Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  quslmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quslmhm 32194
Description: If 𝐺 is a submodule of 𝑀, then the "natural map" from elements to their cosets is a left module homomorphism from 𝑀 to 𝑀 / 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
quslmod.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘€)
quslmod.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
quslmhm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))
Assertion
Ref Expression
quslmhm (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem quslmhm
Dummy variables π‘˜ 𝑒 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 quslmod.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2733 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
3 eqid 2733 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘) = ( ·𝑠 β€˜π‘)
4 eqid 2733 . 2 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
5 eqid 2733 . 2 (Scalarβ€˜π‘) = (Scalarβ€˜π‘)
6 eqid 2733 . 2 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
7 quslmod.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ LMod)
8 quslmod.n . . 3 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
9 quslmod.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
108, 1, 7, 9quslmod 32193 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ LMod)
118a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
121a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘€))
13 ovexd 7393 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
1411, 12, 13, 7, 4quss 17433 . . 3 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘))
1514eqcomd 2739 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘) = (Scalarβ€˜π‘€))
16 eqid 2733 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
1716lsssubg 20433 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
187, 9, 17syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
19 lmodabl 20384 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Abel)
20 ablnsg 19630 . . . . 5 (𝑀 ∈ Abel β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘€) = (SubGrpβ€˜π‘€))
217, 19, 203syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (NrmSGrpβ€˜π‘€) = (SubGrpβ€˜π‘€))
2218, 21eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘€))
23 quslmhm.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ [π‘₯](𝑀 ~QG 𝐺))
241, 8, 23qusghm 19050 . . 3 (𝐺 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘€) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
2522, 24syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
2611, 12, 23, 13, 7qusval 17429 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (𝐹 β€œs 𝑀))
2711, 12, 23, 13, 7quslem 17430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–ontoβ†’(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
28 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
297adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
309adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€))
31 simpr1 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
32 simpr2 1196 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
33 simpr3 1197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
341, 28, 6, 2, 29, 30, 31, 8, 3, 23, 32, 33qusvscpbl 32190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘£) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑒)) = (πΉβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
3526, 12, 27, 7, 4, 6, 2, 3, 34imasvscaval 17425 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))
36353expb 1121 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))
3736eqcomd 2739 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘§)))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 25, 37islmhmd 20515 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  [cec 8649   / cqs 8650  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142   /s cqus 17392  SubGrpcsubg 18927  NrmSGrpcnsg 18928   ~QG cqg 18929   GrpHom cghm 19010  Abelcabl 19568  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407   LMHom clmhm 20495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-0g 17328  df-imas 17395  df-qus 17396  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-nsg 18931  df-eqg 18932  df-ghm 19011  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lmhm 20498
This theorem is referenced by:  qusdimsum  32380
  Copyright terms: Public domain W3C validator