Theorem quslmhm 34024

Description: If 𝐺 is a submodule of 𝑀, then the "natural map" from elements to their cosets is a left module homomorphism from 𝑀 to 𝑀 / 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslmod.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
quslmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
quslmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem quslmhm

Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslmod.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
5		eqid 2763	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑁)
6		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7		quslmod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
8		quslmod.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
9		quslmod.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
10	8, 1, 7, 9	quslmod 34023	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)
11	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
12	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑀))
13		ovexd 7486	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
14	11, 12, 13, 7, 4	quss 17768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑁))
15	14	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑀))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
17	16	lsssubg 21283	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18	7, 9, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
19		lmodabl 21235	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
20		ablnsg 20112	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
21	7, 19, 20	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
22	18, 21	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
23		quslmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
24	1, 8, 23	qusghm 19519	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
25	22, 24	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
26	11, 12, 23, 13, 7	qusval 17764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹 “s 𝑀))
27	11, 12, 23, 13, 7	quslem 17765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶onto(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
28		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
29	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
30	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
31		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
32		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
33		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
34	1, 28, 6, 2, 29, 30, 31, 8, 3, 23, 32, 33	qusvscpbl 34016	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑣) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑢)) = (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
35	26, 12, 27, 7, 4, 6, 2, 3, 34	imasvscaval 17760	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
36	35	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
37	36	eqcomd 2769	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 25, 37	islmhmd 21365	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  [cec 8753   / cqs 8754  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476   /_s cqus 17727  SubGrpcsubg 19380  NrmSGrpcnsg 19381   ~_QG cqg 19382   GrpHom cghm 19477  Abelcabl 20046  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257   LMHom clmhm 21345

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-0g 17662  df-imas 17730  df-qus 17731  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-nsg 19384  df-eqg 19385  df-ghm 19478  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lmhm 21348

This theorem is used by:  qusdimsum  34371