MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islmim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmim2 20822
Description: An isomorphism of left modules is a homomorphism whose converse is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
islmim2 (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))

Proof of Theorem islmim2
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2731 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
31, 2islmim 20818 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
41, 2lmhmf1o 20802 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
54pm5.32i 574 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
63, 5bitri 275 1 (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wcel 2105  ccnv 5675  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149   LMHom clmhm 20775   LMIso clmim 20776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-ghm 19129  df-lmod 20617  df-lmhm 20778  df-lmim 20779
This theorem is referenced by:  lmimcnv  20823  lnmlmic  42133
  Copyright terms: Public domain W3C validator