Theorem islmim2 21156

Description: An isomorphism of left modules is a homomorphism whose converse is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
islmim2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))

Proof of Theorem islmim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3	1, 2	islmim 21152	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
4	1, 2	lmhmf1o 21136	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
5	4	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
6	3, 5	bitri 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5651  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259   LMHom clmhm 21109   LMIso clmim 21110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-ghm 19275  df-lmod 20952  df-lmhm 21112  df-lmim 21113

This theorem is referenced by:  lmimcnv  21157  lnmlmic  43677