MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3pthond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3pthond 29425
Description: A path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
3wlkd.f 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3wlkd.s (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
3wlkd.e (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3trld.n (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
Assertion
Ref Expression
3pthond (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)

Proof of Theorem 3pthond
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3 3wlkd.s . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
8 3trld.n . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 β‰  𝐾 ∧ 𝐽 β‰  𝐿 ∧ 𝐾 β‰  𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83trlond 29423 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83pthd 29424 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
113simplld 766 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
123simprrd 772 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
13 s3cli 14831 . . . . . 6 βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ© ∈ Word V
142, 13eqeltri 2829 . . . . 5 𝐹 ∈ Word V
15 s4cli 14832 . . . . . 6 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ© ∈ Word V
161, 15eqeltri 2829 . . . . 5 𝑃 ∈ Word V
1714, 16pm3.2i 471 . . . 4 (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V))
196ispthson 28996 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) β†’ (𝐹(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)))
2011, 12, 18, 19syl21anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)))
219, 10, 20mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {cpr 4630   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Word cword 14463  βŸ¨β€œcs3 14792  βŸ¨β€œcs4 14793  Vtxcvtx 28253  iEdgciedg 28254  TrailsOnctrlson 28945  Pathscpths 28966  PathsOncpthson 28968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-s2 14798  df-s3 14799  df-s4 14800  df-wlks 28853  df-wlkson 28854  df-trls 28946  df-trlson 28947  df-pths 28970  df-pthson 28972
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator