Theorem quslmhm 33442

Description: If 𝐺 is a submodule of 𝑀, then the "natural map" from elements to their cosets is a left module homomorphism from 𝑀 to 𝑀 / 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslmod.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
quslmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
quslmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem quslmhm

Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslmod.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2739	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
3		eqid 2739	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
4		eqid 2739	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
5		eqid 2739	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑁)
6		eqid 2739	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7		quslmod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
8		quslmod.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
9		quslmod.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
10	8, 1, 7, 9	quslmod 33441	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)
11	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
12	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑀))
13		ovexd 7391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
14	11, 12, 13, 7, 4	quss 17501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑁))
15	14	eqcomd 2745	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑀))
16		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
17	16	lsssubg 20947	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18	7, 9, 17	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
19		lmodabl 20899	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
20		ablnsg 19813	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
21	7, 19, 20	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
22	18, 21	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
23		quslmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
24	1, 8, 23	qusghm 19221	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
25	22, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
26	11, 12, 23, 13, 7	qusval 17497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹 “s 𝑀))
27	11, 12, 23, 13, 7	quslem 17498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
28		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
29	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
30	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
31		simpr1 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
32		simpr2 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
33		simpr3 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
34	1, 28, 6, 2, 29, 30, 31, 8, 3, 23, 32, 33	qusvscpbl 33434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑣) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑢)) = (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
35	26, 12, 27, 7, 4, 6, 2, 3, 34	imasvscaval 17493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
36	35	3expb 1126	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
37	36	eqcomd 2745	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑁)(𝐹‘𝑧)))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 25, 37	islmhmd 21029	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  [cec 8631   / cqs 8632  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215   /_s cqus 17460  SubGrpcsubg 19087  NrmSGrpcnsg 19088   ~_QG cqg 19089   GrpHom cghm 19178  Abelcabl 19747  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921   LMHom clmhm 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092  df-ghm 19179  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lmhm 21012

This theorem is referenced by:  qusdimsum  33812