Theorem quslmhm 33095

Description: If 𝐺 is a submodule of 𝑀, then the "natural map" from elements to their cosets is a left module homomorphism from 𝑀 to 𝑀 / 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslmod.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
quslmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
quslmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem quslmhm

Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslmod.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2728	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
3		eqid 2728	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
4		eqid 2728	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
5		eqid 2728	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑁)
6		eqid 2728	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7		quslmod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
8		quslmod.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
9		quslmod.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
10	8, 1, 7, 9	quslmod 33094	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)
11	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
12	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑀))
13		ovexd 7461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
14	11, 12, 13, 7, 4	quss 17535	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑁))
15	14	eqcomd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑀))
16		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
17	16	lsssubg 20848	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18	7, 9, 17	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
19		lmodabl 20799	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
20		ablnsg 19809	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
21	7, 19, 20	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
22	18, 21	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
23		quslmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
24	1, 8, 23	qusghm 19216	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
25	22, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
26	11, 12, 23, 13, 7	qusval 17531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹 “s 𝑀))
27	11, 12, 23, 13, 7	quslem 17532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
28		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
29	7	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
30	9	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
31		simpr1 1191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
32		simpr2 1192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
33		simpr3 1193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
34	1, 28, 6, 2, 29, 30, 31, 8, 3, 23, 32, 33	qusvscpbl 33087	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑣) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑢)) = (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
35	26, 12, 27, 7, 4, 6, 2, 3, 34	imasvscaval 17527	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
36	35	3expb 1117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
37	36	eqcomd 2734	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 25, 37	islmhmd 20931	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  [cec 8729   / cqs 8730  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244   /_s cqus 17494  SubGrpcsubg 19082  NrmSGrpcnsg 19083   ~_QG cqg 19084   GrpHom cghm 19174  Abelcabl 19743  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822   LMHom clmhm 20911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lmhm 20914

This theorem is referenced by:  qusdimsum  33359