Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isltrn2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isltrn2N 38633
Description: The predicate "is a lattice translation". Version of isltrn 38632 that considers only different 𝑝 and π‘ž. TODO: Can this eliminate some separate proofs for the 𝑝 = π‘ž case? (Contributed by NM, 22-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnset.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ltrnset.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
ltrnset.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
ltrnset.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrnset.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrnset.d 𝐷 = ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
ltrnset.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
isltrn2N ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,𝐴   𝐾,𝑝,π‘ž   π‘Š,𝑝,π‘ž   𝐹,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘ž,𝑝)   𝐷(π‘ž,𝑝)   𝑇(π‘ž,𝑝)   𝐻(π‘ž,𝑝)   ∨ (π‘ž,𝑝)   ≀ (π‘ž,𝑝)   ∧ (π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem isltrn2N
StepHypRef Expression
1 ltrnset.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 ltrnset.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 ltrnset.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 ltrnset.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 ltrnset.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 ltrnset.d . . 3 𝐷 = ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 ltrnset.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isltrn 38632 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))))
9 3simpa 1149 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š))
109imim1i 63 . . . . 5 (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
11 3anass 1096 . . . . . . . . 9 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)))
12 3anrot 1101 . . . . . . . . 9 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž))
13 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 (𝑝 β‰  π‘ž ↔ Β¬ 𝑝 = π‘ž)
1413anbi1i 625 . . . . . . . . 9 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) ↔ (Β¬ 𝑝 = π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)))
1511, 12, 143bitr3i 301 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ↔ (Β¬ 𝑝 = π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)))
1615imbi1i 350 . . . . . . 7 (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ ((Β¬ 𝑝 = π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
17 impexp 452 . . . . . . 7 (((Β¬ 𝑝 = π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ (Β¬ 𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
1816, 17bitri 275 . . . . . 6 (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ (Β¬ 𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
19 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘ž β†’ 𝑝 = π‘ž)
20 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘ž β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘ž))
2119, 20oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 (𝑝 = π‘ž β†’ (𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) = (π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)))
2221oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (𝑝 = π‘ž β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))
2322a1d 25 . . . . . . 7 (𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
24 pm2.61 191 . . . . . . 7 ((𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))) β†’ ((Β¬ 𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
2618, 25sylbi 216 . . . . 5 (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
2710, 26impbii 208 . . . 4 (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
28272ralbii 3124 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
2928anbi2i 624 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))) ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
308, 29bitrdi 287 1 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  lecple 17148  joincjn 18208  meetcmee 18209  Atomscatm 37775  LHypclh 38497  LDilcldil 38613  LTrncltrn 38614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-ltrn 38618
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator