19	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇))
21	18, 20	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑇))
22		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
23	5, 3, 22, 13	lmodvs0 20498	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁) 0 ) = 0 )
24	17, 21, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁) 0 ) = 0 )
25	13	fvexi 6902	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
26	25	fvconst2 7201	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐵 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
27	26	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁) 0 ))
28	27	ad2antll 727	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁) 0 ))
29		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ LMod)
30		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	1, 4, 2, 6	lmodvscl 20481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
32	29, 18, 30, 31	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
33	25	fvconst2 7201	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵 → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = 0 )
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = 0 )
35	24, 28, 34	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)))
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 16, 35	islmhmd 20642	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4627   × cxp 5673  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815   GrpHom cghm 19083  LModclmod 20463   LMHom clmhm 20622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lmhm 20625

This theorem is referenced by:  0nmhm  24263  mendring  41919