Theorem quslmhm 33679

Description: If 𝐺 is a submodule of 𝑀, then the "natural map" from elements to their cosets is a left module homomorphism from 𝑀 to 𝑀 / 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslmod.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
quslmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
quslmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem quslmhm

Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslmod.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
5		eqid 2763	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑁)
6		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7		quslmod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
8		quslmod.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
9		quslmod.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
10	8, 1, 7, 9	quslmod 33678	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)
11	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
12	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑀))
13		ovexd 7445	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
14	11, 12, 13, 7, 4	quss 17595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑁))
15	14	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑀))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
17	16	lsssubg 21078	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18	7, 9, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
19		lmodabl 21030	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
20		ablnsg 19912	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
21	7, 19, 20	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
22	18, 21	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
23		quslmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
24	1, 8, 23	qusghm 19320	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
25	22, 24	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
26	11, 12, 23, 13, 7	qusval 17591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹 “s 𝑀))
27	11, 12, 23, 13, 7	quslem 17592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
28		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
29	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
30	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
31		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
32		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
33		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
34	1, 28, 6, 2, 29, 30, 31, 8, 3, 23, 32, 33	qusvscpbl 33671	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑣) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑢)) = (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
35	26, 12, 27, 7, 4, 6, 2, 3, 34	imasvscaval 17587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
36	35	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
37	36	eqcomd 2769	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 25, 37	islmhmd 21160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  [cec 8688   / cqs 8689  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309   /_s cqus 17554  SubGrpcsubg 19181  NrmSGrpcnsg 19182   ~_QG cqg 19183   GrpHom cghm 19278  Abelcabl 19846  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052   LMHom clmhm 21140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-0g 17489  df-imas 17557  df-qus 17558  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-nsg 19185  df-eqg 19186  df-ghm 19279  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lmhm 21143

This theorem is referenced by:  qusdimsum  34018