MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3pthond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3pthond 30005
Description: A path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
3wlkd.f 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3wlkd.s (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
3wlkd.e (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3trld.n (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
Assertion
Ref Expression
3pthond (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)

Proof of Theorem 3pthond
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3 3wlkd.s . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
8 3trld.n . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83trlond 30003 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83pthd 30004 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
113simplld 766 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
123simprrd 772 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
13 s3cli 14872 . . . . . 6 βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ© ∈ Word V
142, 13eqeltri 2825 . . . . 5 𝐹 ∈ Word V
15 s4cli 14873 . . . . . 6 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ© ∈ Word V
161, 15eqeltri 2825 . . . . 5 𝑃 ∈ Word V
1714, 16pm3.2i 469 . . . 4 (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V))
196ispthson 29576 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) β†’ (𝐹(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)))
2011, 12, 18, 19syl21anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)))
219, 10, 20mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {cpr 4634   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Word cword 14504  βŸ¨β€œcs3 14833  βŸ¨β€œcs4 14834  Vtxcvtx 28829  iEdgciedg 28830  TrailsOnctrlson 29525  Pathscpths 29546  PathsOncpthson 29548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-lsw 14553  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-s3 14840  df-s4 14841  df-wlks 29433  df-wlkson 29434  df-trls 29526  df-trlson 29527  df-pths 29550  df-pthson 29552
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator