Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  quslmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quslmhm 33367
Description: If 𝐺 is a submodule of 𝑀, then the "natural map" from elements to their cosets is a left module homomorphism from 𝑀 to 𝑀 / 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
quslmod.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
quslmhm.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
Assertion
Ref Expression
quslmhm (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem quslmhm
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 quslmod.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2735 . 2 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
3 eqid 2735 . 2 ( ·𝑠𝑁) = ( ·𝑠𝑁)
4 eqid 2735 . 2 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
5 eqid 2735 . 2 (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑁)
6 eqid 2735 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7 quslmod.1 . 2 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
8 quslmod.n . . 3 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
9 quslmod.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
108, 1, 7, 9quslmod 33366 . 2 (𝜑𝑁 ∈ LMod)
118a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
121a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑀))
13 ovexd 7466 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
1411, 12, 13, 7, 4quss 17593 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑁))
1514eqcomd 2741 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑁) = (Scalar‘𝑀))
16 eqid 2735 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
1716lsssubg 20973 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
187, 9, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
19 lmodabl 20924 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
20 ablnsg 19880 . . . . 5 (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
217, 19, 203syl 18 . . . 4 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
2218, 21eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
23 quslmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
241, 8, 23qusghm 19286 . . 3 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
2522, 24syl 17 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
2611, 12, 23, 13, 7qusval 17589 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (𝐹s 𝑀))
2711, 12, 23, 13, 7quslem 17590 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
28 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
297adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
309adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
31 simpr1 1193 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
32 simpr2 1194 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑢𝑉)
33 simpr3 1195 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑣𝑉)
341, 28, 6, 2, 29, 30, 31, 8, 3, 23, 32, 33qusvscpbl 33359 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑢𝑉𝑣𝑉)) → ((𝐹𝑢) = (𝐹𝑣) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠𝑀)𝑢)) = (𝐹‘(𝑘( ·𝑠𝑀)𝑣))))
3526, 12, 27, 7, 4, 6, 2, 3, 34imasvscaval 17585 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑦( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠𝑀)𝑧)))
36353expb 1119 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝑦( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)) = (𝐹‘(𝑦( ·𝑠𝑀)𝑧)))
3736eqcomd 2741 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝐹‘(𝑦( ·𝑠𝑀)𝑧)) = (𝑦( ·𝑠𝑁)(𝐹𝑧)))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 25, 37islmhmd 21056 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742   / cqs 8743  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302   /s cqus 17552  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   ~QG cqg 19153   GrpHom cghm 19243  Abelcabl 19814  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947   LMHom clmhm 21036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lmhm 21039
This theorem is referenced by:  qusdimsum  33656
  Copyright terms: Public domain W3C validator