MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiaglmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsdiaglmhm 20099
Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiaglmhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsdiaglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiaglmhm.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiaglmhm ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiaglmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsdiaglmhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2737 . 2 ( ·𝑠𝑅) = ( ·𝑠𝑅)
3 eqid 2737 . 2 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
4 eqid 2737 . 2 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5 eqid 2737 . 2 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
6 eqid 2737 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7 simpl 486 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ LMod)
8 pwsdiaglmhm.y . . 3 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
98pwslmod 20012 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
108, 4pwssca 17006 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑌))
1110eqcomd 2743 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑅))
12 lmodgrp 19911 . . 3 (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13 pwsdiaglmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
148, 1, 13pwsdiagghm 18655 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
1512, 14sylan 583 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
16 simplr 769 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝐼𝑊)
171, 4, 2, 6lmodvscl 19921 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18173expb 1122 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1918adantlr 715 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
2013fvdiagfn 8577 . . . 4 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
2116, 19, 20syl2anc 587 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
2213fvdiagfn 8577 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
2322ad2ant2l 746 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
2423oveq2d 7234 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26 simpll 767 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ LMod)
27 simprl 771 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)))
288, 1, 25pwsdiagel 17007 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
2928adantrl 716 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
308, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29pwsvscafval 17004 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
31 id 22 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝐼𝑊)
32 vex 3417 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝑎 ∈ V)
34 vex 3417 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝑏 ∈ V)
3631, 33, 35ofc12 7501 . . . . 5 (𝐼𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3736ad2antlr 727 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3824, 30, 373eqtrd 2781 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3921, 38eqtr4d 2780 . 2 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39islmhmd 20081 1 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3413  {csn 4546  cmpt 5140   × cxp 5554  cfv 6385  (class class class)co 7218  f cof 7472  Basecbs 16765  Scalarcsca 16810   ·𝑠 cvsca 16811  s cpws 16956  Grpcgrp 18370   GrpHom cghm 18624  LModclmod 19904   LMHom clmhm 20061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-of 7474  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-1o 8207  df-er 8396  df-map 8515  df-ixp 8584  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-fin 8635  df-sup 9063  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-nn 11836  df-2 11898  df-3 11899  df-4 11900  df-5 11901  df-6 11902  df-7 11903  df-8 11904  df-9 11905  df-n0 12096  df-z 12182  df-dec 12299  df-uz 12444  df-fz 13101  df-struct 16705  df-sets 16722  df-slot 16740  df-ndx 16750  df-base 16766  df-plusg 16820  df-mulr 16821  df-sca 16823  df-vsca 16824  df-ip 16825  df-tset 16826  df-ple 16827  df-ds 16829  df-hom 16831  df-cco 16832  df-0g 16951  df-prds 16957  df-pws 16959  df-mgm 18119  df-sgrp 18168  df-mnd 18179  df-mhm 18223  df-grp 18373  df-minusg 18374  df-ghm 18625  df-mgp 19510  df-ur 19522  df-ring 19569  df-lmod 19906  df-lmhm 20064
This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  40628
  Copyright terms: Public domain W3C validator