Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isltrn2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isltrn2N 39495
Description: The predicate "is a lattice translation". Version of isltrn 39494 that considers only different 𝑝 and π‘ž. TODO: Can this eliminate some separate proofs for the 𝑝 = π‘ž case? (Contributed by NM, 22-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnset.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ltrnset.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
ltrnset.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
ltrnset.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrnset.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrnset.d 𝐷 = ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
ltrnset.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
isltrn2N ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,𝐴   𝐾,𝑝,π‘ž   π‘Š,𝑝,π‘ž   𝐹,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘ž,𝑝)   𝐷(π‘ž,𝑝)   𝑇(π‘ž,𝑝)   𝐻(π‘ž,𝑝)   ∨ (π‘ž,𝑝)   ≀ (π‘ž,𝑝)   ∧ (π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem isltrn2N
StepHypRef Expression
1 ltrnset.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 ltrnset.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 ltrnset.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 ltrnset.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 ltrnset.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 ltrnset.d . . 3 𝐷 = ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 ltrnset.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isltrn 39494 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))))
9 3simpa 1145 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š))
109imim1i 63 . . . . 5 (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
11 3anass 1092 . . . . . . . . 9 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)))
12 3anrot 1097 . . . . . . . . 9 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž))
13 df-ne 2933 . . . . . . . . . 10 (𝑝 β‰  π‘ž ↔ Β¬ 𝑝 = π‘ž)
1413anbi1i 623 . . . . . . . . 9 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) ↔ (Β¬ 𝑝 = π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)))
1511, 12, 143bitr3i 301 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ↔ (Β¬ 𝑝 = π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)))
1615imbi1i 349 . . . . . . 7 (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ ((Β¬ 𝑝 = π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
17 impexp 450 . . . . . . 7 (((Β¬ 𝑝 = π‘ž ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ (Β¬ 𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
1816, 17bitri 275 . . . . . 6 (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ (Β¬ 𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
19 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘ž β†’ 𝑝 = π‘ž)
20 fveq2 6882 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘ž β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘ž))
2119, 20oveq12d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑝 = π‘ž β†’ (𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) = (π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)))
2221oveq1d 7417 . . . . . . . 8 (𝑝 = π‘ž β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))
2322a1d 25 . . . . . . 7 (𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
24 pm2.61 191 . . . . . . 7 ((𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))) β†’ ((Β¬ 𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑝 = π‘ž β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
2618, 25sylbi 216 . . . . 5 (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
2710, 26impbii 208 . . . 4 (((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
28272ralbii 3120 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
2928anbi2i 622 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))) ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
308, 29bitrdi 287 1 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ ((𝑝 ∨ (πΉβ€˜π‘)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  lecple 17209  joincjn 18272  meetcmee 18273  Atomscatm 38637  LHypclh 39359  LDilcldil 39475  LTrncltrn 39476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-ltrn 39480
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator