Theorem pwsdiaglmhm 21074

Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiaglmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiaglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiaglmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiaglmhm	⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiaglmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsdiaglmhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
4		eqid 2735	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5		eqid 2735	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
6		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ LMod)
8		pwsdiaglmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
9	8	pwslmod 20986	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
10	8, 4	pwssca 17543	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑌))
11	10	eqcomd 2741	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑅))
12		lmodgrp 20882	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13		pwsdiaglmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
14	8, 1, 13	pwsdiagghm 19275	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
15	12, 14	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
16		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
17	1, 4, 2, 6	lmodvscl 20893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	17	3expb 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
19	18	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
20	13	fvdiagfn 8930	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
22	13	fvdiagfn 8930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
23	22	ad2ant2l 746	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
24	23	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ LMod)
27		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)))
28	8, 1, 25	pwsdiagel 17544	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
29	28	adantrl 716	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
30	8, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29	pwsvscafval 17541	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ 𝑊)
32		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑎 ∈ V)
34		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑏 ∈ V)
36	31, 33, 35	ofc12 7727	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
37	36	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
38	24, 30, 37	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
39	21, 38	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39	islmhmd 21056	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302   ↑_s cpws 17493  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  LModclmod 20875   LMHom clmhm 21036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lmhm 21039

This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  43081