MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiaglmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsdiaglmhm 20533
Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiaglmhm.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiaglmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
pwsdiaglmhm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐼 Γ— {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiaglmhm ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem pwsdiaglmhm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsdiaglmhm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘…) = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
3 eqid 2733 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
4 eqid 2733 . 2 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
5 eqid 2733 . 2 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
6 eqid 2733 . 2 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…))
7 simpl 484 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 ∈ LMod)
8 pwsdiaglmhm.y . . 3 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
98pwslmod 20446 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
108, 4pwssca 17383 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘Œ))
1110eqcomd 2739 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘…))
12 lmodgrp 20343 . . 3 (𝑅 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
13 pwsdiaglmhm.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝐼 Γ— {π‘₯}))
148, 1, 13pwsdiagghm 19041 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘Œ))
1512, 14sylan 581 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom π‘Œ))
16 simplr 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
171, 4, 2, 6lmodvscl 20354 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
18173expb 1121 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LMod ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
1918adantlr 714 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
2013fvdiagfn 8832 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
2116, 19, 20syl2anc 585 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
2213fvdiagfn 8832 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝐼 Γ— {𝑏}))
2322ad2ant2l 745 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝐼 Γ— {𝑏}))
2423oveq2d 7374 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(πΉβ€˜π‘)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(𝐼 Γ— {𝑏})))
25 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
26 simpll 766 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ LMod)
27 simprl 770 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)))
288, 1, 25pwsdiagel 17384 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 Γ— {𝑏}) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
2928adantrl 715 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐼 Γ— {𝑏}) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
308, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29pwsvscafval 17381 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(𝐼 Γ— {𝑏})) = ((𝐼 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘…)(𝐼 Γ— {𝑏})))
31 id 22 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
32 vex 3448 . . . . . . 7 π‘Ž ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ π‘Ž ∈ V)
34 vex 3448 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ 𝑏 ∈ V)
3631, 33, 35ofc12 7646 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ ((𝐼 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘…)(𝐼 Γ— {𝑏})) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
3736ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐼 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘…)(𝐼 Γ— {𝑏})) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
3824, 30, 373eqtrd 2777 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(πΉβ€˜π‘)) = (𝐼 Γ— {(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)}))
3921, 38eqtr4d 2776 . 2 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘…)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘…)𝑏)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)(πΉβ€˜π‘)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39islmhmd 20515 1 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142   ↑s cpws 17333  Grpcgrp 18753   GrpHom cghm 19010  LModclmod 20336   LMHom clmhm 20495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-ghm 19011  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lmhm 20498
This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  41462
  Copyright terms: Public domain W3C validator