Theorem islmim2 21106

Description: An isomorphism of left modules is a homomorphism whose converse is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
islmim2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))

Proof of Theorem islmim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2756	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2756	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3	1, 2	islmim 21102	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
4	1, 2	lmhmf1o 21086	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
5	4	pm5.32i 581	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
6	3, 5	bitri 277	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2136  ^◡ccnv 5639  –1-1-onto→wf1o 6509  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221   LMHom clmhm 21059   LMIso clmim 21060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-map 8798  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-ghm 19230  df-lmod 20902  df-lmhm 21062  df-lmim 21063

This theorem is referenced by:  lmimcnv  21107  lnmlmic  43613