Theorem quslmhm 33316

Description: If 𝐺 is a submodule of 𝑀, then the "natural map" from elements to their cosets is a left module homomorphism from 𝑀 to 𝑀 / 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslmod.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
quslmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
quslmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem quslmhm

Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslmod.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2731	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
3		eqid 2731	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
4		eqid 2731	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
5		eqid 2731	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑁)
6		eqid 2731	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7		quslmod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
8		quslmod.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
9		quslmod.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
10	8, 1, 7, 9	quslmod 33315	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)
11	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
12	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑀))
13		ovexd 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
14	11, 12, 13, 7, 4	quss 17445	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑁))
15	14	eqcomd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑀))
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
17	16	lsssubg 20885	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18	7, 9, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
19		lmodabl 20837	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
20		ablnsg 19754	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
21	7, 19, 20	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
22	18, 21	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
23		quslmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
24	1, 8, 23	qusghm 19162	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
25	22, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
26	11, 12, 23, 13, 7	qusval 17441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹 “s 𝑀))
27	11, 12, 23, 13, 7	quslem 17442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
28		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
29	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
30	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
31		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
32		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
33		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
34	1, 28, 6, 2, 29, 30, 31, 8, 3, 23, 32, 33	qusvscpbl 33308	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑣) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑢)) = (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
35	26, 12, 27, 7, 4, 6, 2, 3, 34	imasvscaval 17437	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
36	35	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
37	36	eqcomd 2737	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 25, 37	islmhmd 20968	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  [cec 8615   / cqs 8616  Basecbs 17115  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160   /_s cqus 17404  SubGrpcsubg 19028  NrmSGrpcnsg 19029   ~_QG cqg 19030   GrpHom cghm 19119  Abelcabl 19688  LModclmod 20788  LSubSpclss 20859   LMHom clmhm 20948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-0g 17340  df-imas 17407  df-qus 17408  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-nsg 19032  df-eqg 19033  df-ghm 19120  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lmhm 20951

This theorem is referenced by:  qusdimsum  33633