Theorem islmim2 21371

Description: An isomorphism of left modules is a homomorphism whose converse is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
islmim2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))

Proof of Theorem islmim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3	1, 2	islmim 21367	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶1-1onto(Base‘𝑆)))
4	1, 2	lmhmf1o 21351	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) → (𝐹:(Base‘𝑅)⟶1-1onto(Base‘𝑆) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
5	4	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶1-1onto(Base‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))
6	3, 5	bitri 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ^◡ccnv 5654  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416   LMHom clmhm 21324   LMIso clmim 21325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-map 8877  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-ghm 19457  df-lmod 21167  df-lmhm 21327  df-lmim 21328

This theorem is used by:  lmimcnv  21372  lnmlmic  44283