Theorem 0lmhm 21366

Description: The constant zero linear function between two modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0lmhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
0lmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
0lmhm.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
0lmhm.t	⊢ 𝑇 = (Scalar‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
0lmhm	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Proof of Theorem 0lmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lmhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
4		0lmhm.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5		0lmhm.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (Scalar‘𝑁)
6		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑀 ∈ LMod)
8		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑁 ∈ LMod)
9		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑆 = 𝑇)
10	9	eqcomd 2769	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑇 = 𝑆)
11		lmodgrp 21193	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
12		lmodgrp 21193	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ LMod → 𝑁 ∈ Grp)
13		0lmhm.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
14	13, 1	0ghm 19494	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
15	11, 12, 14	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
16	15	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
17		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ LMod)
18		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
19		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑆 = 𝑇)
20	19	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇))
21	18, 20	eleqtrd 2866	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑇))
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
23	5, 3, 22, 13	lmodvs0 21222	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁) 0 ) = 0 )
24	17, 21, 23	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁) 0 ) = 0 )
25	13	fvexi 6930	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
26	25	fvconst2 7241	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐵 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
27	26	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁) 0 ))
28	27	ad2antll 742	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁) 0 ))
29		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ LMod)
30		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	1, 4, 2, 6	lmodvscl 21204	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
32	29, 18, 30, 31	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
33	25	fvconst2 7241	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵 → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = 0 )
34	32, 33	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = 0 )
35	24, 28, 34	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)))
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 16, 35	islmhmd 21365	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  Grpcgrp 19194   GrpHom cghm 19477  LModclmod 21186   LMHom clmhm 21345

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-ghm 19478  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188  df-lmhm 21348

This theorem is used by:  0nmhm  25129  mendring  44451