Theorem pwsdiaglmhm 20961

Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiaglmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiaglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiaglmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiaglmhm	⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiaglmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsdiaglmhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5		eqid 2729	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
6		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ LMod)
8		pwsdiaglmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
9	8	pwslmod 20873	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
10	8, 4	pwssca 17400	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑌))
11	10	eqcomd 2735	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑅))
12		lmodgrp 20770	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13		pwsdiaglmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
14	8, 1, 13	pwsdiagghm 19123	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
15	12, 14	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
16		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
17	1, 4, 2, 6	lmodvscl 20781	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	17	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
19	18	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
20	13	fvdiagfn 8818	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
22	13	fvdiagfn 8818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
23	22	ad2ant2l 746	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
24	23	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ LMod)
27		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)))
28	8, 1, 25	pwsdiagel 17401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
29	28	adantrl 716	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
30	8, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29	pwsvscafval 17398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ 𝑊)
32		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑎 ∈ V)
34		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑏 ∈ V)
36	31, 33, 35	ofc12 7643	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
37	36	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
38	24, 30, 37	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
39	21, 38	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39	islmhmd 20943	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  {csn 4577   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165   ↑_s cpws 17350  Grpcgrp 18812   GrpHom cghm 19091  LModclmod 20763   LMHom clmhm 20923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-ghm 19092  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765  df-lmhm 20926

This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  43069