MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiaglmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwsdiaglmhm 20924
Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiaglmhm.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiaglmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
pwsdiaglmhm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐼 Γ— {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiaglmhm ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem pwsdiaglmhm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsdiaglmhm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2727 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘…) = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
3 eqid 2727 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
4 eqid 2727 . 2 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
5 eqid 2727 . 2 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
6 eqid 2727 . 2 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…))
7 simpl 482 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 ∈ LMod)
8 pwsdiaglmhm.y . . 3 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
98pwslmod 20836 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
108, 4pwssca 17463 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘Œ))
1110eqcomd 2733 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘…))
12 lmodgrp 20732 . . 3 (𝑅 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
13 pwsdiaglmhm.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐼 Γ— {π‘₯}))
148, 1, 13pwsdiagghm 19182 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘Œ))
1512, 14sylan 579 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘Œ))
16 simplr 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
171, 4, 2, 6lmodvscl 20743 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
18173expb 1118 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LMod ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
1918adantlr 714 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
2013fvdiagfn 8899 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
2116, 19, 20syl2anc 583 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
2213fvdiagfn 8899 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝐼 Γ— {𝑏}))
2322ad2ant2l 745 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝐼 Γ— {𝑏}))
2423oveq2d 7430 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(πΉβ€˜π‘)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(𝐼 Γ— {𝑏})))
25 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
26 simpll 766 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ LMod)
27 simprl 770 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)))
288, 1, 25pwsdiagel 17464 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 Γ— {𝑏}) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
2928adantrl 715 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐼 Γ— {𝑏}) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
308, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29pwsvscafval 17461 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(𝐼 Γ— {𝑏})) = ((𝐼 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘…)(𝐼 Γ— {𝑏})))
31 id 22 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
32 vex 3473 . . . . . . 7 π‘Ž ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ π‘Ž ∈ V)
34 vex 3473 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ 𝑏 ∈ V)
3631, 33, 35ofc12 7705 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ ((𝐼 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘…)(𝐼 Γ— {𝑏})) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
3736ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐼 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘…)(𝐼 Γ— {𝑏})) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
3824, 30, 373eqtrd 2771 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(πΉβ€˜π‘)) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
3921, 38eqtr4d 2770 . 2 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(πΉβ€˜π‘)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39islmhmd 20906 1 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  {csn 4624   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7675  Basecbs 17165  Scalarcsca 17221   ·𝑠 cvsca 17222   ↑s cpws 17413  Grpcgrp 18875   GrpHom cghm 19151  LModclmod 20725   LMHom clmhm 20886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-ghm 19152  df-mgp 20059  df-ur 20106  df-ring 20159  df-lmod 20727  df-lmhm 20889
This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  42428
  Copyright terms: Public domain W3C validator