MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiaglmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwsdiaglmhm 20660
Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiaglmhm.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiaglmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
pwsdiaglmhm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐼 Γ— {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiaglmhm ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem pwsdiaglmhm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsdiaglmhm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘…) = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
3 eqid 2732 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
4 eqid 2732 . 2 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
5 eqid 2732 . 2 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
6 eqid 2732 . 2 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…))
7 simpl 483 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 ∈ LMod)
8 pwsdiaglmhm.y . . 3 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
98pwslmod 20573 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
108, 4pwssca 17438 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘Œ))
1110eqcomd 2738 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘…))
12 lmodgrp 20470 . . 3 (𝑅 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
13 pwsdiaglmhm.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐼 Γ— {π‘₯}))
148, 1, 13pwsdiagghm 19114 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘Œ))
1512, 14sylan 580 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘Œ))
16 simplr 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
171, 4, 2, 6lmodvscl 20481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
18173expb 1120 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LMod ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
1918adantlr 713 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
2013fvdiagfn 8881 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
2116, 19, 20syl2anc 584 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
2213fvdiagfn 8881 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝐼 Γ— {𝑏}))
2322ad2ant2l 744 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝐼 Γ— {𝑏}))
2423oveq2d 7421 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(πΉβ€˜π‘)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(𝐼 Γ— {𝑏})))
25 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
26 simpll 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ LMod)
27 simprl 769 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)))
288, 1, 25pwsdiagel 17439 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 Γ— {𝑏}) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
2928adantrl 714 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐼 Γ— {𝑏}) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
308, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29pwsvscafval 17436 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(𝐼 Γ— {𝑏})) = ((𝐼 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘…)(𝐼 Γ— {𝑏})))
31 id 22 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
32 vex 3478 . . . . . . 7 π‘Ž ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ π‘Ž ∈ V)
34 vex 3478 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ 𝑏 ∈ V)
3631, 33, 35ofc12 7694 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ ((𝐼 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘…)(𝐼 Γ— {𝑏})) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
3736ad2antlr 725 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐼 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘…)(𝐼 Γ— {𝑏})) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
3824, 30, 373eqtrd 2776 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(πΉβ€˜π‘)) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
3921, 38eqtr4d 2775 . 2 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(πΉβ€˜π‘)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39islmhmd 20642 1 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197   ↑s cpws 17388  Grpcgrp 18815   GrpHom cghm 19083  LModclmod 20463   LMHom clmhm 20622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lmhm 20625
This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  41819
  Copyright terms: Public domain W3C validator