Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiaglmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsdiaglmhm 19821
 Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiaglmhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsdiaglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiaglmhm.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiaglmhm ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiaglmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsdiaglmhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2819 . 2 ( ·𝑠𝑅) = ( ·𝑠𝑅)
3 eqid 2819 . 2 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
4 eqid 2819 . 2 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5 eqid 2819 . 2 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
6 eqid 2819 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7 simpl 485 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ LMod)
8 pwsdiaglmhm.y . . 3 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
98pwslmod 19734 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
108, 4pwssca 16761 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑌))
1110eqcomd 2825 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑅))
12 lmodgrp 19633 . . 3 (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13 pwsdiaglmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
148, 1, 13pwsdiagghm 18378 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
1512, 14sylan 582 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
16 simplr 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝐼𝑊)
171, 4, 2, 6lmodvscl 19643 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18173expb 1115 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1918adantlr 713 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
2013fvdiagfn 8447 . . . 4 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
2116, 19, 20syl2anc 586 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
2213fvdiagfn 8447 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
2322ad2ant2l 744 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
2423oveq2d 7164 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25 eqid 2819 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26 simpll 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ LMod)
27 simprl 769 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)))
288, 1, 25pwsdiagel 16762 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
2928adantrl 714 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
308, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29pwsvscafval 16759 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
31 id 22 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝐼𝑊)
32 vex 3496 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝑎 ∈ V)
34 vex 3496 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝑏 ∈ V)
3631, 33, 35ofc12 7426 . . . . 5 (𝐼𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3736ad2antlr 725 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3824, 30, 373eqtrd 2858 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3921, 38eqtr4d 2857 . 2 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39islmhmd 19803 1 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493  {csn 4559   ↦ cmpt 5137   × cxp 5546  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∘f cof 7399  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561   ↑s cpws 16712  Grpcgrp 18095   GrpHom cghm 18347  LModclmod 19626   LMHom clmhm 19783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-ghm 18348  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-lmod 19628  df-lmhm 19786 This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  39682
 Copyright terms: Public domain W3C validator